1、初一数学竞赛系列讲座(11)应用题（三）一、知识要点数学应用题涉及的题材广泛，内容丰富。大到卫星上天，小到日常生活，无时无地不体现数学的作用。数学应用题我们不能局限于几种类型，主要的是要增强应用数学的意识，提高处理数学应用题的能力。解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型，把数学应用题转化成一个数学问题来解决。二、例题精讲例 1 某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2 千克 A 水果，4 千克 B 水果；乙种搭配：3 千克 A 水果，8 千克 B 水果，1 千克 C 水果；丙种搭配：2 千克 A 水果，6 千克 B水果，1 千克 C 水果。已知 A 水果每千克 2 元，B 水果每千克
2、1.2 元， C 水果每千克10 元，某天该商店销售这三种搭配共得 441.2 元，其中 A 水果的销售额为 116 元，则C 水果的销售额为 元。(2000 年全国初中数学联合竞赛试题)解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为 x、y、z 套，依题意有、2.41.6.258. 63zyx 0348消去 x 得：31(y+z)=465，故 y+z=15所以，共卖出 C 水果 15 千克， C 水果的销售额为 1510=150评注：本题列出的是不定方程，要求出 x、y、z 是不可能的，但本题只要整体地求出y+z 就行了。例 2 某班参加一次智力竞赛，共 a、b、c 三题，每题或者得满分或者得 0
3、 分。其中题a 满分 20 分，题 b、题 c 满分分别为 25 分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有 15 人。答对题 a 的人数与答对题 b 的人数之和为29；答对题 a 的人数与答对题 c 的人数之和为 25；答对题 b 的人数与答对题 c 的人数之和为 20。问这个班平均成绩是多少分？ (1999 年全国初中数学联合竞赛二试试题)解：设答对题 a、答对题 b、答对题 c 的人数分别为 x、y、z，则有8127 2059zyxzyx解 得所以答对一题的人数为：37-13-2 15=4全班人数为：1+4+15=20故全班平均成绩为 4220517答：
4、这个班平均成绩是 42 分评注：本题是通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。例 3 在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶 200 公里，每辆巡逻车可装载供行驶 14 天的汽油。现有 5 辆巡逻车同时从驻地 A 出发，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回 )，甲、乙两车行至途中 B 处后，仅留足自己返回驻地所必须的汽油，将多余的汽油留给另外三辆使用，问其它三辆可行进的最远距离是多少公里？(1995 年河北省初中数学联合竞赛试题 )解：设巡逻车行到途中 B 处用了 x 天，从 B 处到最远处用了 y 天，则有23(x+y)+2x=145
5、，即 5x+3y=35又由题意，需 x0，y0 且 145 (5+2)x143，即 x4从而问题的本质是在约束条件 之下，求 y 的最大值，04yx显然 y=5，这样，200(4+5)=1800(公里)所以其它三辆可行进的最远距离是 1800 公里例 4 龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔(每种各一支) 装一盒，它们的价格分别是 250 元、290 元、 320 元、340 元、360 元、370 元、390 元、410 元、430 元、480 元。铅笔比彩笔便宜 30 元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵。求出每种笔的价格。( 第一届汉城国际数学竞赛试题
6、)分析：设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是 abcde 元, 每两种笔合在一起，可以得出 10 个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出 a+b 最大，a+c次之，d+e 最小，c+e 次小，从而列出方程组。解：设荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是 abcde 元,每两种笔合在一起，可以得出 10 个和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.其中 a+b 最大，a+c 次之，d+e 最小，c+e 次小。所以 (4) 25039 (
7、1)8edcab(1)-(2) 得：b-c=50 (5)(5)+(3) 得： b+e=340 (6)在上面 10 个和中，c+d 肯定小于 b+d，但是否比 b+e 小，难以断定，现在b+e=340，所以 c+d=320 (7)(3)+(4)+(7)得 2 (c+d+e)=860 所以 c+d+e=430从而可得：c=180，d=140，e=110进一步可得：b=230，a=250即荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是 250 元、230 元、180 元、140 元、110 元评注：本题未知数多，方程也多，必须仔细分析题意，理清它们的关系，才能正确求解。例 5 有甲、乙、丙三种货物，
8、若购甲 3 件，乙 7 件，丙 1 件，共需 3.15 元；若购甲 4件，乙 10 件，丙 1 件，共需 4.20 元。现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为 x、y、z 元，由题意，很容易得出二条方程，但二个方程三个未知数，无法求出 x、y、z，实质上，此题的目标不是求x、y、z，而是求 x+y+z，我们可以设法整体地求出 x+y+z。解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为 x、y、z 元，由题意得：)2( 0.41415373z设 m (3x+7y+z) +n (4x+10y+z)=x+y+z则 (3m+4n) x+(7m+10n) y+(m+n)z= x+
9、y+z3m+4n=7m+10n= m+n=1，从而求得 m=3，n= -2x+y+z= 3 (3x+7y+z) -2 (4x+10y+z)=33.15-24.20=1.05答：购甲、乙、丙各一件共需 1.05 元。评注：本题列出的是不定方程组，无法求出 x、y、z，但本题的目标不是求 x、y、z，而是求 x+y+z，因此本题通过待定系数法求出 x+y+z 与 3x+7y+z 和 4x+10y+z 的关系，从而整体地求出 x+y+z。这是整体思想的体现。例 6 某手表每小时比准确时间慢 3 分钟，若在清晨 4 点 30 分与准确时间对准，则在当天上午手表指示时间为 10 点 50 分时，准确时间
10、应该是多少？分析：设所求的准确时间为 x 小时，则 小时为手表从清晨 4 点 30 分走到上6510-x午 10 点 50 分所慢的小时数， 小时为手表从清晨 4 点 30 分走到上午24-10 点 50 分时，实际走的准确的小时数，因为手表每走 1 小时要慢 小时，所20以 小时慢了 小时，则 =214-x0214-x04-x65-解：设所求的准确时间为 x 小时，由题意得：=0-651-解之得： 分小 时小 时 0)(x答：准确时间应该是 11 点 10 分。例 7 某出租车的收费标准是：5 千米之内起步费 10.8 元，往后每增加 1 千米增收 1.2元。现从 A 地到 B 地共支出车费
11、 24 元，如果从 A 先步行 460 米，然后乘车到B 也是 24 元，求从 AB 的中点 C 到 B 地需支付多少车费。分析：解决这个问题的关键是要计算出 CB 的路程，由于车费的计算方式是 10.8+1.2nn 是乘车路程大于 5 千米部分所含 1 千米的个数，不足 1 千米也要算 1 千米，从 A 地到 B 地共支出车费 24 元，代入可计算出 n=11，于是5+110n0，则提价最多的方案是哪一种？%2nm解：设饮料原价格为 1，则按甲提价方案提价后的价格是：(1+m%) (1+n%)按乙提价方案提价后的价格是：(1+n%) (1+m%) 按丙提价方案提价后的价格是：(1+ )2n显
12、然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因而只需比较(1+m%) (1+n%)与(1+)2 的大小%nm(1+m%) (1+n%)=1+ m% +n%+ m%n%=1+(m+n)% + m%n%(1+ )2=1+2 +( )2=1+(m+n)%+ ( )2n%m%nm所以只要比较 m%n%与 ( )2 的大小即可 ( )2- m%n%= -%nm2104n= 010222 m( )2 m%n%，即(1+ )2(1+m%) (1+n%)n%n因此，丙种方案提价最多。评注：本题应用了比差法来比较大小，比差法是比较大小的最常用方法。三、巩固练习选择题1、甲是乙现在的年龄时，乙 10 岁；乙是甲现在的年龄时
13、，甲 25 岁，那么( )(2000 年全国初中数学竞赛试题 )A、甲比乙大 5 岁 B、甲比乙大 10 岁 C、乙比甲大 10 岁 D、乙比甲大 5 岁 2、一次考试共有 5 道试题，考后成绩统计如下：有 81%的同学做对第一题，91% 的同学做对第二题，85%的同学做对第三题， 79%的同学做对第四题， 74%的同学做对第五题。如果做对三道题以上(包括三道 )的同学为考试合格，则这次考试的合格率至少为 ( )A、70% B、74% C、81% D、73%(第六届祖冲之杯数学邀请赛试题 )3、甲、乙、丙、丁四个拿出同样多的钱，合伙订购同样规格的若干货物。货物买来后，甲、乙、丙分别比丁多拿了
14、3，7，14 件货物，最后结算时，乙付给丁 14 元，那么丙应付给丁( ) (第七届祖冲之杯数学邀请赛试题)A、28 元 B、56 元 C、70 元 D、112 元4、某旅馆底层客房比二层客房少 5 间，某旅游团有 48 人，若全部安排在底层，每间住 4 人，房间不够；而每间住 5 人，有的房间未住满。又若全部安排在二层，每间住 3 人，房间不够；而每间住 4 人，有的房间未住满。这家旅馆底层共有房间( )A、9 个 B、10 个 C、11 个 D、12 个5、如果某一年的 5 月份中，有 5 个星期五，它们的日期之和为 80，那么这个月的 4日是星期( )A、一 B、三 C、五 D、日6、有
15、面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共 10 张，全部用来购买一把价值为 18 元的雨伞，不同的付款方式共有( )A、1 种 B、2 种 C、3 种 D、4 种填空题7、某校初一、初二、初三各年级的学生数相同，已知该校的初一的男生数与初二的女生数相同，初三男生占全校男生的 ，那么全校女生占全校学生的 88、在一家三口中，每两个人的平均年龄加上余下的一人的年龄，分别得到49，62，63，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 9、某校初三学生在操场排队，站 2 排对齐恰剩 1 人，站 3 排对齐恰剩 2 人，站 4 排对齐恰剩 3 人，站 5 排对齐恰剩 4 人，站 6 排对齐恰剩 5 人，而站 7
16、排对齐恰无剩余，则该校初三学生最少有 人10、某县有 500 名学生参加第七届祖冲之杯数学邀请赛，平均得分 63 分。该县男生平均得分 60 分，女生平均得分 70 分，则该县参赛男生比女生多 人11、在计算一个正数乘以 3.5 时，某同学误将 3.5 错写成 3.57，结果与正确的答案77相差 1.4，则正确的乘积结果是 12、99 名学生去划船，大船每只可乘坐 12 人，小船每只可乘坐 5 人，如果这些学生把租来的船都坐满，则大船和小船应该分别租 只。解答题13、某商店有甲、乙两种钢笔共 143 支，甲种钢笔每支 6 元，乙种钢笔每支 3.78 元，某学校购了该商店的乙种钢笔全部和部分甲种
17、钢笔，经过核算后，发现应付款的总数与甲种钢笔的总数无关，问购买的甲种钢笔是该商店甲种钢笔总数的百分之几？14、某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦每千克为 a 元，二等小麦每千克为 b(ba)元，现有一等小麦 x 千克，二等小麦 y 千克，若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？15、在一段公路上，学生均匀地植树 10 棵，这批树由卡车运来，问卡车在什么地方卸车最好( 可使学生们搬树的距离和最小 )？16、有一批货，如果本月初出售，可获利 100 元，然后将本利都作某项投资，已知该项投资的月息为 2.4%；如果下月初出售，可获利 120 元，但要付 5 元保管费，试问这批货何时出售比较好(本月
18、初还是下月初 )？说明理由。17、某市初中数学联赛，有 A、B、C、D 四校参加，A、B 校共有 16 名选手，B、C校共有 20 名选手，C、D 校共有 34 名选手，且各校选手人数正好按 A、B、C、D 次序从小到大排列，求各校人数。18、某人下午 6 点多外出时，看手表上两指针的夹角为 110，下午 7 点前回家时发现两指针的夹角仍为 110，他外出多少时间？19、有 4 位小朋友的体重都是整数千克，他们两两合称体重，共称了 5 次，称得的千克数分别是 99、113、125、130、144。其中有两人没有一起称过，那么这两人中体重较重的人的体重是多少千克？20、民用电收费规定，每月每户不超过 24 度按每度 9 角收费，超过 24 度时，超过部分按每度 2 元收费，并规定用电按整度收费。某月甲户比乙户多交电费 9 元 6 角，问甲户和乙户各用电多少度？
