初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明.doc

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1、初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明,对于一般恒等式的证明,常常通过恒等变形从一边证到另一边,或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中,除了要掌握一些基本方法外,还应注意应用一些变形技巧,如:整体处理、 “1”的代换等;对于条件恒等式的证明,如何处理好条件等式是关键,要认真分析条件等式的结构特征,以及它和要证明的恒等式之间的关系。二、例题精讲例 1 求证:a 1+(1-a1)a2+(1-a1)(1-a2)a3+(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n=1-(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n)分析:

2、要证等式成立,只要证明 1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 - (1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n=(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n)证明:1- a 1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 - (1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n =(1-a1) 1- a2- (1-a2)a3- (1-a2)(1-a3)a4 - (1-a2)(1-a3)(1-a n-1)a n=(1-a1) (1-a2) 1- a3- (1-a3)a4- (1-a3)(1-a4)a5 - (1-a3)(1-a4)(1-a n-1)a

3、n=(1-a1) (1-a2) (1-a3) 1- a4- (1-a4)a5- (1-a4)(1-a5)a6 - (1-a4)(1-a5)(1-a n-1)a n=(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n) 原等式成立例 2 证明恒等式 1322113221 aaaaaa nn (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)证明评注:裂项是恒等变形中常用的一种方法例 3 若 abc=1,求证 11cabcab分析:所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子,因而变形比较困难。可以充分利用 abc=1,将它们化成同分母。在 的分子、分母上同乘 c,化成13221 11323212 121

4、 aaannn ,将 的分母中的“1”换成 abc 得1cacabb,然后再相加即可得证。证明:abc=1 11cabcab= += +cc= =11a于是命题得证。评注:“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。例 4 已知 bc=ad,求证:ab(c 2-d2)=(a2-b2)cd分析:将 bc=ad 化成比例式 ,然后利用比例的性质来解题。dcba证明:bc=ad dcba, 将此三式左、右两边分别相乘得bdcdba22ab(c 2-d2)=(a2-b2)cd评注:条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。例 5 已知 x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by ,且 x+y+z0.证明:

5、 11cba分析:所证明的式子中不含 x、y、z,因而可以将已知条件中的三个等式中的 x、y、z 看成常数,把三个式子联合起来组成一个关于 a、b、c 的方程,然后求出 a、b、c。再代入等式的左边证明。证明:解方程组 (3) 21 byaxzc(2)+(3)-(1) 得 y+z-x=2ax,所以 xzyaxzya21 则所以 zyxa1同理可得, ,bzyxc1所以 111zyxcba评注:将含有字母的等式视为方程,是方程思想的应用。例 6 数 x、y、z 满足关系式 yxzy证明: (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)022xzzy证明:将已知等式分别乘以 x、y、z 得zyx2yx2z

6、zyx2+ 得zyx yxzxzyzyxyx )()()(22所以 zxzyxz22即: 022zyx例 7 已知 a+b+c=a2+b2+c2=2,求证:a(1-a) 2=b(1-b)2=c(1-c)2 分析:求证的等式中的各式,恰好是多项式 x(1-x)2 中的 x 分别取 a、b、c 时的值。因此,本题可转化为证明当 x 分别取 a、b、c 时,x(1-x) 2 的值不变。由于 x(1-x)2 是关于 x 的三次多项式,且注意到题设条件,所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-c),建立它与 x(1-x)2 之间的某种关系。证明:(a+b+c) 2= a2+b2+c2+2ab+2bc

7、+2ca又a+b+c=a 2+b2+c2=24=2+2ab+2bc+2ca,ab+bc+ca=1(x-a)(x-b)(x-c)=x 3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc= x3-2x2+x-abc即 x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+ abc由此可见,当 x 分别取 a、b、c 时,x(1-x) 2 的值都是 abc a(1-a) 2=b(1-b)2=c (1-c)2评注:本题的证明采用了构造法,它构造了三次式(x-a)(x-b)(x-c),然后建立它与 x(1-x)2 之间的关系,再通过赋值来证明。例 8 设 ,证明cba11(1) a、b、c 三数中必有两个

8、数之和为零;(2) 对任何奇数 n,有 nnncba1分析:要求 a、b、c 三数中必有两个数之和为零,即要证(a+b)(b+c)(c+a)=0,故可对已知条件进行变形,使它出现(a+b)、(b+c)、(c+a) 这些因式。证明:(1)由 得cb1100cbaacb, 即从已知知 a、b、c 0,所以 abc0,且 a+b+c0,则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) abc= (b+c) (bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2babc=(b+c) (bc+ca+ab)+

9、a2 (b+c)=(b+c) (a2+bc+ca+ab)=(a+b)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)(c+a)=0,这就是说,在 a+b、b+c、c+a 中至少有一个为零,即a、b、c 三数中必有两个数之和为零。(2) 由(1) ,不妨设 a+b=0,即 b= -a,因为 n 为奇数 nn cac111又 nnnnba nnncbac11评注:实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 是关于 a、b、c 的一个轮换对称式。令 a= -b,代入得 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(-b+b+c)-(-b)bc= -b2c+ b2c=0这就是说 a+b

10、 是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 的一个因式,由轮换对称式的性质知,b+c、a +c 也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 的一个因式,因此有(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k (a+b)(b+c)(c+a)再令 a=b=c=1 代入,求出 k=1,所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc= (a+b)(b+c)(c+a)例 9 已知 ad-bc=1,求证:a 2+b2+c2+d2+ab+cd1分析:所要证明的式子是一个不等式,左边的式子又较复杂,直接从已知条件出发证明不是很容易,因而可以考虑用反证法来证明。证明:假设原式不成立,即 a2+b2+c2+

11、d2+ab+cd=1ad-bc=1,a 2+b2+c2+d2+ab+cd= ad-bca 2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0,即(a+b) 2+(b+c)2+(c+d)2+(d-a)2=0a+b=b+c=c+d=d-a=0,a=-b,b=-c,c=-d,d=a于是 a=-a,即 a=0, b=c=d=0,这与 ad-bc=1 矛盾。原式成立,即 a2+b2+c2+d2+ab+cd1评注:正难则反。碰到正面下手较难的问题,常考虑用反证法来证明。例 10 证明: 132321n分析:等式左边的分子很简单,都是 1,但是分母各不相同,又很复杂,因而给变形带来很大困难。通过观察发现,分母

12、很有规律,是连续自然数的和。因此我们先来研究1+2+n,设 S=1+2+n,则 S= n + (n -1)+2+1,所以 2S=n (n+1),S= ,即 1+2+n= ,2n2从而 111nn由此,左边的每一个分数均可以分解成两项,代入变形后证明。证明:设 S=1+2+n,则 S= n + (n -1)+2+1,所以 2S=n (n+1),S= ,即 1+2+n= ,2n2 111nn等式左边= 2432= =右边11nn等式成立评注:1、要掌握数学中一般与特殊的关系,本题通过研究 1+2+n,得出的一般规律,然后将等式左边的各个分数分解,12n达到证明的目的。2、结论 1+2+n= 在解题

13、中经常使用,应该记住。23、本题在求 S=1+2+n 时,用的是倒序相加法,在证明等式时用的是裂项相消法,这两种方法是求和问题解决的常用方法。三、巩固练习选择题1、若 a、b 是有理数,且 a 2001+b 2001=0,则A、a=b=0 B、a-b=0 C、a+b=0 D、ab=02、若 abc 满足 a2+b2+c2=9,则代数式(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)2 的最大值是( )A、27 B、18 C、15 D、123、已知 ,则 的值是( )20413xcb cabcba22A、0 B、1 C、2 D、34、如果 ,则下列说法正确的是( )1zyxzyxA、x、y、z 中至少有

14、一个为 1 B、x、y、z 都等于 1 C、x、y、z 都不等于 1 D、以上说法都不对5、已知 ( ) qqbacbca 23 ,则A、1 B、1-q C、 1-q3 D、1-2q 26、已知 a+b+c=10,a 2+b2+c2=38,a 3+b3+c3=160,则 abc 的值是 ( )A、24 B、30 C、36 D、42填空题7、已知 acbcbcb, 则且 0 428、已知 a-b=2, b-c= -3,c-d=5,则(a-c) (b-d) (a-d)= 9、已知 abc0,a+b+c=0,则 的值为 211abcc10、计算 = 2222 0913111、已知 a、b、c 、d

15、均不为 0,当 ab 且 时, adcadcb12、已知 a= ,则 a-1 的倒数为 128421解答题13、求证:2(a-b) (a-c)+2(b-c) (b-a)+2(c-a) (c-b)= (b-c)2+(c-a)2+(a-b)214、求证:(a 2+b2+c2) (m2+n2+k2) (am+bn+ck)2=(an-bm)2+(bk-cn)2+(cm-ak)2(拉格朗日恒等式)15、若 14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2,求证:abc=12316、若 ,求证:ax+by+cz=(x+y+z) (a+b+c)xyzcyzxa17、已知 a、b、c 、d 满足 a+b=c+d,a 3+b3=c3+d3, 求证:a 2001+b2001=c2001+d 200118、已知 a+b+c=abc,求证:a(1-b 2) (1-c2)+b(1-a2) (1-c2)+c(1-a2) (1-b2)=4abc19、已知 a3+b3+c3=(a+b+c)3,求证 a2n+1+b2n+1+c2n+1=(a+b+c) 2n+1,其中 n 为自然数。20、设 a、b、c 都是正数,且 ,求证:a=b=c3acb

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