1、初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明一、一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、 “1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。二、二、例题精讲例 1 求证：a 1+(1-a1)a2+(1-a1)(1-a2)a3+(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n=1-(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n
2、)分析：要证等式成立，只要证明 1- a1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 - (1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n=(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n)证明：1- a 1- (1-a1)a2- (1-a1)(1-a2)a3 - (1-a1)(1-a2)(1-a n-1)a n =(1-a1) 1- a2- (1-a2)a3- (1-a2)(1-a3)a4 - (1-a2)(1-a3)(1-a n-1)a n=(1-a1) (1-a2) 1- a3- (1-a3)a4- (1-a3)(1-a4)a5 - (1-a3)(1-a4)(1-a n-
3、1)a n=(1-a1) (1-a2) (1-a3) 1- a4- (1-a4)a5- (1-a4)(1-a5)a6 - (1-a4)(1-a5)(1-a n-1)a n=(1-a1)(1-a2)(1-a n-1)(1-a n) 原等式成立例 2 证明恒等式 1322113221 aaaaaa nn (第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)证明评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法例 3 若 abc=1，求证11cabcab分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。可以充分13221 11323212 121 aaannn 利用 abc=1，将它们化成同分母。在 1ab
4、的分子、分母上同乘 c，化成1cacab，将 的分母中的“1”换成 abc 得，然后再相加即可得证。证明：abc=1 11cabcab= += 1ca+ ca1= =1于是命题得证。评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。例 4 已知 bc=ad，求证：ab(c 2-d2)=(a2-b2)cd分析：将 bc=ad 化成比例式 dcba，然后利用比例的性质来解题。证明：bc=ad dcba， 将此三式左、右两边分别相乘得bdcdba22ab(c 2-d2)=(a2-b2)cd评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。例 5 已知 x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by ，且 x+
5、y+z0.证明：11cba分析：所证明的式子中不含 x、y、z，因而可以将已知条件中的三个等式中的 x、y、z 看成常数，把三个式子联合起来组成一个关于 a、b、c 的方程，然后求出 a、b、c。再代入等式的左边证明。证明：解方程组(3) 21 byaxzc(2)+(3)-(1) 得 y+z-x=2ax，所以 xzyaxzya21 2则所以 zyxa1同理可得， b， zyxc1所以 1a评注：将含有字母的等式视为方程，是方程思想的应用。例 6 数 x、y、z 满足关系式1yxzzyx证明：022x(第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)证明：将已知等式分别乘以 x、y、z 得zyx2yx2zz
6、yx2+ 得zyxyxzxzyzyxyx )()()(22所以zxzyxz22即：022zyx例 7 已知 a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a) 2=b(1-b)2=c(1-c)2 分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式 x(1-x)2 中的 x 分别取 a、b、c 时的值。因此，本题可转化为证明当 x 分别取 a、b、c 时，x(1-x) 2 的值不变。由于 x(1-x)2 是关于 x 的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它与 x(1-x)2 之间的某种关系。证明：(a+b+c) 2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
7、又a+b+c=a 2+b2+c2=24=2+2ab+2bc+2ca，ab+bc+ca=1(x-a)(x-b)(x-c)=x 3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc= x3-2x2+x-abc即 x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+ abc由此可见，当 x 分别取 a、b、c 时，x(1-x) 2 的值都是 abc a(1-a) 2=b(1-b)2=c (1-c)2评注：本题的证明采用了构造法，它构造了三次式(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与 x(1-x)2 之间的关系，再通过赋值来证明。例 8 设 cba11，证明(1) (1) a、b、c 三数中必有两个
8、数之和为零；(2) (2) 对任何奇数 n，有 nnncbac1分析：要求 a、b、c 三数中必有两个数之和为零，即要证(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，使它出现(a+b)、(b+c)、(c+a) 这些因式。证明：(1)由 cb11得00cbacacb， 即从已知知 a、b、c 0，所以 abc0，且 a+b+c0，则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) abc= (b+c) (bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2babc=(b+c) (bc+ca
9、+ab)+ a2 (b+c)=(b+c) (a2+bc+ca+ab)=(a+b)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在 a+b、b+c、c+a 中至少有一个为零，即a、b、c 三数中必有两个数之和为零。(2) 由(1) ，不妨设 a+b=0，即 b= -a，因为 n 为奇数 nn cac111又 nnnn cacba11 nnnb评注：实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 是关于 a、b、c 的一个轮换对称式。令 a= -b，代入得 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(-b+b+c)-(-b)bc= -b2c+ b2c=0这
10、就是说 a+b 是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 的一个因式，由轮换对称式的性质知，b+c、a +c 也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc 的一个因式，因此有(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k (a+b)(b+c)(c+a)再令 a=b=c=1 代入，求出 k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc= (a+b)(b+c)(c+a)例 9 已知 ad-bc=1，求证：a 2+b2+c2+d2+ab+cd1分析：所要证明的式子是一个不等式，左边的式子又较复杂，直接从已知条件出发证明不是很容易，因而可以考虑用反证法来证明。证明：假设原式不成立，即 a2
11、+b2+c2+d2+ab+cd=1ad-bc=1，a 2+b2+c2+d2+ab+cd= ad-bca 2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0，即(a+b) 2+(b+c)2+(c+d)2+(d-a)2=0a+b=b+c=c+d=d-a=0，a=-b,b=-c,c=-d,d=a于是 a=-a,即 a=0, b=c=d=0，这与 ad-bc=1 矛盾。原式成立，即 a2+b2+c2+d2+ab+cd1评注：正难则反。碰到正面下手较难的问题，常考虑用反证法来证明。例 10 证明： 1321321n分析：等式左边的分子很简单，都是 1，但是分母各不相同，又很复杂，因而给变形带来很大困难。通
12、过观察发现，分母很有规律，是连续自然数的和。因此我们先来研究1+2+n，设 S=1+2+n，则 S= n + (n -1)+2+1，所以 2S=n (n+1)，S=21n，即 1+2+n=2，从而 111nn由此，左边的每一个分数均可以分解成两项，代入变形后证明。证明：设 S=1+2+n，则 S= n + (n -1)+2+1，所以 2S=n (n+1)，S=2n，即 1+2+n=2， 111nn等式左边= 1241321n= n=右边等式成立评注：1、要掌握数学中一般与特殊的关系，本题通过研究 1+2+n，得出12n的一般规律，然后将等式左边的各个分数分解，达到证明的目的。2、结论 1+2+
13、n=2在解题中经常使用，应该记住。3、本题在求 S=1+2+n 时，用的是倒序相加法，在证明等式时用的是裂项相消法，这两种方法是求和问题解决的常用方法。三、三、巩固练习选择题1、若 a、b 是有理数，且 a 2001+b 2001=0，则A、a=b=0 B、a-b=0 C、a+b=0 D、ab=02、若 abc 满足 a2+b2+c2=9，则代数式(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)2 的最大值是( )A、27 B、18 C、15 D、123、已知20413xcb，则 cabcba22 的值是( )A、0 B、1 C、2 D、34、如果1zyxzyx，则下列说法正确的是( )A、x、y、z
14、 中至少有一个为 1 B、x、y、z 都等于 1 C、x、y、z 都不等于 1 D、以上说法都不对5、已知 qqbacbca 23 ,则( )A、1 B、1-q C、 1-q3 D、1-2q 26、已知 a+b+c=10，a 2+b2+c2=38，a 3+b3+c3=160，则 abc 的值是 ( )A、24 B、30 C、36 D、42填空题7、已知acbcbcb， 则且 0 4128、已知 a-b=2， b-c= -3，c-d=5，则(a-c) (b-d) (a-d)= 9、已知 abc0，a+b+c=0，则211babacc的值为 10、计算2222 09131= 11、已知 a、b、c
15、 、d 均不为 0，当 ab 且 adc时，adcb12、已知 a= 1028412，则 a-1 的倒数为 解答题13、求证：2(a-b) (a-c)+2(b-c) (b-a)+2(c-a) (c-b)= (b-c)2+(c-a)2+(a-b)214、求证：(a 2+b2+c2) (m2+n2+k2) (am+bn+ck)2=(an-bm)2+(bk-cn)2+(cm-ak)2(拉格朗日恒等式)15、若 14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，求证：abc=12316、若 xyzcyzxa，求证：ax+by+cz=(x+y+z) (a+b+c)17、已知 a、b、c 、d 满足 a+b=c+d，a 3+b3=c3+d3, 求证：a 2001+b2001=c2001+d 200118、已知 a+b+c=abc，求证：a(1-b 2) (1-c2)+b(1-a2) (1-c2)+c(1-a2) (1-b2)=4abc19、已知 a3+b3+c3=(a+b+c)3，求证 a2n+1+b2n+1+c2n+1=(a+b+c) 2n+1，其中 n 为自然数。20、设 a、b、c 都是正数，且3cb，求证：a=b=c
