1、初一数学竞赛系列讲座(14)抽屉原理一、知识要点1、 抽屉原理 1把 n+1 个东西，任意地分放到 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里有 2 个东西。2、 抽屉原理 2把 m 个东西，任意地分放到 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有 k 个东西。其中 nmnmknk 表 示，的 倍 数 时不 是当或的 倍 数 时是当 )(1)(的整数部分。3、 上述二个原理统称为抽屉原理。抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性问题的有力工具。利用抽屉原理解题的一般步骤是：(1) 构造抽屉，指出东西；(2) 将东西放入抽屉，或从抽屉里取出；(3) 说明理由，得出结论。二、例题精讲例 1 用 2 种颜色涂
2、3 行 9 列共 27 个小方格，证明：不论如何涂色，其中必至少有两列，它们的涂色方式相同.分析：把用两种颜色涂的小方格的方法当作抽屉。解：用两种颜色涂的小方格共有种方法现有列，由抽屉原理，必有两列涂法一样评注：用抽屉原理解题的关键在于构造抽屉，另外还要搞清什么是抽屉？什么是东西？例 2 已知一个圆。经过圆心任意作 993 条直径，它们与圆共有 1986 个交点，在每个交点处分别填写从 1 到 496 中的一个整数(可重复填写) 。证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。(第二届迎春杯决赛试题)分析：直径两端的数都在 1 到 496 之间，所以它们两端的数的和在 2 到 992 之间
3、，则可构造 991 只抽屉，而东西有 993 个，因而得到证明。证明：直径两端的数都在 1 到 496 之间，所以直径两端的数的和2，且992所以，这种和只有 991 种。而直径有 993 条，993991，所以一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。评注：由解题过程知本题将“993 条直径”改为“992 条直径”结论仍然成立。如果将结论改为“可以找到两条直径，它们两端的数的和相等” ，那么条件“经过圆心任意作 993 条直径”就要改为“经过圆心任意作 1983 条直径” 。例 3 夏令营组织 1987 名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人
4、游览的地方完全相同？试证明你的结论。(第二届迎春杯决赛试题)分析：将游览方案当作抽屉，将人当作东西，由抽屉原理可得结论。解：去一处的可能有 3 种(故宫、景山公园、北海公园 )，去两处的可能也有 3 种(故宫与景山公园、北海公园与故宫、景山公园与北海公园)，由于每人最少去一处，最多去两处游览，所以游览方案共有 6 种。因此，1987 个人中至少有 个人游览的地方完全相同。321987例 4 在 1，4，7，100 中任选 20 个不同的数。证明其中至少有 4 个数a、b、c、d，使 a+b=c+d=104.(第 39 届普特南数学竞赛试题)分析：考虑和为 104 的数对。如果两个数取自同一个数
5、对，则它们的和必是 104，所以应当将和为 104 的数对作为抽屉。解：将 1，4，7，100 这 34 个数，去掉 1 与 52，分成 16 个数对：4，100，7 ， 97，49，55 ，显然每个数对中两数的和为 104所取的 20 个数中，至少有 18 个取自这 16 个数对，则根据抽屉原理，其中必有两个数 a、b 在同一数对中，它们的和 a+b=104。剩下的 16 个数，取自其余的 15 个数对，同样根据抽屉原理，其中必有两个数c、d 在同一数对中，它们的和 c+d=104。所以其中至少有 4 个数 a、b、c、d，使 a+b=c+d=104.评注：本题两次使用了抽屉原理。例 5 9
6、10 瓶红、蓝墨水，排成 130 行，每行 7 瓶，证明：不论怎样排列，红蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有两组（四行）每组的两行完全相同. （北京 1990 年高一竞赛）解：910 瓶红、蓝墨水排成 130 行，每行 7 瓶，对一行来说，每个位置上有红蓝两种可能，因此，一行的红、蓝墨水排法有 27=128 种，对每一种不同排法设为一种“行式”，共有 128 种行式.现有 130 行，在其中任取 129 行，依抽屉原则知，必有两行 A、B 行式相同.除 A、B 外余下 128 行，若有一行 P 与 A 行式相同，知满足（1）至少有三行A、B、P
7、 完全相同，若在这 128 行中设直一行 5A 行或相同，那么这 128 行至多有127 种行式，依抽屉原则，必有两行 C、D 具有相同行式，这样便找到了（A、B） ，（C、D）两组（四行） ，且两组两行完全相同.例 6 从自然数 1，2，3，99，100 这 100 个数中随意取出 51 个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.分析：设法制造抽屉，使它们符合如下条件：（1）不超过 50 个；（2）每个抽屉的里的数（除仅有的一个外） ，其中一个数是另一个数的倍数。一个自然的想法是从数的质因数表示形式入手。解：设第一个抽屉里放进数：1，12，12 2，12 3，12 4，12
8、 5，12 6；第二个抽屉时放进数：3，32，32 2，32 3，32 4，32 5；第三个抽屉里放进数：5，52，52 2，52 3，52 4；第二十五个抽屉里放进数：49，492；第二十六个抽屉里放进数：51.第五十个抽屉里放进数：99.那么随意取出 51 个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.评注：本题构造的抽屉比较别致，它必须符合分析中的两个条件。这种构造抽屉的方法值得我们体会。例 7 在边长分别为 2 和 4 的矩形中任取 9 个点(任三点不共线 )，证明至少存在三点，以它们为顶点的三角形的面积不大于 1。分析：矩形中任一三角形的面积不超过该矩形面积的一半，而已
9、知矩形面积为 8，故若将该矩形分为 4 个等积的小矩形，则小矩形的面积为 2，其内的任一三角形的面积不超过 1，因而只须将已知矩形分为 4 个等积的小矩形，证明其中至少有一份含有 9个点中的 3 个点即可。证明：将已知矩形分为 4 个全等的小矩形，则由抽屉原理，任取 9 个点中至少有 3 个点在一个小矩形中。由于这个小矩形的面积等于 ，故以这 3 个点为顶点24)(1的三角形面积不超过该小矩形面积的一半 1，问题得证。例 8 有一位国际象棋大师，用 11 周时间准备一次锦标赛。在准备期间，他决定每天至少参加一次比赛，但每周累计比赛不超过 12 次。证明：存在连续若干天，这位大师恰好共进行了 2
10、1 次比赛。证明：设前A 天这位大师累计比赛的次数为 a i，11 周共有 77 天，故 1i77。由于每天至少参加一次比赛，但每周累计比赛不超过 12 次，故有1a 1a2a771112=132，于是，22a 1+21a2+21a77+21132+21=153则在 1 到 153 之间共有 154 个整数：a1，a 2，a 77，a 1+21，a 2+21，a 77+21由抽屉原理，其中至少有两个数相等。由于 a1，a 2，a 77 不可能相等，a1+21，a 2+21，a 77+21 也不可能相等，所以只可能是某个 a i 与某个 a j+21(ji) 相等，即 a i- a j=21。这
11、说明这位大师第 j+1 天，第 j+2 天，第 i天累计比赛 21 次。三、巩固练习选择题1、一副扑克有 4 种花色，每种花色有 13 张，从中任意抽牌，最少要抽( )张才能保证有 4 张牌是同一花色。A、12 B、13 C、14 D、152、有 22 只装钢笔的文具盒，如果不管如何装都至少有 4 只文具盒里的钢笔数相同(不装算 0 个) ，那么每个文具盒最多可装 ( )支钢笔。A、4 B、6 C、7 D、83、今有 21 个自然数 a1，a 2，a 21，且 a1a2a2170，则值相等的差 aj-ai(1ij21)的个数为( )A、0 个 B、2 个 C、至多有 3 个 D、至少有 4 个
12、4、从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 5 个数，则(1)其中必有两数互质；(2) 其中必有一数是另一数的倍数；(3) 其中必有一数的两倍是另一数的倍数。以上结论中，正确的个数为( )A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个5、某校有 1200 人，则全校在同一天过生日的人至少有（ ）个A、2 B、3 C、4 D、56、从 1，2，3，n 中任取 8 个数且使其中一定至少有两个数的商不小于 又不大32于 ，则 n 的最大值是（ ）A、25 B、32 C、 39 D、60填空题7、把 130 只苹果分给若干小朋友，如果不管如何分，都至少有一个小朋友分得 4 只或4 只以上的苹果
13、，则小朋友最多有 个。8、黑色、白色、黄色的筷子各有 8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子(一双筷子指同色的两根 )，则至少要取 根筷子。9、在一副扑克牌中取牌，至少取 张，才能保证其中必有 3 张牌的点数相同。10、不大于 10 的 k 个自然数，从中选出三个数，使得其中两数之和等于第三个数，则k 的最小值是 11、在面积为 1 的平行四边形内有任意五点，则一定存在三点，以这三点为顶点的三角形面积不大于 12、在 1，3，5，7，m 连续奇数中任取 17 个数，使其中至少有两个数之差为 8，则奇数 m 的最大值为 解答题13、在不超过 91 的自然数中任取 10
14、 个数，证明：这 10 个数中一定有两个数的比值在区间 中。23，14、设 a1，a 2，a n 是 1， 2，n 的某种排列，且 n 是奇数，求证：(a 1-1)( a2-2)(a n-n)必是偶数。15、用 2 种颜色涂 55 共 25 个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.16、把圆周分成 36 段，将 1，2，35，36 这 36 个数字任意写在每一段内，使每一段内恰好有一个数字。求证：一定存在连续的三段，它们的数字和至少是 56。17、在一次集会上，其中必有两个人，他们认识的人数一样多。试证明之(这里甲认识乙，则乙也认识甲)18、任选 6 人，试证其中必有 3 人，他们互相认识或都不认识.19、a，b，c，d 为四个任意给定的整数，求证：以下六个差数 b-a，c-a ，d-a ，c-b，d-b，d-c 的乘积一定可以被 12 整除.20、在边长为 1 的正三角形内任取 10 个点，证明其中至少有两点，它们的距离不超过。31
