1、初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数一、知识要点1、 完全平方数及其性质定义 1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质 1 任何完全平方数的个位数只能是 0，1，4，5，6，9 中的一个。性质 2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质 3 偶完全平方数是 4 的倍数。性质 4 完全平方数有奇数个不同的正约数。性质 5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、 质数与合数定义 2 一个大于 1 的整数 a,如果只有 1 和 a 这两个约数，那么 a 叫做质数。定义 3 一个
2、大于 1 的整数 a,如果只有 1 和 a 这两个约数外，还有其他正约数，那么 a 叫做合数。1 既不是质数也不是合数。3、 质数与合数的有关性质(1) 质数有无数多个(2) 2 是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于 2 的质数必为奇数。(3) 若质数 pab，则必有 pa 或 pb。(4) 若正整数 a、b 的积是质数 p，则必有 a=p 或 b=p.(5) 唯一分解定理：任何整数 n(n1)可以唯一地分解为： ,kaapn21其中 p111)，一定可以表示成两个合数之和。评注：本题是通过对整数的合理分类来帮助解题，这是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不
3、重复不遗漏。例 9 证明：n (n+1)+1(n 是自然数) 不能是某个整数的平方。分析：注意到 n (n+1)+1=n2+n+1，n 是自然数，n 2n2，且 ，则 n1= ，n 2= 7921解答题13、证明：不存在这样的三位数 ，使 成为完全平方数。abccab14、试求四位数 ，使它是一个完全平方数。xy15、a、b、c、d 都是质数，且 10cd20，c-a 是大于 2 的质数，d 2-c 2=a 3b(a+b)，求a、b、c、d 的值16、设 a、b、c 、d 是四个整数，且 是非零整41dcbacabm数，求证： 是合数。m17、求一个三位数，使它等于 n2，并且各位数字之积为 n-1.18、设 n1、n 2 是任意两个大于 3 的质数，M= ，N= ，M 与 N 的最大公约12n2数至少为多少？19、证明有无穷多个 n，使多项式 n2+n+41 表示合数。20、已知 p 和 8p2+1 都是质数，求证：8p 2-p+2 也是质数。
