1、第十八讲 加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来当然，情况简单时可以一个一个地数如果数目较大时，一个一个地数是不可行的，利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数加法原理 完成一件工作有 n 种方式，用第 1 种方式完成有 m1种方法，用第 2 种方式完成有 m2种方法，用第 n 种方式完成有 mn种方法，那么，完成这件工作总共有m1+m2+mn种方法例如，从 A 城到 B 城有三种交通工具：火车、汽车、飞机坐火车每天有 2 个班次；坐汽车每天有 3 个班次；乘飞机每天只有 1 个班次，那么，从 A 城到 B 城
2、的方法共有 2+3+1=6 种乘法原理 完成一件工作共需 n 个步骤：完成第 1 个步骤有 m1种方法，完成第 2 个步骤有 m2种方法，完成第 n 个步骤有 mn种方法，那么，完成这一件工作共有m1m2mn种方法例如，从 A 城到 B 城中间必须经过 C 城，从 A 城到 C 城共有 3 条路线(设为 a，b，c)，从 C 城到 B 城共有 2 条路线(设为 m，t)，那么，从A 城到 B 城共有 32=6 条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用例 1 利用数字 1，2，3，4，5 共可组成(1)多少个数字不重复的三位数？(2)多
3、少个数字不重复的三位偶数？(3)多少个数字不重复的偶数？解(1)百位数有 5 种选择；十位数有 4 种选择；个位数有 3 种选择所以共有5403=60个数字不重复的三位数(2)先选个位数，共有两种选择：2 或 4在个位数选定后，十位数还有 4 种选择；百位数有 3 种选择所以共有243=24个数字不重复的三位偶数(3)分为 5 种情况：一位偶数，只有两个：2 和 4二位偶数，共有 8 个：12，32，42，52，14，24，34，54三位偶数由上述(2)中求得为 24 个四位偶数共有 2(432)=48 个括号外面的 2 表示个位数有 2种选择(2 或 4)五位偶数共有 2(4321)=48
4、个由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130例 2 从 1 到 300 的自然数中，完全不含有数字 3 的有多少个？解法 1 将符合要求的自然数分为以下三类：(1)一位数，有 1，2，4，5，6，7，8，9 共 8 个(2)二位数，在十位上出现的数字有 1，2，4，5，6，7，8，98 种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有 0，共 9 种情形，故二位数有 89=72 个(3)三位数，在百位上出现的数字有 1，2 两种情形，在十位、个位上出现的数字则有 0，1，2，4，5，6，7，8，9 九种情形，故三位数有299=162 个因此，从 1 到 300 的自然数中完全不含
5、数字 3 的共有8+72+162=242 个解法 2 将 0 到 299 的整数都看成三位数，其中数字 3不出现的，百位数字可以是 0，1 或 2 三种情况十位数字与个位数字均有九种，因此除去 0 共有399-1=242(个)例 3 在小于 10000 的自然数中，含有数字 1 的数有多少个？解 不妨将 1 至 9999 的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补 0使之成为四位数先求不含数字 1 的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数字所组成的四位数的个数由于每一位都可有 9 种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为9999656
6、1，其中包括了一个 0000，它不是自然数，所以比 10000 小的不含数字1 的自然数的个数是 6560，于是，小于 10000 且含有数字 1 的自然数共有 9999-6560=3439 个例 4 求正整数 1400 的正因数的个数解 因为任何一个正整数的任何一个正因数(除 1 外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把 1400 分解成质因数的连乘积1400=23527所以这个数的任何一个正因数都是由 2，5，7 中的 n 个相乘而得到(有的可重复)于是取 1400 的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的：(1)取 23的正因数是 20，2 1，2 2，3 3，共 3+1 种；
7、(2)取 52的正因数是 50，5 1，5 2，共 2+1 种；(3)取 7 的正因数是 70，7 1，共 1+1 种所以 1400 的正因数个数为(3+1)(2+1)(1+1)=24说明 利用本题的方法，可得如下结果：若 pi是质数，a i是正整数(i=1，2，r)，则数的不同的正因数的个数是(a1+1)(a2+1)(ar+1)例 5 求五位数中至少出现一个 6，而被 3 整除的数的个数+a5能被 3 整除，于是分别讨论如下：(1)从左向右计，如果最后一个 6 出现在第 5 位，即 a5=6，那么a2，a 3，a 4可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个数字之一，但a1不能是
8、任意的，它是由 a2+a3+a4+a5被 3 除后的余数所决定因此，为了保证 a1+a2+a3+a4+a5能被 3 整除，a 1只有 3 种可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是 6，而被 3 整除的数有3101010=3000(个)(2)最后一个 6 出现在第四位，即 a4=6，于是 a5 只有 9 种可能(因为a5 不能等于 6)，a2，a3 各有 10 种可能，为了保证 a1+a2+a3+a4+a5被 3 整除，a 1有 3 种可能根据乘法原理，属于这一类的 5 位数有310109=2700(个)(3)最后一个 6 出现在第 3 位，即 a3=6，被 3 整除的数应有31099=2430
9、(个)(4)最后一个 6 出现在第 2 位，即 a2=6，被 3 整除的数应有3999=2187(个)(5)a 1=6，被 3 整除的数应有3999=2187(个)根据加法原理，5 位数中至少出现一个 6 而被 3 整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504(个)例 6 如图 163，A，B，C，D，E 五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色如果使相邻的区域着不同的颜色，问有多少种不同的着色方式？解 对这五个区域，我们分五步依次给予着色：(1)区域 A 共有 5 种着色方式；(2)区域 B 因不能与区域 A 同色，故共有 4 种着色方式；(3)区域
10、 C 因不能与区域 A，B 同色，故共有 3 种着色方式；(4)区域 D 因不能与区域 A，C 同色，故共有 3 种着色方式；(5)区域 E 因不能与区域 A，C，D 同色，故共有 2 种着色方式于是，根据乘法原理共有54332=360种不同的着色方式例 7 在 66 的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，如图164，有多少种不同的剪法？解 我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头凸字形可以分为两类：第一类凸字形的头在棋盘的边框，但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的于是，边框上(不是角)的小方格共有 44=16 个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有 1
11、6个第二类凸字形的头在棋盘的内部，棋盘内部的每一个小方格可以作为 4 个凸字形的头(即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右)，所以，这类凸字形有4(44)=64(个)由加法原理知，有 16+64=80 种不同的凸字形剪法练习十八1把数、理、化、语、英 5 本参考书，排成一行放在书架上(1)化学不放在第 1 位，共有多少种不同排法？(2)语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？(3)物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？(4)文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？2在一个圆周上有 10 个点，把它们两两相连，问共有多少条不同的线段？3用 1，2，3，4，5，6，7 这七个数，(1)可以组成多少个数字不重复的五位奇数？(2)可以组成多少个数字不重复的五位奇数，但 1 不在百位上？4从 1，2，3，4，5 这五个数字中任取三个数组成一个三位数，问共可得到多少个不同的三位数？5由 1，2，3，4，5，6 这六个数字能组成多少个大于 34500 的五位数？6今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款子共有多少种？7将三封信投到 5 个邮筒中的某几个中去，有多少种不同的投法？8从字母 a，a，a，b，c，d，e 中任选 3 个排成一行，共有多少种不同的排法？
