1、第九讲 数学游戏游戏对策问题因常与智力游戏相结合，因此具有很大的趣味性.又由于解题方法灵活，技巧性强，所以对开阔解题思路，提高分析问题解决问题的能力是很有益处的。例 1 在一个 33 的方格纸中，甲乙两人轮流（甲先）往方格纸中填写1、3、4、5、6、7、8、9、10 九个数中的一个，数不能重复.最后甲的得分是不计中间行的上下两行六个数之和，乙的得分是不计中间列的左右两列六个数之和，得分多者为胜.请你为甲找出一种必胜的策略。分析 把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i。甲的得分为：abcgh+i=（acg+i）+（b+h）；乙的得分为：adgcfi=（acgi）+（df）要想
2、使甲的得分高于乙的得分，必须且只需使 bhd+f.要想使bhdf，甲有两种策略：一是增强自己的实力使 b、h 格内填的数尽可能地大；二是削弱对方的实力使 d、f 格内填的数尽可能地小.下面分两种情况进行讨论：取胜的总策略是“增强自己，削弱对方”两者兼顾。为了使叙述方便起见，我们分别用（甲 2）和（a5）分别表示“甲第二轮”和“在 a 处填数字 5”，其余如（乙 1），（甲 1，b10）等含义类同。一、甲首先使 b、h 处填的数尽可能大.譬如，（甲 1，b10）。1.乙为了不输，（乙 1）必须在 h 处填数.（否则，即如（乙 1）不在 h 处填数，（甲 2）在 h 处填余下来的最大数后，无论（乙
3、 2）怎么填，最后总有 bh108=181697d+f，甲胜）.这样，必须（乙1，h1）.（乙当然在 h 处填最小数）2.（甲 2）不能在 d 处或 f 处填数.（否则，如（甲 2，dx），x 为任一数，则（乙 2）在 f 处填余下来的最大数后，即有d+f391211101b+h，乙胜）.当然（甲 2）填 9，譬如（甲2，eg）.（以后，只要甲不填错，即只要把余下数中的最小者填入 d 或f，就不会输了）3.显然，（乙 2，d8），乙就不会输了.因此不分胜负（此时（甲3）必须（f3）。同样，若（甲 1，h10），只要乙应对正确，乙就不会输。因此，只有二、甲首先使 d、f 处填的数尽可能小（才有可
4、能必胜）.譬如，（甲 1，d1）。1.若（乙 1）不在 f 处填数时，（甲 2）在 f 处填余下来的最小数，则最后必有bh3585=14df，甲胜。2.若（乙 1，f10）（乙当然在 f 处填最大数），则（甲 2，b9），最后必有bh931211=110=d+f，甲胜.因此，只要（甲 1，d1），且以后甲每次应对正确，则甲必胜。解：甲第一轮采用削弱对方策略，把 1 填入 d 格（或 f 格）内，以后无论乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只要把尽可能大的数填入 b或 h 格内，或者把尽可能小的数填入 f 格（或 d 格）内（在乙没有在 f或 d 格内填数的情况下），甲都能获胜。例 2 在 44 的
5、方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？如果要取胜，应采取什么办法？分析 见右图，采用倒推法.甲要取胜，就必须使乙在移动最后一次石子后，石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中，即 .而移动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方格只有 和 ，即 和 必须由甲来占领。这样，如一开始分析的那样，就必须使乙在某一次移动石子后，石子落在再移动一次就能移到 或 的那些方格中，即 .而从哪些方格（除了 和 外）中移动一次石子，石子必定落在 之一中呢？只有用 .因此甲第一次移
6、动石子就必须把石子从左下角移到中。这样，所有的格子被分成“胜位”（ ）和“负位”（ ）.自然，上图中的 和 也是负位.即，谁占据胜位，谁将获胜（若此后他不失误）；谁占负位，谁将失败（若此后对方不失误）。解：由以上的分析和上图知，甲要取胜，必须向右上走一格.然后，乙如果向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜。如果是 55 的方格，甲要取胜，应采取怎样的策略呢？根据例 2 的分析，我们仍用 表示胜位， 表示负位，如右图所示.因此，先移动石子者必输第一次他只能把石子移动到负位。例 3 甲乙两人玩下面
7、的游戏：有两堆玻璃球，一堆 8 个，另一堆 9 个，甲乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（0）不限.规定拿到最后一个球的人为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？分析 解这类题的一个常用的方法是从简单的情形讨论起，逐渐找出规律或找出解来。为了便于叙述，我们用（m，n）表示两堆球，其中一堆有 m 个，另一堆有 n 个。我们从最简单的情况（1，0）开始讨论。显然，谁拿过球后两堆球成为（1，0）的状况，则对方必败，因为此时对方只有唯一的一种选择拿走最后一个球.因此（1，0）是胜位，即谁造成这个局面谁必胜.把这种情形简记为（1，0），胜位。（a）（n，0），负位，其中 n1；（对方只需在 n
8、 个球的那堆中拿走 n1 个，对方就造出（1，0）局面，因而对方胜）。显然，（b）（1，1），负位；（c）（n，1），负位，其中 n1。（对方只需在 n 个球的那堆中的球全拿走，就造出（1，0）局面.）此外，（2，2），胜位.（对方拿走 1 个变（2，1），即（c）中的情形；拿走 2 个变（2，0），即（a）中的情形.对方均负）.因此（n，2），负位，其中 n2。（对方只需在 n 个球的那堆中拿走 n2 个，对方就占据了胜位（2，2）.）与类似，有（3，3），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为（a），（c），三种负位之一.）因此（n，3），负位，其中 n3。（对方只需在 n 个球的那堆中拿走
9、 n3 个，对方就占据了胜位（3，3）.）还有（4，4），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为（a），（c），四种负位之一.）因此（n，4），负位，其中 n4。（对方只需在 n 个球的那堆中拿走 n4 个，对方就占据了胜位（4，4）.）如此等等，因此，当两堆球的个数相等但不等于 1，或只有一堆球，其中只有一个球时，先拿的必输；当个数不相等但不是（1，0），或两堆各有 1个球时，先拿的必胜（当为（n，0）时，拿走 n-1 个球；当为（n，1）时，拿走 n 个球；否则，从多的一堆中拿走一些，使两堆个数相等）。解：如果甲先拿，甲有必胜的策略.甲的具体做法是：从 9 个球的那一堆中拿 1 个，使两堆球
10、数相等，都是 8 个。此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿.如果乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；如果乙使得一堆球就剩下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；否则，当乙拿几个时，甲也拿同样多的个数.在前两种情形，因为只剩下一堆球，而且这堆中只有一个球，因此乙必输；在后一种情形两堆球的个数相同，只是比原来少了。这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2 个球的局面.这时，乙只有两种选择：拿 2 个或拿 1 个，然后，甲拿 1个或拿 2 个，乙也必输。说明：我们也可用例 2 的分析中的思考方法来解这道题。先如右图画一表格.其中有“*”的格子表示两堆球
11、的个数分别为 3和 5.这个方格记为（3，5）（第四行第六列）.显然.（5，3）（第六行第四列）的含义与（3，5）一样（行、列分别为从下到上、从左到右编序）.我们的问题转化为：在（8，9）格中有一石子（即“有两堆玻璃球，一堆 8 个，另一堆9 个”），甲乙两个轮流移动石子（即“甲乙两人轮流从中拿球”），每次只能向下或向左移动（即“每次只能从一堆中拿”），格数不限（即“个数不限”）.规定把石子移到（0，0）格（即左下角）的人为输（即“规定拿到最后一个球的人为输”）.问如果甲先移（即“甲先拿”），他有无必胜的策略？按照例 2 分析中的思路，我们把解答填在右面的表格里，其中的“+”、“-”分别表示该格为“胜位”和“负位”.如，（1，0）格中的“+”表示谁把石子移动到这一格即会胜.在表格中除了（1，0），（0，1）是胜位外，其余所有的胜位为（n，n），n2，3，4，.而（8，9）格是负位.因此，开始时石子在（8，9）格中时，如甲先移，甲有必胜的策略，即甲必胜把石子移到一个标有“+”的格子，即移到（8，8）格中.此时，无论乙怎样移动石子（只要按规定移），他必把石子移到负位.接着，甲又能把石子移到胜位，.最后，甲必能把石子移到（1，0）格或（0，l）格.因此甲必胜。请同学们自己推导一下上述填“+”、“-”的过程，并把“移石子”的必胜策略“翻译”成“取玻璃球”的策略.
