1、第十五讲 奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“ 双数” ，也就是奇数和偶数，即 1，3，5，是奇数，0，2，4， 6，是偶数 用整除的术语来说就是：能被 2 整除的整数是偶数，不能被 2 整除的整数是奇数通常奇数可以表示为 2k+1(或 2k-1)的形式，其中 k 为整数，偶数可以表示为 2k 的形式，其中 k 是整数奇数和偶数有以下基本性质：性质 1 奇数偶数性质 2 奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数性质 3 奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数性质 4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数性质 5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的
2、乘积是偶数性质 6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数性质 7 如果两个整数的和( 或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差) 是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶性质 8 两个整数的和与差的奇偶性相同性质 9 奇数的平方除以 8 余 1，偶数的平方是 4 的倍数.性质 1 至性质 6 的证明是很容易的，下面我们给出性质 7 至性质 9 的证明性质 7 的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质 2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数同理两个整数的和(或差 )
3、是奇数时，这两个数一定是一奇一偶性质 8 的证明 设两个整数为 X，y因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质 7 便知，x+y 与 x-y 同奇偶性质 9 的证明 若 x 是奇数，设 x=2k+1，其中 k 为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1因为 k 与 k+1 是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数于是，x2 除以 8 余 1若 y 是偶数，设 y=2t，其中 t 为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y 2 是 4 的倍数例 1 在 1，2 ，3，1998 中的每一个数的前面，任意添上一个 “+”或“- ”，那么最后运算的结
4、果是奇数还是偶数？解 由性质 8 知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+1998=9991999的奇偶性是相同的，即为奇数例 2 设 1，2 ，3，9 的任一排列为 a1，a 2，a 9.求证：(a 1-1)(a2-2)(a9-9)是一个偶数证法 1 因为(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+(a9-9)(a 1+a2+a9)-(1+2+9)=0是偶数，所以，(a 1-1)，(a 2-2)，(a 9-9)这 9 个数中必定有一个是偶数 (否则，便得奇数个(9 个)奇数的和为偶数，与性质 4 矛盾)，从而由性质 5 知(a1-1)(a2-2)(a9-9)是偶数证法 2 由于 1，2 ， 9
5、 中只有 4 个偶数，所以 a1，a 3，a 5，a 7，a 9 中至少有一个是奇数，于是，a 1-1，a 3-3，a 5-5，a 7-7，a 9-9 至少有一个是偶数，从而 (a1-1)(a2-2)(a9-9)是偶数例 3 有 n 个数 x1，x 2，x n，它们中的每一个数或者为 1，或者为-1如果x1x2+x2x3+xn-1xn+xnx1=0，求证：n 是 4 的倍数证 我们先证明 n=2k 为偶数，再证 k 也是偶数由于 x1，x 2，x n。的绝对值都是 1，所以，x 1x2， x2x3，x nx1 的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1设其中有 k 个-1，由于总和为 0，
6、故+1 也有 k 个，从而n=2k下面我们来考虑(x 1x2)(x2x3)(xnx1)一方面，有(x 1x2)(x2x3)(xnx1)(-1)k，另一方面，有(x1x2)(x2x3)(xnx1)=(x1x2xn)2=1所以(-1) k=1，故 k 是偶数，从而 n 是 4 的倍数例 4 设 a，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789求证：a-b 是 4 的倍数证 由已知条件可得 11111+a 与 11111-b 均为奇数，所以 a，b 均为偶数又由已知条件11111(a-b)=ab+2468，ab 是 4 的倍数，2468=4617 也是 4 的倍
7、数，所以 11111(a-b)是 4 的倍数，故 a-b 是 4 的倍数.例 5 某次数学竞赛，共有 40 道选择题，规定答对一题得 5 分，不答得 1 分，答错倒扣 1 分证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数证 我们证明每一个学生的得分都是偶数设某个学生答对了 a 道题，答错了 b 道题，那么还有 40-a-b 道题没有答于是此人的得分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，这是一个偶数所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数例 6 证明 15 块 41 的矩形骨牌和 1 块 22 的正方形骨牌不能盖住 88 的正方形.证 将 88 正方形的小方格用黑、白
8、色涂色( 如图 162)每一块 41 骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此 15 块 41 的骨牌能盖住偶数个白格一块 22 的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能盖住奇数个白格于是 15 块 41 骨牌和一块22 骨牌在图上盖住的白格是奇数个事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住88 的正方形练习十五1设有 101 个自然数，记为 a1，a 2，a 101已知a1+2a2+3a3+100a100+101a101=s 是偶数，求证：a 1+a3+a5+a9 +a101 是偶数2设 x1，x 2，x 1998 都是+1 或者-1求证：x1+2x2+3x3+1998x199803设 x1，
9、x 2，x n(n4)为 1 或-1，并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+xnx1x2x3=0求证：n 是 4 的倍数4(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不等于 999(共 n个 9，n 是奇数)；(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这个和等于 1010，那么原数能被 10 整除5(1)有 n 个整数，其和为零，其积为 n求证：n 是 4 的倍数；(2)设 n 是 4 的倍数，求证：可以找到 n 个整数，其积为 n，其和为零67 个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转 4 个杯子 (杯口朝下的翻为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？7能否把 1，1 ，2，2，3，3 ，4，4，5，5 这 10 个数排成一行，使得两个 1 中间夹着 1 个数，两个 2 之间夹着 2 个数，两个 5 之间夹着 5 个数？
