1、78文件 sxjsck0016 .doc 科目 数学关键词 初二/绝对值/根式标题 绝对值与二次根式内容绝对值与二次根式1 绝对值例 1 （1986 年扬州初一竞赛题）设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中 0p15.对于满足px15 的 x 的来说，T 的最小值是多少？解由已知条件可得T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.当 px15 时，上式中在 x 取最大值时 T 最小；当 x=15 时，T=30-15=15，故 T 的最小值是 15.例 2 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于 0.试证这两个数都不在-1 与-之间.证 设两数为 a、b
2、，则|a|+|b|=|a|b|.|b|=|a|b|-|a|=|a| （|b|-1）.ab0，|a|0，|b| 0.|b|-1= 0，|b| 1.a同理可证|a| 1.a、b 都不在-1 与 1 之间.例 3 设 a、b 是实数，证明|a|-|b| |a+b|a|+|b|.证明 当|a|-|b| 0 时，|a|-|b| |a+b|成立.当|a|-|b| 0 时，由于（|a|-|b| ） 2-|a+b|2=（a 2+b2-2|ab|） -（a 2+b2+2ab）=-2（|ab|-ab） 0，|a|-|b| |a+b|.同理可证|a+b| |a|+|b|.2 根式在根式进行化简、求值和证明的过程中，
3、常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：（1） 配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.例 4 (1981 年宁波初中竞赛题 )设 的整数部分为 x,小数部分为 y,试求3819的值.yx1解 3892)4(79=4- =2+(2- ),3故 x=2,y=2- ,x+y+ 3211y=4- +2+ =6.3例 5 化简 .4196222 xxx解 原式= )()()(=|x+3|+|x-1|-|x-2|.令 x+3=0，x-1=0，x-2=0.得 x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：当 x-3 时原式=-（x+3）
4、-（x-1）+（x-2 ）=-x-4；当-3x1 时，原式=（x+3）-（x-1 ）+ （x-2）=x+2；当 1x2 时，原式=（x+3）+（x-1）+（x-2 ）=3x；当 x2 时，原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4.说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧.例 6 化简 （a 0）.2222 babab解原式= 222)(abab= 2222 )()(= .|aa 0. a 22b 2，b原式= .2 ba例 7 求证： 421014033证明： 2= ,8380,21420)(33原式=4.(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成
5、章地可以用乘方的方法去根号例 8 已知 求证:,03131zyx(x+y+z)3=27xyz.证明: ,311 .3zyx两边立方 ,)()(3131x+y+ 31zyx即 ).()(31再边再立方得（x+y+z） 3=27xyz.例 9 已知 .342242 ayxyx求证 .33ax证明 设 则,242Ay,342x即 .)(,2323432yxy同理可设 则B.)(23234yxA+B= 213321)(yx= )(23yx= .由 A+B=a，得 ,)(23ayx .33281（2） 比较系数法例 10 求满足条件 的自然数 a、x、y.yxa62解 将等式两边平方得 2x、y、a 都
6、是自然数. 只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.x+y=a ，xy=6.由条件可知 xy 且 x、y 是自然数.当 x=6 时，y=1，得 a=7.当 x=3 时，y=2，得 a=5.故 x=6,y=1,a=7.或 x=3,y=2,a=5.例 11 化简 ).71(521分析 被开方式展开后得 13+2 ,含有三个不同的根式,且系数都是 2,可看352成是将 平方得来的.zyx解 设 )71(521= ,zyx两边平方得13+2 35275=x+y+z+2 .yzxy比较系数,得.35,7,1yzxz由有 ，代入，得 代入，得 y2=52，y=5（x、y、z 非负） ，yzy57, =
7、1，yx5,7z原式=1+ .82（4）设参法例 12 （1986 年数理化接力赛题）设 （a 1，a 2，a n，b 1，b 2， bn 都是正数）.求证:nbba321 n= ,)()( 32121nbaa证明 设 ,21kbn且 a1=b1k,a2=b2k,，a n=bnk.左边= kb2= ),(21nb右边= kk )(21nb= ,bk左边=右边（5）公式法、代数变换及其他例 13 已知 x= 求 x3+12x 的值.,)15(4)15(433解 由公式（a-b） 3=a3-b3-3ab（a-b）可得)()(3x154 33)()(=8-3 x=8-12x.x 3+12x=8.例
8、14 设 .37,37y求 x4+y4+（x+y ） 4.解 由条件知 ,215,215y83x+y=5 ，xy=1.原式=(x 2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=(x+y)2-2xy2-2x2y2+(x+y)4=(25-2)2-2+54=1152.例 15 (1978 年罗马尼亚竞赛题 )对于 aR ，确定 的所有可能的1122aa值.解 记 y= . 1122a先假定 a0，这时 y0，把两边平方得,242y即 .1a再平方，整理后得,0)(4224yy从而 0.)1(2a由知 y22a 2+2-2 =2.4a再由知 y21，0y1.反过来,对于0,1中的每一个 y 值,由可以定出
9、a，并且这时 2a2+2-y20，故可由逆推出和，因而在 a0 时， 的值域为（0，1）.122同样在 a0 时， 的值域为（-1，0） ，综上2的值域是（-1，1）.12练习十七1 选择题（1）若实数 x 满足方程|1-x|=1+|x|，那么 等于（ ）.2)1(x（A）x-1（B）1-x（C）（ x-1） （D）1（E）-1（2）方程 x|x|-5|x|+6=0 的最大根和最小根的积为（ ）.（A）-6 （B）3 （C）-3 （D ）6 （E）-18（3）已知最简根式 与 是同类根式，则满足条件的 a、b 的值（ ）.ba2a7（A） 不存在 （B）有一组 （C ）有二组 （D ）多于二组
10、2 空题（1） 已知|x-8y|+（4y-1） 2+ 则 x+y+z=_.,038xz84（2） 若 abc 0，l 1=乘积.)(,)(,)( 23222 cbalcba中最小的一个是_.32312,ll（3） 已知 0x1，化简 ._4)(4)(22（4） 已知 则,21ax.12x（5） （北京市 1989 年高一数学竞赛题）设 x 是实数，且 f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f（x）的最小值等于_.3.化简 (a0).2221aaxy4.已知 ab0，a 2+b2=a2b2，化简2215如果 x0，y0，且 试求 的值.),5(3)( yxyx
11、yx326 （第 8 届美国教学邀请赛试题）求 的值.2323)465()4(7求适合下列各式的 x、y；（1）若 x、y 为有理数，且 ;20y（2）若 x、y 为整数， .1253x8已知 求证 a2+b2=1.,12ba9已知 A= 求证3,3B11A 3-B312A 3+B313.10 （1985 年武汉初二数学竞赛题）已知 其中 a、b 都是正数.12x（1） 当 b 取什么样的值时， 的值恰好为 b？a（2） 当 b 取什么样的值时， 的值恰好为 ？x185练习十七1.略2 （1）3 （2）l （3） 2x （4）a 2-2 （5）6.当 时，当 时，ax .2ax .|1|11, 222 bbabb ，若，原式；若，原式原式原式 （） .21,48yx（），；，由条件知 两边平方后整理得 再平,2aba ).(1222abab方得 1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0 即 1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,1-(a2+b2)2=0,a 2+b2=1.9.A 2+B2=6,AB=2,(A+B) 2=1,A+B= ,A-B= ,A 3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=10.6)(3)(,183 BAB.122当 b0 时，原式值为 b，当 0b1 时，原式值为 .
