1、 400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 1 -第四讲 不 等 式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识本 讲先介绍一些高中新 课标中关于不等式的必备知识一、一元二次不等式及其解法1形如 的不等式称为关于 的一元二次不等20() (0)axbca中 x式【例 1】解不等式 26x分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组解：原不等式可以化为： ，(3)20x于是： 或302x 322xx中所以，原不等式的解是 3
2、2x中说明：当把一元二次不等式化为 的形式后，只要左边可以分0()abxc中解为两个一次因式，即可运用本题的解法【例 2】解下列不等式：(1) (2) ()36x(1)2()1xx分析：要先将不等式化为 的形式，通常使二次项系数为正20axbc中数解：(1) 原不等式可化为： ，即21(3)40x于是： 304xx中所以原不等式的解是 4(2) 原不等式可化为： ，即20x240(4)0xx于是： 04x中所以原不等式的解是 4x中2一元二次不等式 与二次函数 及20()abc2 (0)yaxbca400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 2 -一元二
3、次方程 的关系( 简称：三个二次)20axbc以二次函数 为例：6y(1) 作出图象；(2) 根据图象容易看到，图象与 轴的交点是x，即当 时， 就是说对应(3,0)232x中0y的一元二次方程 的两实根是 2632中(3) 当 时， ，对应图像位于 轴x中yx的上方就是说 的解是 20x中当 时， ，对应图像位于 轴的下方就是说 的解3xy 260x是 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象如果图象与 轴有两个交点 ，此时对应的一元二次方程有两个不相等x12(,0),x的实数根 (也可由根的判别
4、式 来判断) 12, 那么(图 1)： 12 (axbcaxx中20) 如果图象与 轴只有一个交点 ，此时对应的一元二次方程有两个相等的实x(,0)2ba数根 (也可由根的判别式 来判断) 2xba那么(图 2)： 2 ( bxcxa400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 3 -无解20()axbca如果图象与 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式 来判断) 0那么(图 3)： 取一切实数2 () xcx无解0aba如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分
5、解成两个一次因式的积，则求出两根 那么“ ”型的12,x0解为 (俗称两根之外 )；“ ”型的解为 (俗称两根之间)；12xx中 01(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成 ，结2224bacaxbcax合完全平方式为非负数的性质求解【例 3】解下列不等式：(1) (2) (3) 280x240x20x解：(1) 不等式可化为 不等式的解是()4(2) 不等式可化为 不等式的解是2x2x(3) 不等式可化为 17()04【例 4】已知对于任意实数 ， 恒为正数，求实数 的取值范围x2kk解：显然 不合题意，于是：0k220011()1kk中【例 5】已知关于 的不等式 的解为 ，求 的值x2
6、()3x3k分析：对应的一元二次方程的根是 和 ，且对应的二次函数的图象开口向上根据一元二次方程根与系数的关系可以求解解：由题意得：2013()kk400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 4 -说明：本例也可以根据方程有两根 和 ，用代入法得：13， ，且注意 ，从而 2(1)(130k2()0k0k1k二、简单分式不等式的解法【例 6】解下列不等式：(1) (2) 1x231x分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式) 相除异号，那么这两个数 (式)相乘也异号，可将分式不等式直接
7、转化为整式不等式求解(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数解：(1) 解法(一 )原不等式可化为： 323023031211 21xxxx中解法(二)原不等式可化为： (23)0xx(2) 214x原不等式可化为： 【例 7】解不等式 3解：原不等式可化为： (35)20155 530002222 3xxxxx 中说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为 0(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 220201 53 25()13()12 33xxx xx 中三、含有字母系数的一元二次不等式一元一次不等式最终可以化为 的形式 (0)axb(1) 当 时，不等式
8、的解为： ；0a(2) 当 时，不等式的解为： ；xa(3) 当 时，不等式化为： ；0b 若 ，则不等式的解是全体实数； 若 ，则不等式无解0b0b400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 5 -【例 8】求关于 的不等式 的解x2mx解：原不等式可化为： ()(1) 当 时， ，不等式的解为 ；20中1x1xm(2) 当 时， mm 时，不等式的解为 ；x 时，不等式的解为 ；01 时，不等式的解为全体实数(3) 当 时，不等式无解2m中综上所述：当 或 时，不等式的解为 ；当 时，不等式的01xm02解为 ；当 时，不等式的解为全体实数；当 时，
9、不等式无解1x【例 9】已知关于 的不等式 的解为 ，求实数 的值x2kx2xk分析：将不等式整理成 的形式，可以考虑只有当 时，才有形如 的ab0abxa解，从而令 12ba解：原不等式可化为： 2(1)kx所以依题意： 201321kkk中400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 6 -A 组1解下列不等式：(1) (2) 20x23180x(3) (4) 31(9)()x2解下列不等式：(1) (2) 0x 312(3) (4) 1x 0x3解下列不等式：(1) (2) 222135x4已知不等式 的解是 ，求 的值0xab2,ab5解关于 的不
10、等式 ()1mx6已知关于 的不等式 的解是 ，求 的值k1xk7已知不等式 的解是 ，求不等式 的解20xpq220pxqB 组1已知关于 的不等式 的解是一切实数，求 的取值范围x2mxm2若不等式 的解是 ，求 的值231kk3解关于 的不等式 x256xa4 取何值时，代数式 的值不小于 0？a()()5已知不等式 的解是 ，其中 ，求不等式20xbcx的解20cxb练 习400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 7 -第四讲 不等式答案A 组1 ()0 (2)36 ()1(4)3xxx2 11320 ()2中3(1) 无解 (2) 全体实数4 5,6ab5(1)当 时， ；(2)当 时， ；(3) 当 时， 取全体2m12x2m12x2mx实数6 1k7 xB 组1 2m2 5k3(1) 时， ；(2) 时，无解；(3) 时， 0a78ax00a87ax4 1中5 x中
