1、 1 用心灵点燃智慧的火花 图形的剪拼初探” 专题研究课 课例分析 浙江 绍兴县教师发展中心 姚志敏 (邮编 312030,电话 13588570402 ) 浙江省绍兴县实验中学 虞 青 金秋十月，在风景怡人的西子湖畔， 为期两天的“智慧课堂 2009 西湖之秋” 浙江省初中数学名师 课堂教学展示峰会在浙江教育学院隆重举行。开课的八位老师均是来自浙江 省各市县教学一线的名优教师， 有的是全国优质课一等奖获得者 ,有的是省优质课一等奖获得者 ,他们代 表了浙江省初中数学课堂教学的较 高水平 。 八位老师， 多种风格，不同课型 (有新课 ， 有复习课 ,也有专题研究课 ),竞台亮相，尽显风流。这不
2、仅是一次高水平的 课堂 展示活动，更是 一次 对如何打造“高效、智慧”数学课堂的深入探讨。作为 本次 活动的 全程参与者， 又是作为特邀的评课专家 ,感触良多，奈何笔力不胜，无法描绘所有授课教师的风采，故 撷取 杭州市文澜中学卜春兰 老师的 一节“图形的剪拼初探” 专题研究课 进行 总结回顾， 愿与同行一起品评、商榷，以期有所收益。 引入： （显示弦图） 师：同学们应该非常熟悉这张弦图， 2002 年在北京召 开的国际数学家大会就是用这张弦图来作为会标。这张弦图非常巧妙地通过图形的拼割利用面积关系证明了勾股定理。我们一起来看一下，大正方形的面积是 c2，它被分割成了 5个部分，四个直角三角形的
3、面积是 2ab，里面小正方形的面积是（ b-a） 2，从而证得了 a2+b2=c2.对图形进行剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，也是现在中考的一个热点这节课我们一起来剪拼图形，从中去发现一些数学知识。 点评 ： 以一张非常熟悉弦图引入 ， 这张弦图非常巧妙地通过图形的拼割利用面积关系证明了勾股定理。 卜老师以一句简短的 导语引出课题“这节课我们 一起来剪拼图形，从中去发现一些数学知识 ” ，开门见山，干脆利落。同时 以 2002 年国际数学家大会会标激趣引入，（这里蕴含了图形的变换思想与面积思想）极大地激发了学生对剪拼图形进行探究的欲望。 师：下面我们 开始研究图形的剪拼。 问题一 ：两张完
4、全相同的正方形纸片，你能把它们进行分割，重新拼成一个正方形吗？ 2 生 1：能。只要沿对角线剪开就可以。 师 （ 把拼图用吸铁石吸在黑板上，并进一步追问 ） ：为什么要这样剪，你是怎么想的？ 学生 1 回答后，教师补充归纳出：因为剪拼前后形状改变，但面积始终保持不变，每个小正方形的面积是 a2，所以我们要拼的正方形的面积是 2a2，由此，可以算出要拼的正方形的边长是 a2 ，所以我们想到了沿对角线剪开来拼图。 点评： 卜老师抛出 的 “ 问题一 ” ， 既是对等积变换和简单图形剪拼的复习，又为后续展开作准备。利用图形的剪拼再通过等积变换来展开，体验图形剪拼的重要性。老师的进一步追问：为什么要这
5、样剪，你是怎么想的？ 及时 引导学生对裁剪线、拼法的探究，这是剪拼的难点。师生一起根据形变积不变，求出正方形边长为 a2 ，依据这个特征数据 a2 ，寻找裁剪方法，同时考虑拼图 时 会 出现 的直角、平角等 ，故剪时 要有意识地 注意到 怎样形成 互余角、互补角等问题。 当学生已初步领略到剪拼的真谛时，教师把活动内容一变，把两个正方形的边长变成 1 和 2 ， 抛出 了问题二的探究 . 问题二 ：若如图所示的两个正方形的边长分别是 2 和 1，你能重新分割，拼成一个正方形吗？ (这一问题有一定的难度 , 卜 老师先出示了如图的 网格 图形让学生独立探究 : 师：要使我们一刀剪下去就能成功，关键
6、是要确定剪裁线，你觉得我们第一步要做的是什么 ？ 生 2：求出要拼的正方形的边长。 （画一画：） 3 师：这条剪裁线的位置可以在在哪儿呢？画出了要拼的正方形的边长，这个正方形是否可以画出？怎么拼呢？ 学生 3回答，教师黑板上画图示范 ，并追问 5 的线段是否可以在其他位置呢？ 学生尝试在教师提供的课堂作业纸上画剪裁线 ，教师 投影学生 剪拼 的 几种 方案 ,并 一一 作 出 分析和点评 .等等 . 并 继续 问：你是怎么画出的？ 生 4：确定一条 5 的线段后，作垂线段。 生 5：找到四个相对应的点分别连接，使连接 后的四条线段都是 5 长 师：同学们确定剪裁线的方案基本上是两种。一种是得到
7、一条 5 的线段后，作垂线段 ； 另一种是得到四条长度为 5 的线段再连接而成。为什么这样剪裁所得到的四边形是正方形？ 卜 老师再 引导学生证明两种剪裁方式所得到的四边形是正方形。 学生 6、 7 回答，教师板书证明过程。 学生分小组拼图，（想象力丰富的同学可以直接在图中标出哪一块拼到哪儿，用数据标出即可。喜欢动手的同学可以剪一 剪，拼一拼，你能拼出几种？ 投影展示各种拼法 。 问题 解决后师生 共同 总结 出 剪 拼正方形的方法步骤： 1、 计算面积； 2、求出边长； 3、确定剪裁线； 4、拼图 点评： 卜老师 为了 抛出 “ 问题二 ” , 先出示了田字形网格让学生独立画 ,这样 降低 难
8、度的 探究 ,是使 学生 的探究活动衔接自然 ,因为学生 有了前面的基础，此时寻找剪裁线已有了方法， 即寻找 剪裁线 为 5 ,学生很自然地想到在网格中连一条 线 ,使构成的直角三角形的一条直角边为 1,另一条直角角边为 2 就可以 找到4 剪裁线 为 5 ,教师 再 适时 引导学生 证明两种剪裁方式所得到的四边形是正方形 。这 体现数学思维的严密性、严谨性。 同时出示和点评学生的四种剪拼方法 ,体现了数学 思维 的发散性 .在 拼图后 基础上 , 师生 共同 总结拼正方形的方法步骤 ,为接下来的探究一般规律的 “ 问题三 ” 作好了铺垫 . 问题三： 两个边长任意不妨分别记为 a,b 的正方
9、形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？ 生 8：应该还是用跟刚才一样的方法。只是现在拼后的正方形的边长变了。 师： 前面的拼法是否还成立？ 师生一起分析， 教师 并用几何画板 演示说明， “ 问题二 ” 中所展示的 4 种拼法中的第一和第四种不能拼成，其余方法都能拼成。 师： 现在 请同学们再仔细观察我们拼的 这 一个图，这个图就是三千多年前我们的祖先拼出的青朱出入图，若把拼出的正方形的边长记为 c，由拼图（教师讲解，动画演示青朱出入过程）可知： 222 cba ，而 a,b,c 恰好是直角三角形的三边。所以刚才我们用拼图的方式验证了勾股定理。这幅青朱出入图在大数学家华罗庚的建议下，被我国第一颗
10、人造卫星“东方红一号”载上了太空。非常有意义，我们班的同学也非常伟大，今天 拼出了能载入太空的青朱出入图。 点评： 在上面探究的基础上 卜老师 不失时机地提出了 “ 问题三 ” ：两个边长任意，不妨分别记为 a,b 的正方形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？前面的拼法是否还成立？学生由于有前面活动经验和剪拼的原则，能较为顺利解决 “ 问5 题三 ” 。 这样的设计体现了从特殊到一般的数学思想 ,卜老师 又进一步指出：刚才拼成的图中，第三个图就是三千多年前我们的祖先拼出的青朱出入图，这幅青朱出入图在大数学家华罗庚的建议下，被我国第一颗人造卫星“东方红一号”载上了太空，非常有意义，今天同学也非常伟
11、大，拼出了能载入太空的青朱出入图，这 是课堂上实施的很有效的激励性评价， 既是对学生学习成就的认可，也能更好地激励学生的探索热情与爱国情怀 ，可谓极佳的评语。 师： (启发提问 )如图 (1)拼法是把大正方形分割成四块三角形，拼在小正方形的四周，刚好拼出了一个大正方形。请同学们思考一下，能否把大正方形分割成四块完全相同的其他 形状， 如图 (2)，再 拼成 一个 大正方形 状吗？ 生 9：应该可以吧。 师： 怎样才能把正方形分成四块完全相同的形状呢？ 生 10：经过对角线交点作两条互相垂直的线段， 师：很好，那么我们现在 沿这两条折痕剪开，请同学们拼一拼，你能拼出来吗？ （ 学生拼图后 教师
12、动画演示 ） 师： 拼后的正方形的边长在原图形中是哪一条线段 ， 你能找出来吗？四个直角呢？ 生 11：一一回答正确。 师： 现在我们再进一步，你 把 如图 (3)的 正方形 ABCD 剪成不完全相同的四部分， 再 拼 成大正方形 吗？若能，你觉得剪裁线 EG、 FH 应满足什么条件？ 学生回答后，拼 图 (4)，教师 并结合动画说明。 师： 根据刚才拼图 (4)的方法，已经能把已知的两个小正方形拼成一个大正方形的 同学 请举手。 绝大多数 同学 都举手。 师：同学们都很聪明，没有弄明白的同学不妨 自己课后 再 去试一试。 接下去我们再来看另一个问题。 点评 ： 当难点突破后，就容易出现各种不
13、同情况的剪拼，这时教师提出能否把正方形剪成相同四块拼在小正方形旁。 有前面的基础，学生的探究就在对角线6 上作适当变换完成。即：经过对角线交点作两条互相垂直的线段，沿这两条折痕剪开拼一拼。接着教师提出新问题把正方形 ABCD 剪成不完全相同的四部分， 能拼 成如 图 (4)的 形状吗？若能，你觉得剪裁线 EG、 FH 应满足什么条件？ 在原有几种剪拼方法的基础上，学生又探索到：只要找到 5 的裁剪线，再找一条与之垂直的另一条线剪开，就能把已知的两个小正方形拼成一个大正方形。这时好多学生已热情高涨了 。 师： (小结 )在前面的拼图过程中，通过拼图证明了几千年前我们祖先发现的勾股定理，把一个式子
14、用图形直观地表示出来，体现了数形结合思想。通过拼图，实现了图形的转化，这里把两个正方形的问题转化为一个正方形，体现了转化思想。这两种思想方法都是非常重 要的数学思想方法，希望同学们通过今天的学习，能对此有更深刻的理解。下面我们来应用一下刚才学到的知识。 问题四： (拓展应用 ) 若有如图所示的 5 个边长相同的正方形，你能重新分割，拼成一个正方形吗？ 点评： 一语激起千层浪！很多学生跃跃欲试 。 学生小组合作练习解决，在教师提供的课堂作业纸上画出剪裁线，用数字标出拼图方案。（可以通过剪拼帮助解决） 随后投影展示各种拼图方法。 问题五： 如图，将正方形沿图中虚线（其中 x y）剪成四块图形，用这
15、四块图形恰能复原成一个矩形（非正方形） （ 1）画出拼成的矩形的简图； （ 2）求 yx的值 师生共同解决，学生回答，教师板书。 点评： 最后在学生掌握剪拼的基本方法 的基础上 ，出示了二个应用，使学生7 的活动推向高潮， 第二个应用 更是拓展性应用 ， 正方形 既可以 剪拼 成正方形 ,正方形也同样可 以 剪拼成矩形 ,是对本堂研究课的外延的拓展 .可 从已拼好的图形中 分解，并完成图中隐含的等量关系来求出yx。 小结 ： 师：图形的剪拼似乎是一种儿童游戏，但是通过拼图却能解决数学中的许多问题。 这节课你获得了哪些知识，有哪些感想 ？有了哪些收获？请你说出 来 与大家分享。 学生一一交流 回
16、答后，教师 补充 总结： 拼图中蕴涵了许多数学知识，从边、角的视角看：相等的边拼到一起，互余的角构成直角，从图形的整体看，其中有面积关系，相似图形。当然有时候也可以从图形的内部看，其实，研究任何一个图形都可以从这几个视角出发。同学们在以后的学习过程中可以用心去慢慢体会。 （ 1） 图形的剪拼要抓住本质特征：形状改变，面积不变 （ 2） 几点注意：思维的严密性、严谨性 （ 3） 体验三种思想：图形变换思想（旋转、平移、轴对称） ， 转化思想 ， 数形结合思想。 华罗庚的一首诗： 数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔离分家万事休。 结束语：数形结合是多么神奇。我们这节课只是探究
17、了剪拼正方形的情况，所以老师把它叫做初探，实际上还可以把矩形拼成正方形，三角形或任意四边形拼成平行四边形、矩形或正方形等等。课后同学们可以自己确定尺寸去试一试，并把自己的研究成果一一记录下来，和老师、和同学一起交流，好吗？ 点评： 小结 语也精彩，总结出图形的剪拼要抓住本质特征 。 课堂结语道出图形 的剪拼不只停留于正方形，拓展了学生的思想空间，带着问题走出课堂， 真正把课内研究向课外研究延伸。 8 总评： 这是一节精心设计的且比较成功的数学专题探究课，从教学设计到课堂驾驭上都体现出 教 师深厚的教学功底。 整堂课以五个问题的解决串成一条教学主 线， 所选素材既紧扣教材又超越教材， 把听课老师
18、带入了一个全新的视野。清晰的课堂主线，灵活的解题方法，多种数学思想的渗透式教学，执教老师让大家领略了真正研究型 教 师的风范。 卜老师 恰当地设置了五个剪拼问题，以此作为承载核心知识和培养能力的载体，整堂课围绕剪拼正方形这条主线贯穿教学过程，主线明确；体现出运动变换，数形结合，特殊到一般，方程思想、转化思想；观察、实验 猜想 推理 的课堂教学。教学主体部分紧紧围绕剪拼正方形层层设问递进，在学生对教学内容感觉冲突、矛盾时，及时抓住切入的良机，适时提出具有思考价值的问题，不断激发他们思考和探索的兴趣，有效化解学生的认知冲突，变矛盾为和谐。在剪拼中总结方 法、归纳思想，培养学生的动手操作能力，增强了
19、对图形的感知能力，进一步提高了学生自觉运用数学知识解决问题的能力。 其次，卜老师将多媒体的辅助作用和教学指导有机地结合起来，多媒体课件起到锦上添花的作用。特别是借用多媒体展示剪拼的过程和剪拼后的效果， 直观生动， 使学生在解决剪拼正方形问题的过程中提高 了数学思维能力。 整堂课在剪拼正方形的探究活动中，牢牢抓住“图形剪拼的实质就是形状改变、面积不变”这一数学本质，学习了图形变换思想，转化思想，数形结合思想，体会了数学思维的严密性、严谨性。教师与学生一起在不断合作、探究中一路走来，师生互动频繁，数学活动真实有效。老师又能适时抓住时机，在数学活动中揭示数学的本质，课堂已达到使学生浅池戏水，深池激浪，达到深思高出的教学效果。 总体而言，这既是一堂能采用新理念新思路的专题探究课，又是一堂能大胆整合教材，培养学生能力的创新课， 教师的理性引领犹如火种，点燃学生头脑中智 慧的火花，师生在合作探讨中共同向思维的纵深处行进，彼此用心感悟，用智慧打造科学高效的课堂，值 得我们学习与借鉴。 (作者：姚志敏 ： 浙江省特级教师、正教授级中学高级教师 ，身份证号330621196106276637 )
