1、- 1 -北京市四中 2011 年自主招生考试数学素质测试题注意事项：本试题共三大题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。参考公式：3223baba223ba一、选择题（每小题 5 分，共 30 分。以下每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得 0 分）1、已知 ，则锐角 A 的取值范围是 （ ）80sincoAA B C D6803601A302、实数 满足 ，并且有实数 ，使 恒成立，则 的取值范围是babaA小于或等于 3 的实数 B小于 3 的实数C小于或等于 的实数 D小于 的实数3
2、、设 、 是方程 的两个实根，若恰有 成立，1x202kx 221kx则 的值为（ ）kA B 或 C D 或 121214、代数式 的最小值为9)(42xxA12 B13 C14 D115、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 至 6 六个数。连续掷两次，掷得面向上的点数之和是 3 的倍数的概率为A B C D 361946、 09421A223300 B333300 C443300 D433300二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）1、多项式 可分解为 。123x学校 姓名 准考证号 （ ）（ ）（ ）（ ）- 2 -2、已知点 位于第二象限，并且 ， 、 为整数，
3、则点 的个数是 ),(yxp62xyyp。3、已 知 的 半 径 ， 弦 、 的 长 分 别 是 、 ， 则 的 度 数 是 O1ABC3BAC。4、方 程 的 较 大 根 为 ， 方 程0280627xx a的 较 小 根 为 ， 则 。062xba5、已知 ，则 的算术平方根是 。33)15(4)(x236、如图，在 中， ， ，ABCRt900BAC。将 以点 B 为中心逆时针旋转，使点 C 旋转AB至 AB 边延长线上的点 处，那么 AC 边转过的图形（图中阴影部分）的面积是 。三、解答题（每题 12 分，共 60 分）1、现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干
4、个小正方体。在这些小正方体中，求： 两面涂有红色的小正方体的个数； 任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； 若将原正方体每条棱 等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数。n- 3 -2、已知 、 均为实数，且满足 ， ，xy17yx62xy求：代数式 的值。43234y3、在直角 中， ，直角边 与直角坐标系中的 轴重合，其内切圆ABC90BCx的圆心坐标为 ，若抛物线 的顶点为 A。求：)1,0(p12kxy 求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； 用 表示 B 点的坐标；k 当 取何值时， 。60AC- 4 -4、如图， 和 是 的半径，并且 。 是 上的任意一点，OABOBAPA的
5、延长线交 于点 ，点 在 的延长线上，且 。BPQRRQ 求证： 是 的切线；R 求证： ；22P 当 时，试确定 的取值范围。OAB5、平面上有 个点（ ， 为自然数），其中任何三点不在同一直线上。证明：n3n一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于 。n180ABQP RO- 5 -北京市四中 2011 年自主招生考试数学素质测试题答案一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）题号 1 2 3 4 5 6答案 D C A B C B二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）1、 )(43)(xx2、63、 或74、20085、6、 9三、解答题（每小题 12 分，共 6
6、0 分）1、 96 块（4 分） （4 分）512.06512P （4 分）)(nN2、由已知条件可知 和 是方程 的两个实数根，xy)(06172t， 或 （4 分）61t2t6xy当 ， 时， 、 是方程 的两个根xy 2v 0431此方程没有实数根 （3 分）当 ， 时， 、 是方程 的两个根61yxy0612u 此方程有实数根，这时22 1092)(2xyyx 4234x)()(219)( 22yxy3、 对称轴 ，易见抛物线是以 的直角边1kxxABCRt所在直线为对称轴，由题易得 ，又当 时， 即抛物线过 ，AC),(kA01y)1,0(p故 开口向下。（4 分）0k 如图， KO
7、BCB1OEDBk由勾股定理得 222)()1()( k（4 分）kO0,1ABCEDOPyx- 6 - ，60ABC3tanABC又 21tank 32k ，1 32又 （4 分）04、 证明：连结 ， 是 的切线 （4 分）OQ90RQO 证明：延长 交于点AC2)()( OPBPBAPPB （4 分）22 解：当 时， ，易得 ，当 与 重合时，R3015RA45 是 延长线上的点 与 不重合 R4又 （4 分）OA5B15、如图，在这 个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这n两个点为 、 ，其它各点按逆时针方向设为 、 、 。12 3A4n当 时，连nn80n2在 中，nA21nAn 1801801221 则 、 中必有一个角不大于 （6 分）n12当 时，nAn180212 nAAn180215143 则在这 个角中，必有一个角不大于80设 ，则 即为所求三角形。（6 分）nAii1801ii A1 A2An A3A4An-1
