1、1必修五第三章 不等式一、知识梳理（一）不等式与不等关系1.不等式的主要性质：(1)对称性： ba(2)传递性： c,(3)加法法则： ； dcba,(4)乘法法则： ； 0,cba0d(5)倒数法则： ,(6)乘方法则： 0ba(7)开方法则： 2.应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法、作商法（二）一元二次不等式及其解法0 0 0二次函数 cbxay2（ ）的图象0cbxay2 cbxay2 cbxay2一元二次方程的 根02acbx有两相异实根 )(,212x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(2的 解 集)0(2acbx（三）线性规划1.用二元一次不等式（组）表示平面区域：
2、二元一次不等式 Ax+By+C0（0）在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点2( )，把它的坐标（ )代入 Ax+By+C，所得到实数的符号 ，所以只需在此直线yx, yx,的某一侧取一特殊点（x 0,y0)，从 Ax0+By0+C的正负即可判断 Ax+By+C0（0）表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点）判断口诀是 3.线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条
3、件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）画 （2）移 （3）求 （4）答 （四）基本不等式 2ab1.如果 a,b是正数，那么 ).“(号时 取当 且
4、仅 当 ba变形公式： 2.基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”2ab3基本不等式与最值利用基本不等式求最值时应注意: 二、典型例题题型一、不等式的基本性质应用例 1、若 ，试比较 的大小0yx )()(22 yxyx与变式:在等差数列 和等比数列 中， ， ， ，试比较nanb01ba03ba31a的大小.5ba与3例 2、已知 满足 ，求 的取值范围.caxf2)( 5)2(1,)(4ff )3(f变式：已知 满足 ，试求 的取值范围.,213题型二、不等式的解法例 3、给出下列不等式（1） ，（2）已知 ，解关于 的不等式1x1ax12xa变式 1： ； ； ；0)2(3x)10()
5、2(3aax 032x 1loga其中与不等式 同解的是 .(写出所有与之同解的不等式的序号)02x4变式 2、不等式 的解为： ，则 的值为( )0342xa213x或 a(A) (B) (C) (D)a12例 4、关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为( )x02bxa ,32,ab(A)-24 (B)24 (C)14 (D)-14变式 1：设 ， ，若 ， ，3|2P 0|2cbxQ7,(QPRP则 = , = 。bc变式 2：18.设 不等式 的解集是（3，2）.2()(8),fxabxab()0fx（1）求 ；f（2）当函数 f（ x）的定义域是0，1时，求函数 的值域.f例 5、函
6、数 ykxlog()243（1）定义域为 R，求 取值范围（2）值域为 R，求 取值范围题型三、线性规划问题例 6、央视为改版后的非常 61栏目播放两套宣传片其中宣传片甲播映时间为 3分30秒，广告时间为 30秒，收视观众为 60万，宣传片乙播映时间为 1分钟，广告时间为 1分钟，收视观众为 20万广告公司规定每周至少有 3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于 16分钟的节目时间电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？(（100，200） ，70 万）5变式 1：设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）xy632xyyxz2A B C D23
7、49变式 2：已知平面区域 D由以 A(1，3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域 D上有无穷多个点 可使目标函数 取得最小值，则 等于（ ）(,)xyzxmymA. 2 B. 1 C. 1 D.4变式 3：动点 P(a，b)在不等式组 表示的平面区域内部及边界上运动，则20xy的取值范围是 _12ab题型四、基本不等式例 7、建造一个容积 8 ，深为 长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为 1203m2元和 80元，则游泳池的最低总造价为_元变式 1：已知两个正实数 x、 y满足 x+y=4,则使不等式 + m恒成立的实数 m的取值范围x1y4是_.变式
8、 2：已知 ,且 ,则 最大值为 Rba32ba21ba变式 3某工厂的年产值第二年比第一年的增长率为 p1,第三年比第二年的增长率是 p2，而这两年中的年平均增长率为 p，在 p1+p2为定值的情况下， p的最大值是 （ ）A. B. C. D.21p21 )(21三、练习题一、选择题1不等式 的解集是（ ）12x6A B C D(,2)(2,)(0,2)(,2)(,)2. 若 那么下列各式中正确的是（ ） ,01,baA2Ba2 2abab23若 ，则 的取值范围是( )1loga(A) (B) (C) (D)3031301或4已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解是（ 052bxa 23
9、|x 052axb）（A） 或 （B） 或 （C） （D）3x221x31x312x235下列各函数中，最小值为 的是 ( )A B ，1yx1sinyx(0,)2C D2326若 4，则 的最小值为（ ）yx22loglyx（A）8 （B） （C）2 （D）4 247若不等式 在 内恒成立,则 的取值范围是 ( )2l0a1()aA B C D166106106a8 “a b 0”是“ab ”的（ ）2b(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件9设 则不等式 的解集为 ( )xf123,log(),xe2xf(A)（1，2） （3，+）
10、(B)（ ，+） 10(C)（1，2） （ ， +） (D)（1，2）107103、在直角坐标系内，满足不等式 x2-y20 的点(x,y)的集合( 用阴影表示)是（ ）11设 x,y为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( )1x 4yA. 6 B.9 C.12 D.15 12设计用 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为23m，则车厢的最大容积是( )(A) (B) (C) (D)378316m324314m13如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）0,ab（A） （B） （C） （D）1ab2ab|ab14若 且 ，则下列不等式中成立的是（ ）0,nm0nA
11、 B mnC D15已知 ，则不等式 ， ， 中恒成立的个数是（ 0ab2ab11ab）A0 B1 C2 D3二、填空题 1.不等式 的解集是 .12x2不等式 的解集是 1)2lg(2x3.设 式中变量 满足 ，则 的最大值为 yxz2yx，125334xyz84. 函数 的值域为 .)0(132xy5.已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为坐标原点，l),(PyBA、 O则三角形 面积的最小值为 .OAB三、解答题 1、如果 30x42，16y24，求 x+y，x-2y 及 取值范围.yx2、解关于 的不等式 .x()210xa+-3已知不等式(x+y)( + )9 对任意正实数 x,y恒成立,求正实数 a的最小值。1x ay4某单位建造一间地面面积为 12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x不得超过 a 米，房屋正面的造价为 400 元/m 2,房屋侧面的造价为 150 元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元，如果墙高为 3m，且不计房屋背面的费用（1）把房屋总造价 表示成 的函数，并写出该函数的定义域.yx（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？5 （1）求 的最大值，使式中的 、 满足约束条件yxz2xy.1,yx9（2）求 的最大值，使式中的 、 满足约束条件yxzxy2156xy
