1、慧通教育网 慧通教育网 抛物线与三角形面积 抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。本文通过举例来谈这类题的解法。 一、顶点在抛物线 y=ax2+bx+c 的三角形面积的一般情况有：（1）、以抛物线与 x 轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与 x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。其面积为：S = |x1-x2| |= | |（2）、以抛物线与 x 轴、y 轴的三个交点为顶点的三角形。其底边的长是抛物线与 x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线与 y 轴上的截距(原点与 y 轴交点构成的线段长)的绝对值。其面积为：S = |x1-x2|c
2、| |c| （3）、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。二、 1求内接于抛物线的三角形面积。例 1已知抛物线的顶点 C（2， ），它与 x 轴两交点 A、B 的横坐标是方程 x2-4x+3=0 的两根，求 ABC 的面积。 解：由方程 x2-4x+3=0，得 x1=1, x2=3, AB=|x 2-x1|=|3-1|=2. S ABC = 2 = . 例 2已知二次函数 y= x2+3x+2 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 D 点，顶点为 C，求四边形 ACBD 的面积。 解：如图 1，S 四边形 ACBD=SABC +SA
3、BD 慧通教育网 慧通教育网 = | |+ |2|= . 例 3如图：已知抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=2x 相交于A、B，抛物线与 y 轴相交于 C 点，求 ABC 的面积。 解：由 得点 A 的坐标为（1，2），点 B 的坐标为（3，6）；抛物线与 y 轴交点 C 的坐标为（0，3）如图 2，由 A、B、C 三点的坐标可知，AB= 2 ，BC= 3 ，AC= 。 AC 2+BC2=AB2， ABC 为直角三角形，并且BCA=90 0， S ABC= ACBC= 3 =3。 2求抛物线的解析式 例 4已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A、B，其对称轴为直线 x=-2
4、，顶点为 M，且 SAMB =8，求它的解析式。 解： 对称轴为直线 x=-2, - =-2, b=4, y=x 2+4x+c, S AMB = | |= | |=8， c=0, y=x 2+4x. 例 5设二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点C，若 AC=20， ACB=90，S ACB =150，求二次函数的解析式。 慧通教育网 慧通教育网 解：如图 3， S ACB = ACBC， 即 150= 20BC， BC=15， AB= = =25， 又 OCAB， S ACB = ABOC 即 150= 25OC， OC=12，故 C 点坐标为（0，
5、12）， AO= =16，OB=AB-AO=25-16=9， 点 A 为（-16，0），点 B 为（9，0）， 二次函数的图像过 A、B、C 三点， 解得 ， 所求解析式为：y=- x2- x+12. 3求抛物线解析式中字母系数的值。 例 6已知抛物线 y=x2-mx+m-2, (1)求证：不论 m 为何实数，抛物线与 x 轴总有两个交点；(2)若以抛物线与 x 轴、y 轴三交点为顶点的三角形面积为 4 ，求 m 的值。解：(1)=(-m) 2-41(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+40, 不论 m 为何实数，抛物线与 x 轴总有两个交点。 (2)S = |c|= |m-2|=4 . 即 (m-2) 4+4(m-2)2-320=0 慧通教育网 慧通教育网 解得 m=6 或 m=-2. 例 7设 O 和 B 为抛物线 y=-3x2-2x+k 与 x 轴的两个相异交点，O 为原点，M 为抛物线的顶点，当 OMB 为等腰直角三角形时，求 k 的值。 解：如图 4，作 MNx 轴于 N 点， OMB 为等腰直角三角形， MN= OB， 即| |= ， k 1=0, k2=- . 又 抛物线与 x 轴有两个相异交点， =(-2) 2-4(-3)k=4+12k0. k- ，故取 k=0。
