1、1数学竞赛训练题四 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）1设函数 如果 那么 的值等于,86)(2xf ,1564)(2xcbxf bc2（ ）A3 B7 C-3 D-72已知 P 为四面体 S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点，且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底面 ABC 的距离，那么在侧面 SBC 内，动点 P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ）A圆或椭圆 B椭圆或双曲线 C双曲线或抛物线 D抛物线或椭圆3给定数列x n，x 1=1，且 xn+1= ，则 =（ ）n312051nxA，1 B-1 C2+ D-2+334已知 ，定义 ，)(xf1,2),0x
2、)(),()(11xffxfxfnn 其 中则 （ ）等 于)51(207fA B C D5354525已知双曲线 的右焦点为 F,右准线为 ,一直线交双曲线12byax)0,(bal两支于 P、Q 两点，交 于 R,则 （ ）lA B FRQFRPC D 的 大 小 定与6在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别记为 a、b、c(b1)，且 ， 都是方ACBsin程 log x=logb(4x-4)的根，则ABC（ ）A是等腰三角形，但不是直角三角形 B是直角三角形，但不是等腰三角形C是等腰直角三角形 D不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）7若
3、log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_.8如果：（1）a, b, c, d 都属于1, 2, 3, 4（2）ab, bc, c d, da2（3）a 是 a, b, c, d 中的最小数那么，可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_.9设 则关于 的方程 的所有实数解,)65(2)1(xxxt 0)3(2)1(tt之和为 10若对|x| 1 的一切 x，t+1(t 2-4)x 恒成立，则 t 的取值范围是_.11边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 。12对每一实数对(x, y)，函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+
4、f(xy)+1。若 f(-2)=-2，试求满足 f(a)=a 的所有整数 a=_.三、解答题（每小题 20 分，共 60 分）13已知 a, b, cR +，且满足 (a+b) 2+(a+b+4c)2，求 k 的最小值。cbak14已知半径为 1 的定圆P 的圆心 P 到定直线 的距离为 2，Q 是 上一动点，Qll与P 相外切，Q 交 于 M、N 两点，对于任意直径 MN，平面上恒有一定点 A，l使得MAN 为定值。求MAN 的度数。315 数列 定义如下： ，且当 时，na1a2n21,nna当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 已知 ，求正整数 n309a4数学竞赛训练题四答案一、选
5、择题1设函数 如果 那么 的值等于,86)(2xf ,1564)(2xcbxf bc2（ ）A3 B7 C-3 D-7解：取 ，而当15)(, cfx有，所以 ，故选 C.31862x时 有 32bc2已知 P 为四面体 S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点，且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底面 ABC 的距离，那么在侧面 SBC 内，动点 P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ）A圆或椭圆 B椭圆或双曲线 C双曲线或抛物线 D抛物线或椭圆解：把问题转化成动点 P 到 S 的距离与它到边 BC 的距离比值问题，容易的出答案 D3给定数列x n，x 1=1，且 xn+1= ，则
6、 =（ ）n312051nxA，1 B-1 C2+ D-2+33解：x n+1= ，令 xn=tan n，x n+1=tan( n+ ), x n+6=xn, x1=1，x 2=2+ , n36x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，有 。故选 A。32051n4已知 ，定义 ，)(f1,2),0x )(),()(11xffxffnn 其 中则 （ ）等 于)51(207fA B C D535452解：计算 )1(,)(,109)(,2)1(,4)(,)51(,07)( 765321 fffffff 05可知 是最小正周期为的函数。即得 ，所以)51(nf
7、)51(6nnff ，故选 C.3207f45已知双曲线 的右焦点为 F,右准线为 ,一直线交双曲线12byax)0,(bal两支于 P、Q 两点，交 于 R,则 （ ）lA B FRQFRPC D 的 大 小 定与解：分别做 由相似三角形的性质，得,lQl 垂 足 分 别 为，又有双曲线的第二定义，得 故RP .Pe则平分 所以选 C.F.6在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别记为 a、b、c(b1)，且 ， 都是方ACBsin程 log x=logb(4x-4)的根，则ABC（ ）A是等腰三角形，但不是直角三角形 B是直角三角形，但不是等腰三角形C是等腰直角三角形 D不是等腰三角形，
8、也不是直角三角形解：由 log x=logb(4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以 x1=x2=2，故 C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180，所以 3A+B=180，因此 sinB=sin3A，3sinA-4sin3A=2sinA，sinA(1-4sin 2A)=0，又 sinA0，所以 sin2A= ，而4sinA0，sinA= 。因此 A=30,B=90,C=60。故选 B。1二、填空题7若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_.答案： 。34|24)2(0yxyx由对称性只考虑 y0，因为 x0，只须求 x-y 的最小值，令 x
9、-y=u，代入 x2-4y2=4，有 3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于 y 的二次方程显然有实根，故=16(u 2-3)0。8如果：（1）a, b, c, d 都属于1, 2, 3, 4（2）ab, bc, c d, da（3）a 是 a, b, c, d 中的最小数那么，可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_.6答案：46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时，能组成 C =6 个不同的数。abcd 中恰有243 个不同数字时，能组成 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时，1213C能组成 A =24 个不同数，所以符合要求的数共有 6+16+24=46 个
10、。49设 则关于 的方程 的所有实数解,)65()21(xxxt 0)3(2)(tt之和为 答案：4 解：令 变形为,)65(32)1(xxxf（可以发现函数 是 R 上的减函数。又因为,65)(63)(xxxff，从而关于 的方程 的解分别为0,21,ff x0)3(2)1(tt0、1、3，10若对|x| 1 的一切 x，t+1(t 2-4)x 恒成立，则 t 的取值范围是_.答案： 。解：若 t2-40，即 t2，则由 x(|x|1) 恒,2 412t成立，得 , t+1t2-4, t2-t-s-t 2+4; t2+t-30，解得：t ，从而 0，由 f(1)=1 可知对一切正整数 y，f
11、(y)0 ，因此 yN *时，7f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大于 1 的正整数 t，恒有 f(t)t，由得 f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明：当整数 t-4 时，f(t)0，因 t-4，故-(t+2)0 ，由得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)0，即 f(-5)-f(-4)0，f(-6)-f(-5)0，f(t+1)-f(t+2)0，f(t)-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0，因为：t4，故 f(t)t。综上所述：满足 f(t)=t 的整数只有 t=1或 t=2。三、解答题：13已知 a, b, cR +，且满足 (a+b) 2+(a+b+4c)2，
12、求 k 的最小值。cbak解：因为(a+b) 2+(a+b+4c)2=(a+b)2+(a+2c)+(b+2c)2(2 )2+(2 +2 )2=abcb4ab+8ac+8bc+16c 。所以 (4()(c 。1025()215(843 cbacba当 a=b=2c0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。14已知半径为 1 的定圆P 的圆心 P 到定直线 的距离为 2，Q 是 上一动点，Qll与P 相外切，Q 交 于 M、N 两点，对于任意直径 MN，平面上恒有一定点 A，l使得MAN 为定值。求MAN 的度数。解：以 为 x 轴，点 P 到 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系，设 Q
13、的坐标为l(x, 0)，点 A(k, )，Q 的半径为 r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以 x= , tanMAN=232krxhorxkAMN11 3223)32()(2 222 rkrkhhhrx ，令 2m=h2+k2-3，tan MAN= ，所以 m+r k =nhr，m+(1-nh)r=n1r，两边平方，得：m 2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任3rk意实数 r1，上式恒成立，所以 ，由（1）（2）式，得 m=0, )3()1(2knh8k=0，由（3）式，得 n= 。由 2m=
14、h2+k2-3 得 h= ，所以 tanMAN= =h=h13n1。所以MAN=60 或 120（舍）（当 Q(0, 0), r=1 时MAN=60），故MAN=60。15 数列 定义如下： ，且当 时，na1a221,nna当 为 偶 数 时 ，当 为 奇 数 时 已知 ，求正整数 n309a解 由题设易知， 又由 ，可得，当 n 为偶数时，0,12,a 1a；当 是奇数时， 1n()1n由 ，所以 n 为偶数，于是 ，所以， 是奇数309a23091n2于是依次可得：， 是偶数，129na， 是奇数，484n， 是偶数，21na6， 是奇数，6838n， 是偶数，1na14， 是偶数，416536n， 是奇数， 14321na432， 是偶数，1， 是奇数，462na649， 是偶数，4612na1064n，028所以， ，解得，n238 1028
