1、上海市尚德实验学校杨晓 Email:初一数学竞赛讲座(三)数字、数位及数谜问题一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个 n 位的自然数都可以表示成： 12321 010aaan 其中，a i (i=1，2，n)表示数码，且 0a i9，a n0.对于确定的自然数 N，它的表示是唯一的，常将这个数记为 N= 12n2、正整数指数幂的末两位数字(1) 设 m、n 都是正整数，a 是 m 的末位数字，则 mn 的末位数字就是 an 的末位数字。(2) 设 p、q 都是正整数，m 是任意正整数，则 m 4p+q 的末位数字与 m q 的末位数字相同。3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题
2、涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑” 、 “猜”的方法求解，是一种有趣的数学游戏。二、例题精讲例 1、有一个四位数，已知其十位数字减去 2 等于个位数字，其个位数字加上 2 等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解：设所求的四位数为 a103+b102+c10+d，依题意得：(a103+b102+c10+d)+( d103+c102+b10+a)=9988 (a+d)
3、10 3+(b+c) 102+(b+c) 10+ (a+d)=9988比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是 b+c18又c-2=d ，d+2=b，b-c=0从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7故所求的四位数为 1997评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。例 2 一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N 为“新生数” ，试求所有的三位“新生数” 。分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出上海市尚德实验学校
4、杨晓 Email:所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。解：设 N 是所求的三位“新生数 ”，它的各位数字分别为 a、b、c(a、b、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得 6 个三位数：，不妨设其中的最大数为 ，则最小数为 。由cbabac, a“新生数”的定义，得N= cabc 91010由上式知 N 为 99 的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693，792，891，990。这 9 个数中，只有 954-459=495符合条件。故 495 是唯一的三位“新生数”评注：本题主要应用“新生数”的定义和整数性质，先将三位“新生数”进行预选
5、，然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。例 3 从 1 到 1999，其中有多少个整数，它的数字和被 4 整除？将每个数都看成四位数(不是四位的，在左面补 0)，0000 至 1999 共 2000 个数。千位数字是 0 或 1，百位数字从 0 到 9 中选择，十位数字从 0 到 9 中选择，各有 10 种。在千、百、十位数字选定后，个位数字在 2 到 9 中选择，要使数字和被 4 整除，这时有两种可能：设千、百、十位数字和为 a，在 2，3，4，5 中恰好有一个数 b，使 a+b被 4 整除(a+2 、 a+3、a+4 、a+5 除以 4，余数互不相同，其中恰好有
6、一个余数是 0，即相应的数被 4 整除)；在 6，7， 8，9 中也恰好有一个数 c(=b+4)，使 a+c 被 4 整除。因而数字和被 4 整除的有：210102=400 个再看个位数字是 0 或 1 的数。千位数字是 0 或 1，百位数字从 0 到 9 中选择，在千、百、个位数字选定后，十位数字在 2 到 9 中选择。与上面相同，有两种可能使数字和被4 整除。因此数字和被 4 整除的又有：22102=80 个。在个位数字、十位数字、千位数字均为 0 或 1 的数中，百位数字在 2 到 9 中选择。有两种可能使数字和被 4 整除。因此数字和被 4 整除的又有：2222=16 个。最后，千、百
7、、十、个位数字为 0 或 1 的数中有两个数，数字和被 4 整除，即 1111和 0000，而 0000 不算。于是 1 到 1999 中共有 400+80+16+1=497 个数，数字和被 4 整除。例 4 圆上有 9 个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到的是一个 9 位数并且能被 27 整除。证明：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得的一个 9 位数也能被 27 整除。分析：把从某一位起按顺时针方向记下的 9 位数记为： ，其能被 27 整9321a除。上海市尚德实验学校杨晓 Email:只需证明从其相邻一位读起的数： 也能被 27 整除即可。1932
8、a证明：设从某一位起按顺时针方向记下的 9 位数为： 932依题意得： = 能被 27 整除。9321a 87281 00a为了证明题目结论，只要证明从其相邻一位读起的数： 也能被 27 整除1932a即可。=1932a 197382 010aa10 - 9=10( )-( )872810 197382 0a= -( )101939 aaa 1a= 3911 00223 而 999 能被 27 整除，1000 3-1 也能被 27 整除。因此， 能被 27 整除。从而问题得证。1932a评注：本题中，10 9-1 难以分解因数，故将它化为 10003-1，使问题得到顺利解决。这种想办法降低次数
9、的思想，应注意领会掌握。例 5 证明：111 111+112112+113113 能被 10 整除分析：要证明 111111+112112+113113 能被 10 整除，只需证明 111111+112112+113113 的末位数字为 0，即证 111111，112 112，113 113 三个数的末位数字和为 10。证明：111 111 的末位数字显然为 1；112112=(1124)28，而 1124 的末位数字是 6，所以 112112 的末位数字也是 6；113113=(1134)28113，113 4 的末位数字是 1，所以 113113 的末位数字是 3；111 111，112
10、112，113 113 三个数的末位数字和为 1+6+3=10111 111+112112+113113 能被 10 整除评注：本题是将证明被 10 整除转化为求三数的末位数字和为 10。解决数学问题时，常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题，这是化归思想。上海市尚德实验学校杨晓 Email:例 6 设 P (m)表示自然数 m 的末位数， nPan2求 的值。19521a解： = + + 12P21952=1952 PP= 95121995=10199+5 ，又因为连续 10 个自然数的平方和的末位数都是 5 =5+5=101431952 222 P又 =0961P =1
11、019521a评注：本题用到了连续 10 个自然数的平方和的末位数都是 5 这个结论。例 7 请找出 6 个不同的自然数，分别填入 6 个问号中，使？这个等式成立。(第三届华杯赛口试题 )分析：分子为 1 分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数，它在很多问题中经常出现。解决这类问题的一个基本等式是： ，它表明每一个埃及分11nn数都可以写成两个埃及分数之和。解：首先，1= 从这个式子出发，利用上面给出的基本等式，取 n=2 可得：211=63613又利用上面给出的基本等式，取 n=3 可得： 1243 1= 124再利用上面给出的基本等式，取 n=4 可得： 05上海市尚德实验学校杨晓 Em
12、ail: 1= 6120512最后再次利用上面给出的基本等式，取 n=6 可得： 42176 1= 471即可找出 2，5，20，12，7，42 六个自然数分别填入 6 个问号中，使等式成立。评注：1、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同，所以每步取 n 时要适当考虑，如：最后一步就不能取 n=5，因为 n=5 将产生 ，而 已出现了。3012、本题的答案是不唯一的，如最后一步取 n=12，就可得：1= 61532015例 8 如图，在一个正方体的八个顶点处填上 1 到 9 这些数码中的 8 个，每个顶点处只填一个数码，使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等，并且这个和数不能被那个未被
13、填上的数码整除。求所填入的 8 个数码的平方和。(第 12 届“希望杯”数学竞赛培训题 )解：设 a 是未填上的数码，s 是每个面上的四个顶点处所填的数码之和，由于每个顶点都属于 3 个面，所以6s=3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a即 6s=345-3a，于是 2s=45-a，可以断定 a 是奇数而 a 不整除 s，所以 a 只能是 7，则填入的 8 个数码是1，2，3，4，5，6，8，9，它们的平方和是：12+22+32+42+52+62+82+92=236例 9 在右边的加法算式中，每个 表示一个数字，任意两个数字都不同。试求 A 和B 乘积的最大值。 +) A B分析：先通
14、过运算的进位，将能确定的 确定下来，再来分析求出 A 和 B 乘积的最大值。解：设算式为：a上海市尚德实验学校杨晓 Email:b c+) d e f g h A B显然，g=1，d=9 ，h=0a+c+f=10+B，b+c=9+A, A 62 (A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35，A+B=8要想 AB 最大， A6，取 A=5，B=3。此时 b=6,e=8,a=2,c=4,f=7,故 AB 的最大值为 15.评注：本题是通过正整数的十进制的基本知识先确定 g，d，h，然后再通过分析、观察得出 A、B 的关系，最后求出 AB 的最大值。例 10 在一种游戏中，魔术师请一个人随意想
15、一个三位数 。并请这个人算出 5 个abc数 、 、 、 、 的和 N，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个acbcabc人所想的数 。现在设 N=3194，请你做魔术师，求出数 来。(第四届美国数学奥林c匹克试题)解：将 也加到和 N 上，这样 a、b、c 就在每一位上都恰好出现两次，所以有abc+N=222(a+b+c) 从而 3194a1，由 减去 得一个三位数 ，123 123a32123b证明： + =1089b219、对于自然数 n，如果能找到自然数 a 和 b，使得 n=a+b+ab,那么 n 就称为“好数” 。上海市尚德实验学校杨晓 Email:如 3=1+1+11，所以 3 是“好数” 。在 1 到 100 这 100 个自然数中，有多少个“好数”？20、AOMEN 和 MACAO 分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个 5 位数，其中不同的字母代表从 1 到 9 中不同的数字，相同字母代表相同的数字，而且它们的和仍是一个 5 位数，求这个和可能的最大值是多少？
