1、1专题 数形结合思想一、考点回顾1数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。2数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。3“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形
2、结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。4函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。5在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。二、经典例题剖析1选择题（1）（2007 浙江）设 是二次函数，若 的值域是
3、 ，则21()xf， ， ， ()gx()fgx0， 的值域是（ ）()gxA B1 ， ， 10 ， ， C D0， ， 解析：因为 是二次函数，值域不会是 A、B ，画出函数 的图像()gx ()yfx（图 1）易知，当 值域是 时， 的仁政域是 ，答案：C 。0， ()fgx0， 点评：本题考查函数的图像、定义域、值域，是高考的一个重点，考题多以小题形式出现。1。 Oyx1图 12（2）（2007 黄冈模拟）平面直角坐标系中，若方程 表示椭圆，则实2 2(1)(3)mxyxy数 m 的取值范围是 （ ）A.（0，5） B.（1，+ ） C.（0，1） D.（5 ，+ ）解析：分析方程的结
4、构特点，联想椭圆第二定义，可知应把左右两边分别化为两点间的距离和点到直线的距离：，22|3|(1)5xymxy即 时表示椭圆，解得 m5,故选 D。22(0,1)|3|5exym点评：本题考查椭圆的第二定义，考查数形结合和综合运用解析几何知识分析解题的能力。2设 A=x|x|=kx+1,若 AR+=,AR-,求实数 k 的取值范围解法 1:方程|x|=kx+1 的解是函数 y=|x|和 y=kx+1 交点的横坐标,结合图形知（如图 2）,当直线y=kx+1 在角 范围内时,方程有负根 ,且没有正根,故 k1解法 2:由题意须 有解,01xk无解01xk中 k=-1 时无解, ;1,01kxk时
5、 得中 k=1 时无解,k0 时,若 则有解 ,即所以, k1点评：解法 1 中，把方程解的讨论问题转化为两个函数图像交点的问题，利用 k 的几何意义易得解，这是最常用的方法，较之法 2 要简捷得多，体现了数形结合的优越性。3设集全 ，且 ，求有序集合组A，B，C的个数(不同的顺序,345ABC1,3A算不同的组)。解析：借助文氏图（图 3）可知，三个集合 A、B 、C 把全集 U 分成八个部分，需按 1、3 是否属于 C 分类，再把 2、4、5 三个数放到如图中五个位置即可，每一种放法对应一个有序集合组。按 1、3 是否属于 C 分四类：y=|x+1|y=|x|y-1 1ox图 21,3 B
6、A ACA U图 33(1)1、3 C; (2)1C 且 3 C;(3)3C 且 1 C; (4)1、3C共有 534=500 种。点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。4 解三角不等式组 01tan3cos42x分析：利用三角函数的图像或三角函数线（如图 4）求解,先求出一个周期上的解再写出全部。解答： 1tan23cos23cos01tan3cos42xx或由图得解集为： | ()66kkZ点评：三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简捷、高效。5已知 xy0，并且 4x -9y =36由此能否确定一个函数关系
7、y=f(x)？如果能，求出其解析式、2定义域和值域；如果不能，请说明理由分析： 4x -9y =36 在解析几何中表示双曲线的方程，反映了变量 x、y 之间的对应关系，但还不2一定是函数关系，函数中一个 x 只能对应唯一确定的 y，即图像上看不能有“上下重叠”的点。但加上条件 xy0 呢？画出图形（如图 5）则一目了然。解： ，故24936xy因 为 21049y解得 ，或又 0或xyy24(3)9()xyfx因此能确定一个函数关系 y=f(x)其定义域为(-，-3) )3，+)且不难得到其值域为(- ，0)(0， )点评：本例考查对函数概概念的理解，揭示了函数与解析几何中方程的内在联系任何一
8、个函数47656yx0654图 4xOy图 54的解析式都可看作一个方程，但方程中 x 与 y 的对应关系未必是一个函数要要处理好这个关系，又如：（2006 全国 I.20）在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离心率为O10,3F20,的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 轴的交点分32 xy、别为 A、 B，且向量 。求：OMAB（）点 M 的轨迹方程； （） 的最小值 。解:（I）易得椭圆方程的方程为: (x0,y0) 214yx下面想要通过导数确定过第一象限点 P(x0,y0) （01,y2) OM OA OB 1x2 4y26
9、已知关于 x 的实系数二次方程 x2+ax+b=0 有两个实数根 ,证明:()如果0,即4+2a+b0, 2a-(4+b);4-2a+b0, 2a0 即 22+2a+b0 f(2)0 及 4-2a+b0 即 (-2)2+(-2)a+b0,f(-2)0 由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2) 之外若两根,均落在(-2,2)之外, 则与b=4矛盾若( 或)落在(-2,2)外,则由于b=4,另一个根(或)必须落在(-2,2) 内,则与、式矛盾综上所述,均落在(-2,2)内2,2点评：这是 1993 年全国高考题的压轴题, 标准答案中给的第一解法是利用求根公式写出两
10、根,再由已知求出 的范围,再转化为 a、b 的关系，有一定的难度。但是利用数形结合，由二次函数的图象讨论实根分布问题，就容易多了，其压轴功能就大打了折扣。7求函数 的值域。2|1yx分析：本题需要去绝对值化为分段函数，再按直线 x=a 相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨论，借助于图象可有效帮助解题。解：21()xayf213()()4xax（1）当 时，如图 8 知12a3()4yf（2）当 时，如图 912a知 ()yf（3）当 时，如图 1012a知， 3()4yf_图 10Oyx_12-12aa_-12_12xyO图 9_图 8Oyx_12_-12a6综上所述：当 时，值域为12a3,
11、)4a当 时，值域为122当 时，值域为,)点评：分段去绝对值，数形结合，分类讨论。8（2006 福建）已知函数 2()8,()6ln.fxgxm（I）求 在区间 上的最大值()fx,1t;ht（II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，m()yfx()yx求出 的取值范围；若不存在，说明理由。分析：本题是利用导数方法讨论单调性、最值和方程的解的问题，这些都离不开函数的图象，要通过画图或想着图一步步解答。解：（I） 22()8(4)16.fxx当 时，（如图 11） 在 上单调递减，4tf,t2().hft当 即 时，1,t34()416;htf当 即 时， 在
12、 上单调递增，4tfx,22()()8()7;htftt综上， 267,3()1,4,8ttt （II）函数 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点（如图 12），即函数()yfx()ygx的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。()xg2286ln,86(1)3() (0),xmxx当 时， 是增函数；0,1x()0,()当 时， 是减函数；(3)xOyt t+1x=4x图 11Oyx=4y y=g(x)x图 127当 时， 是增函数；(3,)x()0,()x当 或 时，1.()()7,()(3)6ln15.xmxm最 大 值 最 小 值当 充分接近 0 时， 当 充分大时，,()0.x
13、要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()x即7,()6ln3150,m最 大 值最 小 值 7156ln3.m所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点， 的取值范围()yfx()gm为 (7,15l).点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。三、方法总结与 2008 年高考预测（一）方法总结1数形结合，数形转化常从一下几个方面：（1）集合的运算及文氏图（2）函数图象，导数的几何意义（3）解析几何中方程的曲线（4）数形转化，以形助数的还有：
14、数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；2取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。（二）2008 年高考预测1在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空等小题。2从近三年全国高考卷来看，全国卷与其它省市卷相比，涉及数形结合的题目略少，预测 2008 年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思
15、维品质和数学技能的考查，是考纲明确的一个命题方向。8四、强化训练（一） 选择题1设集合 ， ，则 等于（ ）2,AxxR2|,1ByxRCABA B C DR,02（2007 浙江）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标()fx()fx()yfx()fx系中，不可能正确的是（ ）3（2007 安徽）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）xRxa aA B C D1a1a 114（2005 福建）设 的最小值是 （ ）bb则,62,A B C3 D235275(2006 湖南）若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,则2410xyl0axby2直线 的倾斜
16、角的取值范围是 ( )lA B C D,1245,12,630,26（2007 安徽）函数 的图象为 ，()3sinfxx图象 关于直线 对称；C12函数 在区间 内是增函数；()fx5，由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 3sin2yCyxOyxOyxOyxOAB C D9以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）A0 B1 C2 D37（2007 浙江）要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为 6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） 34568（2005 辽宁）已知 是定义在 R 上的单调函数，实数 ， )
17、(xfy12,x12,x，若 ，则（ ）12x |)(|21ffffA B C D001019（2006 北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间 上的任意 ，(,2)21,()x恒成立”的只有 （ ）121|()|fxfx（A） （B）(|fx（C） （D）)xf 2()10（2006 辽宁）直线 与曲线 的公共点的个数为 2yk22918xykx(,)kR且 0（ ）（A）1 （B） 2 （C ）3 （D）411（2007 天津）在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 上是R()fx()2)fx()fx12，减函数，则 （ ）()fx在区间 上是增函数，在区间 上是增函数21，
18、34，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， ，在区间 上是减函数，在区间 上是减函数213412（2007 全国 II）设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若F2yxABC， ，则 （ ）FABC0ABCA9 B6 C4 D310（二） 填空题1若关于 x 的方程 有四个不相等的实根，则实数 m 的取值范围为_。xm245|2（2006 浙江）对 ,记则 则函数Rbaba,a的最小值是 x1,2f x3（2006 湖北）关于 x 的方程(x 2-1)2-|x2-1|+k=0，给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 2 个不同的实根存在实数
19、k，使得方程恰有 4 个不同的实根存在实数 k，使得方程恰有 5 个不同的实根存在实数 k，使得方程恰有 8 个不同的实根其中假命题的个数是_4 设 奇 函 数 f(x)的 定 义 域 为 (- ， 0) (0， + )且 在 (0， + )上 单 调 递 增 ， f(1) 0， 则 不 等 式 f x(x- )21 0 的 解 集 是 _（三） 解答题1若不等式 的所有 m 都成立。求 x 的取值范围。2)1(22xm对 满 足2求函数 的最大值。1y3（2006 春上海） 设函数 54)(2xxf（1）在区间 上画出函数 的图像；6,2)(f（2）设集合 试判断集合 和 之间的关),64,02,5)( BxfA AB系，并给出证明；（3）当 时，求证：在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方k,13ykx)(xf
