1、 江苏省第十九届初中数学竞赛试卷初二年级(2004年 12月 26日 8:3011:00)一、选择题(每小题 7 分，共 56 分)以下每题的 4 个结论中，仅有一个是正确的.请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内1数学大师陈省身于 2004 年 12 月 3 日在天津逝世陈省身教授在微分几何等领域做出了杰出贡献，是获得沃尔夫奖的惟一华人他曾经指出,平面几何中有两个重要定理，一个是勾股定理，另一个是三角形内角和定理，后者表明平面三角形可以千变万化，但是三个内角的和是不变量下列几个关于不变量的叙述：(1)边长确定的平行四边形 ABCD，当A 变化时，其任意一组对角之和不变；(2)当多边形的边数
2、不断增加时，它的外角和不变；(3)当ABC 绕顶点 A 旋转时，ABC 各内角的大小不变；(4)在放大镜下观察，含角 a 的图形放大时，角 a 的大小不变；(5)当圆的半径变化时，圆的周长与半径的比值不变；(6)当圆的半径变化时，圆的周长与面积的比值不变，其中，错误的叙述有 ( )(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个2某种细胞在分裂过程中，每个细胞一次分裂为 2 个1 个细胞第 1 次分裂为 2 个，第 2 次继续分裂为 4 个，第 3 次继续分裂为 8 个，则第 50 次分裂后细胞的个数最接近( )(A)1015 (B)1012 (C)lO8 (D)lO53如图，在五边形
3、ABCDE 中，BCAD，BDAE，ABEC图中与ABC 面积相等的三角形有 ( )(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个4如图，四边形 ABCD 是正方形，直线 l1，l 2，l 3分别通过 A，B，C 三点，且 l1/l2/l3，若 l1与 l2的距离为 5，l 2与 l3的距离为 7，则正方形 ABCD 的面积等于 ( )(A)70 (B)74 (C)144 (D)1485长方形台球桌 ABCD 上，一球从 AB 边上某处 P 点击出，分别撞击球桌的边 BC、CD、DA 各 1 次后，又回到出发点 P 处每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等(例如图中=若 A
4、B=3，BC=4，则此球所走路线的总长度(不计球的大小)为( )(A)不确定 (B)12 (C)11 (D)106代数式 2x26xy+5y2，其中 x、y 可取任意整数，则该代数式不大于 lO 的值有( )(A)6 个 (B)7 个 (C)8 个 (D)10 个7在 2004，2005，2006，2007 这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是( )(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)20078已知关于 x 的不等式组 的整数解有且仅有 4 个：-1，0，l，2，那么适合这2|03bxa个不等式组的所有可能的整数对(a，b)的个数有 ( )(A)1 (B)2 (C)4
5、(D)6二、填空题(每小题 7 分，共 56 分)9在公路沿线有若干个黄沙供应站，每两个黄沙供应站之间有一个建筑工地一辆载着黄沙的卡车从公司出发，到达第 1 个黄沙供应站装沙，使车上的黄沙增加 1 倍，到达第 1 个建筑工地卸下黄沙 2 吨以后每到达黄沙供应站装沙，使车上黄沙增加 1 倍，每到达建筑工地卸下黄沙 2 吨这样到达第 3 个建筑工地正好将黄沙卸光则卡车上原来装有黄沙_吨10有 20 个队参加比赛，每队和其他各队都只比赛 l 场，每场比赛裁定有 1 队获胜,即没有平手获胜 1 场得 1 分，败者得零分，则其中任意 8 个队的得分和最多是_分11在如图所示的梯形等式表中，第行行的等式是
6、_.12普通骰子是各面点数分别为 1，2，3，4，5，6 的正方体现有甲、乙两个普通骰子，将甲骰子每一面的点数分别与乙骰子每一面的点数相加，得到的和如表 1，从中可看出和2，3，4，12 各自出现的次数现在设计丙、丁两个特殊的正方体骰子，要求将丙骰子每面的点数分别与丁骰子每面的点数相加后，所得的和仍然是 2，3，4，12，且同一种和出现的次数与甲、乙两个普通骰子完全相同，即 2 出现 1 次，3 出现 2 次，12 出现 1 次已知丙、丁两个骰子各面的最大点数分别为 4 和 8，且它们各面的点数都是正整数请在表 2 中分别填人丙、丁两个骰子各面的点数(可用点或数字表示)13如图，将四根木条用螺
7、钉连接，构成一个四边形 ABCD(在 A、B、C、D 处都是活动的)现固定 AB 不动，改变四边形的形状当点 C 在 AB 的延长线上时，C=90 0；当点 D 在BA 的延长线上时，点 C 在线段 AD 上，已知 AB=6cm，DC=15cm，则AD=_cm，BC=_cm14一个长方体的长、宽、高都是质数，长、宽的积比高大 8，长与宽的差比高小 9，这个长方体的体积是_15如图，两个矩形 ABCD 和 EFGH 相交，EH、DC 相交于点 M，EF、DA 相交于点 P，FG、AB相交于点 N，GH、BC 相交于点 Q，且 MNDA，PQEH已知 MN=lO，PQ=9，矩形 EFGH 的周长等
8、于 34，则矩形 ABCD 的周长等于_16一个纸质的正方形“仙人掌” ，假设“仙人掌”在不断地生长，新长的叶子是“缺角的正方形” ，这些“正方形”的中心在先前正方形的角上，它们的边长是先前正方形的一半(如图所示)若第 1 个正方形的边长是 1，则生长到第 4 次后，所得图形的面积是_.三、解答题17长边与短边之比为 2：1 的长方形称为“标准长方形” 约定用短边分别为al，a 2，a 3，a 4，a 5(其中 ala2a3a4a5)的 5 个不同“标准长方形”拼成的长方形记为(al，a 2，a 3，a 4，a 5)如图，短边长分别为 1，2，2.5，4,5，7 的“标准长方形”拼成的大长方形
9、记为(1，2，2.5，4.5，7)解答下列问题：(1)写出长方形(1，2，5，a 4,a5)中 a4和 a5可取的值及相应的面积不同的长方形(用上述长方形的记法表示出来)，并画出其中两个符合要求的长方形示意图(2)所有这些长方形(1，2，5，a 4,a5)的面积的最大值是多少?18A、B、C、D、E 五人到商店去买东西，每人都花费了整数元，他们一共花了 56元A、B 花费的差额(即两人所花钱的差的绝对值，下同)是 19 元，B、C 花费的差额是 7 元，C、D 花费的差额是 5 元，D、E 花费的差额是 4 元，E、A 花费的差额是 11 元，问 E 花费了几元?为什么?19当 x=20 时，
10、一个关于 x 的二次三项式的值等于 694若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于 10 的整数，求满足条件的所有二次三项式20 时代数学学习杂志编辑部为了更好地提高杂志质量，邀请了 20 位同学围坐在会议桌旁召开座谈会会上备有足量的各期杂志供大家任意选取，每人可取任意多本，座谈会结束时，统计一下每人所取杂志的本数，发现总有一些座位连在一起的人(可以 1 人或可含全部)，他们所取杂志的本数的和是 20 的整数倍为什么?江苏省第十九届初中数学竞赛(初二年级第 2试)参考答案与评分标准一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A C B D B C D二、填空题 91.75 设
11、卡车上原有黄沙 x 吨，根据题意得方程 2(2x-2)-2-2=O，解得 x=1.75(吨)10124 11n 2+(n2+1)+(n2+2)+(n2+n)=(n2+n+1)+(n2+n+2)+(n2+n+n)12丙 1 2 2 3 3 4 丁 1 3 4 5 6 8注：面上的点子数与排列顺序无关，只要所填点数正确，均可得分1339,3014.273,(105 学生的另解)1534.416 6451三、解否题17根据条件所拼成的长方形有 5 种(1)(1，2，5，6，12)，(12，5，55，6)，(1，2，5，12，145)，(1，2，5，6，11)，(1，2，5，12，29).5 种长方形
12、的示意图如下注:第(1)小题 10 分5 个长方形中答对 1 个给 1 分共 5 分画对 1 个图给 3 分，画对 2 个图给 5 分(2)第(2)小题 2 分由(1)知长方形(1，2，5，12，29)面积最大，其面积是 29X(2+10+58)=2970=203018令 a，b，c，d，e 分别表示 A、B、C、D、E 各人化费的钱数，由题意得4 分145719aed以上等式相加后，左边是零，因此右边的和必须是零因为 4+5+7+11+19=46因此我们将5 个数 a，b，c，d，e 分为两部分，一部分的和是 23，另一部分的和一 23由于4+19=5+7+11=23因此，我们得方程组(1)
13、 (2) 6 分145719aedcba145719aedcba由方程组(1)得： 87154ecbd所以(e+11)+(e-8)+(e-1)+(e+4)+e=56,5e+6=56，5e=50，e=10 10 分由方程组(2)得： 8715)4(ecbeda得(e-11)+(e+8)+(e+1)+(e-4)+e=565e-6=56，e= (不是整数，舍去),62故 E 化费了 10 元 12 分19将 x=20 代入 ax2+bx+c 得 400a+20b+c=694 于是 400a=694-(206+c) 5 分由-10b10，-10c10 得-21020b+c210故 484400a904
14、，又 a 为整数，所以 a=2 7 分将 a=2 代入，得 20b+c=106，于是 20b=-106-c，又-10c10故-11620b-96，而 b 为整数，故 6=-5，代入得 c=-6 10 分将 x=20 代入 2x2-5x-6 得其值为 694所以满足条件的二次三项式只有 2x2-5x-612 分2020 人围成一圈，任选一人开始，依顺时针方向(亦可依逆时针方向)20 人所取本数分别为 al,a2,a3,a4,a20.令 S1=a1，S 2=al+a2Sk=al+a2+a3+a4+ak(k=1，2，3，20) 3 分如果 Sk中有 1 个数为 20 的倍数，则本结论成立若 Sk中没有 1 个数是 20 的倍数，则 Sk被 20 除必有余数，令其余数为rk(k=1，2，20)20 为除数的非零余数有 1，2，3，19 等共 19 个 6 分因此 r1，r 2，r 3，r 20中至少有两个相同不妨设其为 ri=rj，1ij20此时，S iSj=ai+1+ai+2+aj为 20 的倍数即相邻的第 i+1，i+2，至第 j 个人，他们所取本数的和是 20 的倍数 12 分
