1、数学高考压轴题的特征及应对策略江苏省姜堰中学 张圣官（225500）以能力为立意，重视知识的发生发展过程，突出理性思维，是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。由于高考的选拔功能，近年来的数学高考的压轴题中出现了不少以能力立意为目标、以增大思维容量为特色，具有一定深度和明确导向的创新题型，使数学高考试题充满了活力。本文准备结合近几年高考实例来谈谈数学高考压轴题的特征及应对策略。一数学高考压轴题的特征1综合性，突显数学思想方法的运用近几年数学高考压轴题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法、能力综合型尤其是创新能力型试题。压轴
2、题是高考试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。例 1 （06 年福建（理）第 21 题）已知函数 f(x)=x +8x，g(x )=6lnx+m；2（）求 f(x)在区间t，t+1上的最大值 h(t)；（）是否存在实数 m，使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交yf()y点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由解：（I）f( x)=x 2+8x=(x4) 2+16；当 t+14 时，f( x)在 t，t+1上单调递减，h( t)=f(x)=t 2+8t；综上，2267, 3;()1, 48
3、;thtt（II）函数 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数xg(x) f(x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点从而有： ，2816lnm(0) 213() (0),xx xx当 x(0,1)时， ， 是增函数；当 x(1,3)时， ， 是减函()0() ()x数；当 x(3,+) 时， ， 是增函数；当 x=1，或 x=3 时， ；()x() ()0x 极大值 = 极小值 = =m+6ln 315；()x(1)7,m()x()当 充分接近 0 时， 当 充分大时，0()0.x要使 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，()当且仅当 即 ，70
4、,()6ln315,m极 大 值极 小 值 7156ln3m所以存在实数 m，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点，m()yfx()yg的取值范围为 (7, 156ln3)点评：本小题主要考查函数的基本知识和运用导数研究函数能力；第一小问考查分类与整合等数学思想，第二小问考查函数与方程、数形结合及转化与化归数学思想。2高观点性，与高等数学知识接轨所谓高观点题，是指与高等数学相联系的数学问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。由于高考的选择功能，这类题往往倍受命题者青睐。近年来的考题中，出现了不少背景新、设问巧的高观点题，成为高考题中一道亮丽的
5、风景。例 2 （06 广东（理）22 题）A 是由定义在 上且满足如下条件的函数 组成的集2, 4 )(x合：对任意 ，都有 ；1, 2x()1, x存在常数 ，使得对任意的 ，都有(0L12, x；1212|()|xx（）设 ，证明： ；3(, , 4()xA（）设 ，如果存在 ，使得 ，那么这样的 是唯一的；)xA2,10x00(2)0x（）设 ，任取 ,令 ，证明：给定正整数 k，( )l 1,1,nnx对任意的正整数 p，成立不等式 21|kklLx解：（）对任意 , , , ,1 2x3()12, xx3()3532所以 对任意的 ，(2), , 有： ，12122 23 33112
6、|()| 1xxxxx，2 233112所以： ,2 23 3311201xxx令 ， ，2 23 33112L 01则 ；所以 ；2|()|xLx()xA（）反证法：设存在两个 使得 , ；00,1, 200(2)x0()x则由 ，得 ，所以 ，矛盾，/ /00|(2)()|xx/|xL1L故结论成立。（） ，所以 ；322121()(xxLx112nnxx1| |kkpkpkpkpkL 1121xxx231kpkpLL 12xk12xK点评：本题具有高等数学中的拉格朗日中值定理的背景，一般学生解答是很困难的。在对待高观点题时要注意以下两个方面：一是高观点题的起点高，但落点低，即试题的设计虽
7、来源于高等数学，但解决的方法是中学所学的初等数学知识，而不是将高等数学引入高考；二是高观点题有利于区分考生能力，在今后高考中还会出现，在复习时要加强“双基” ，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新时期的高考要求。3交汇性，强调各个数学分支的交汇注重在知识网络的交汇点上设计试题，重视对数学思想方法的检测，是近年来高考试题的特色。高考数学压轴题讲究各个数学分支的综合与交汇，以利于加强对考生多层次的能力考查。例 3（08 年山东卷（理）第 22 题）如图，设抛物线方程为 ， 为直2(0)xpyM线 上任意一点，过 引抛物线的切线，切点分别为 2ypMAB，（）求证： 三点
8、的横坐标成等差数列；AB， ，（）已知当 点的坐标为 时， 求此时抛物线的方程；M(2)p， 410AB（）是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点 在抛CD物线 上，其中，点 满足2(0)xpy（ 为坐标原点） 若存在，求出所有适合OCAB题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由M解：（）证明：由题意设；221120( )( )()xxABxpp， ， ， ， ， ，由 得 ，得 ，所以 ， ；2xypy1MAxk2Bp因此直线 的方程为 ，直线 的方程为 ；MA102()x20()xyp所以 ； ；2110()xpx220()xp由、得 ，因此 ，即 ；12120120x012x所以 三点的
9、横坐标成等差数列AMB， ，（）解：由（）知，当 时，将其代入、并整理得：0x， ，2214xp2240xp所以 是方程 的两根，因此 ， ，2， 40xp124x212xp又 ，所以 ；1022ABpkxpABkp由弦长公式得 ；22 21124()416kxxp又 ，所以 或 ，因此所求抛物线方程为 或 410ABp2xy24（）解：设 ，由题意得 ，3()Dxy， 1212()Cxy，yxBAOM2p则 的中点坐标为 ，CD123123()xyQ，设直线 的方程为 ，AB011()yxp由点 在直线 上，并注意到点 也在直线 上，代入得212()y， AB；03xyp若 在抛物线上，则
10、，3()Dy， 2303xpyx因此 或 即 或 ；30x30()D， 20()，（1）当 时，则 ，此时，点 适合题意；0120x()Mp，（2）当 ，对于 ，此时 ，0x()， 210()xC， 又 ， ，2121004CDxpk0ABxkpCD所以 ，即 ，矛盾；221104ABCpx 2214xp对于 ，因为 ，此时直线 平行于 轴，20()Dx， 210()p， CDy又 ，所以直线 与直线 不垂直，与题设矛盾，0ABkpAB 时，不存在符合题意的 点综上所述，仅存在一点 适合题意0xM(02)Mp，点评：本题从形式上看兼有解几、数列、向量等多个数学分支，但细细分析可知数列和向量都只
11、须了解基本概念即可，主要还是解几的内容。二数学高考压轴题的应对策略1抓好“双基” ，注意第一问常常是后续解题的基础在平时的学习中，一定要牢固地掌握基本、知识基本方法、基本技能的运用，这是解决数学高考压轴题的关键，因为越是综合问题越是重视对基本知识方法的考查。这里也要提醒大家一点，数学高考压轴题的第一问常常是后续解题的基础。例 4 （04 年全国卷 2 理科 22 题）已知函数 f(x)ln(1 x) x， g(x) xlnx(I)求函数 f(x)的最大值；(II)设 0 a b，证明：0 g(a) g(b)2 g( )( b a)ln2解：(I)函数 f(x)的定义域是(-1,), (x)=
12、.令 (x)=0，解得 x=0，当-10,当 x0 时, (x)-1,且 x0)，由题设 0- .l 0又 a a 时 因此 F(x)在(a,+)上为增函数 奎 屯王 新 敞新 疆 从而，当 x=a 时，F(x)有极小值 F(a) 奎 屯王 新 敞新 疆 因,0为 F(a)=0,ba,所以 F(b)0,即 00，那么该函ayx数在(0, 上是减函数，在 ,0)上是增函数；aa（1）如果函数 y=x+ （x 0）的值域为6,+)，求 b 的值；2b（2）研究函数 y= （常数 c0）在定义域内的单调性，并说明理由；2c（3）对函数 y=x+ 和 y= （常数 a0）作出推广，使它们都是你所推广的
13、函数的ax特例，研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明） ，并求函数 F(x)=+ （n 是正整数）在区间 ，2上的最大值和最小值（可利用你的研nx)1(2)(2 12究结论） 解：（1）函数 y=x+ (x0)的最小值是 ，则 =6， b=log29；b bb（2）设 0y1, 函数 y= 在 ,+)上是增函数；4c2c4当 00） ，其中 n 是正整数；nx当 n 是奇数时，函数 y= 在(0, 上是减函数，在 ,+)上是增函n2na2数；在(, 上是增函数，在 ,0)上是减函数，na2 na2当 n 是偶数时，函数 y= 在(0, 上是减函数，在 ,+) 上是增函数；nxa2na2在(, 上是减函数，在 ,0)上是增函数；na2 n2F(x)= +)1nx)(2= 021323211( )()()n rnrnnn r nCCxCx 因此 F(x) 在 ,1上是减函数，在1,2上是增函数；所以，当 x= 或 x=2 时，F(x)取得最大值( )n+( )n；当 x=1 时 F(x)取得最小值129242n+1点评：该题的背景就是“耐克函数” ，它在(0, 上是减函数，在 ,0)ayxaa上是增函数。这是课本上熟知的一个函数。
