1、第 14 章 整式的乘法复习与测试知识网络归纳 22()(, )():()mnnnaabbamnbanba 特 殊 的=幂 的 运 算 法 则 为 正 整 数 ， 可 为 一 个 单 项 式 或 一 个 式 项 式单 项 式 单 项 式单 项 式 多 项 式 :多 项 式 多 项 式 ：整 式 的 乘 法 平 方 差 公 式 乘 法 公 式 完 全 平 方 公 式 ：互逆 222():abab因 式 分 解 的 意 义 提 公 因 式 法因 式 分 解 因 式 分 解 的 方 法 平 方 差 公 式运 用 公 式 法 完 全 平 方 公 式因 式 分 解 的 步 骤难点讲解：（2）正确处理运算
2、中的“符号” ，避免以下错误，如：等；例 5 【点评】 由（1） 、 （2）可知互为相反数的同偶次幂相等；互为相反数的同奇次幂仍互为相反数3、下列各式计算正确的是（ ）A、 B、632ba5252baC、 D、1243 46239112、 的值是（ ）1mA、1 B、1 C、0 D、 13m整式的乘法11、 因式分解为 。xybax23（6） 735a(6)12a2b(xy)4ab(yx)(7m11n) (11n7m) = _； _,)yxy )1(1xy_)2(_3(2 baba,)() 22yx3426.0.0( nmmn(4xy)(5x2y)_(2)(x2)(x3)(x 6)(x1) 2
3、、求(ab) 2(ab) 24ab 的值，其中 a2002，b20012化简 的结果是（ ）()()cac专题综合讲解专题一 巧用乘法公式或幂的运算简化计算方法 1 逆用幂的三条运算法则简化计算（幂的运算是整式乘法的重要基础，必须灵活运用，尤其是其逆向运用。 ）例 1 (1) 计算： 。1961963()()0(2) 已知 39m27 m3 21，求 m 的值。(3) 已知 x2n4，求(3x 3n)24(x 2) 2n 的值。思路分析：(1) ，只有逆用积的乘方的运算性质，才能使运算简10便。(2)相等的两个幂，如果其底数相同，则其指数相等，据此可列方程求解。(3) 此题关键在于将待求式(3
4、x 3n)24(x 2) 2n 用含 x2n 的代数式表示，利用(x m)n(x n)m 这一性质加以转化。解：(1) .19619619619633()(00(2) 因为 39m27 m3(3 2)m(33)m33 2m33m3 15m ，所以 315m 3 21。所以 15m21，所以 m4.(3) (3x3n)24(x 2)2n9(x 3n)24(x 2)2n9(x 2n)34(x 2n)294 344 2512。3、已知： ，求 m.697m方法 2 巧用乘法公式简化计算。例 2 计算： . 2481511()()2思路分析：在进行多项式乘法运算时，应先观察给出的算式是否符合或可转化成
5、某公式的形式，如果符合则应用公式计算，若不符合则运用多项式乘法法则计算。观察本题容易发现缺少因式 ，如果能通过恒等变形构造一个因式 ，则运用平方差公式就1()21()2会迎刃而解。解：原式 248151()()() 212 4815()() 82 165() .152点评：巧妙添补 2 ，构造平方差公式是解题关键。()方法 3 将条件或结论巧妙变形，运用公式分解因式化简计算。例 3 计算：2003002 220030212003023原式2003002 2(2003002 1)(20030021)2003002 2(2003002 2 1)2003002 22003002 211点评：此例通过
6、把 2003021 化成(2003023 1) ，把 2003023 化成(20030221)，从而可以运用平方差公式得到(2003022 21) ，使计算大大简化。由此可见乘法公式与因式分解在数值计算中有很重要的巧妙作用，注意不断总结积累经验。例 4 已知(xy) 21，(x y) 249，求 x2y 2 与 xy 的值。解法 1：x 2y 2 .22()()1495xy.22()()4解法 2：由(xy) 21 得 x22xyy 21. 由(xy) 249 得 x2y 22xy49. 得 4xy48，所以 xy12.点评：解决本题关键是如何由(xy) 2、(xy) 2 表示出 x2y 2
7、和 xy，显然都要从完全平方公式中找突破口。以上两种解法，解法 1 更简单。专题二 整式乘法和因式分解在求代数式值中的应用（格式的问题）方法 1 先将求值式化简，再代入求值。例 1 先化简，再求值。(a2b) 2(a b)(ab)2(a 3b)(a b) ，其中 a ，b3.12思路分析：本题是一个含有整式乘方、乘法、加减混合运算的代数式，根据特点灵活选用相应的公式或法则是解题的关键。解：原式a 24ab 4b 2a 2b 22(a 24ab3b 2)2a 24ab 3b 22a 28ab6b 24ab3b 2。当 a ，b3 时，原式4 (3) 3(3) 262733.11点评：(1) 本题
8、要分沮是否可用公式计算。(2) 本题综合应用了完全平方公式、平方差公式及多项式乘法法则。(3) 显然，先化简再求值比直接代入求值要简便得多。方法 2 整体代入求值。 ）例 2 当代数式 ab 的值为 3 时，代数式 2a2b1 的值是（ ）A、5 B、6 C、7 D、8解析：2a2b12(ab)12317，故选 C。点评：这里运用了“整体思想” ，这是常用的一种重要数学方法。练习 1：、若代数式 的值为 6，则代数式 的值为 .2a5962a5、已知; 求 的值，012a1923a5、已知 ，求 的值)()2yxxy2综合题型讲解题型一 学科内综合(一) 数学思想方法在本章中的应用1、从特殊到
9、一般的认识规律和方法在探索幂的运算法则时，都是从几个特殊例子出发，再推出法则。如：从以下几个特殊的例子 a2a3 a 5a 23 ，23个 个a4a6 a 10a 46 ，46个 个推广到 aman a m+n。mn 个 个从而得到法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加” 。2、化归思想即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的思想方法，如在本章中，单项式乘以单项式可转化为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可转化为单项式乘以单项式，即多多 多单 单单。还有：如比较 420 与 1510 的大小，通常也是将要比较 转 化
10、 转 化的两个数化为底数相同或指数相同的形式，再进行比较，即 420(4 2)1016 10，16 1015 10，所以 42015 10。3、逆向变换的方法（不讲）在进行有些整式乘法运算时，逆用公式可使计算简便。这样的例子很多，前边已举了一些，这里再举一例。例： 202032020557()1.4()75.71还有把乘法公式反过来就得出因式分解的公式等。4、整体代换的方法（在幂与乘法，及因式分解中）此方法的最典型应用表现于乘法公式中，公式中的字母 a、b 不仅可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，在因式分解 3a(m2)4b(m2)中，可把 m2 看作一个整体，提公因式 m2，即原式(m
11、 2)(3a 4b)。(二) 与其他知识的综合( 方程，不等式，面积的) （举例）例 1 （与方程综合）一个长方形的长增加 4 cm，宽减少 1 cm，面积保持不变；长减少 2 cm，宽增加 1 cm，面积仍保持不变。求这个长方形的面积。解：设这个长方形的长为 a cm，宽为 b cm，由题意得即(4),21ab40,2.解得 8,3.b因为 ab8324，所以这个长方形面积为 24 cm2。点评：本题是一道多项式乘以多项式和列二元一次方程组解应用题的综合题。4、解不等式 1)3()2(yy题型二 学科间的综合例 2 生物课上老师讲到农作的需要的肥料主要有氮、磷、钾三种，现有某种复合肥共 50
12、 千克，分别含氮 23%、磷 11%、钾 6%，求此种肥料共含有肥料多少千克？解：5023%5011%506%50（23% 11%6%）5040%20.答：复合肥共含有肥料 20 千克。题型三 拓展、创新、实践（整除问题）例 3 （拓展创新题）2 481 可以被 60 和 70 之间某两个数整除，求这两个数。思路分析：由 2481(2 24)21(2 241)( 2 241) (2 241)(2 121) (2121)(2 241)(2 121)(2 61)(2 61)(2 241)(2 121)(2 61)(64 1)(641)(2 241)(2 121)(2 61)6563，所以这两个数是
13、 65 和 63。点评：本题是因式分解在整除问题中的应用。同步测试一、填空题1、(a) 2(a) 3 ，(x) x2(x 4) ，(xy 2)2 .2、(210 5)21021 ，(3xy 2)2(2x 2y) .3、计算：(8) 2004 (0.125) 2003 ，2 20052 2004 .4、计算：(mn) 3(mn) 2(nm) ，(3a)(1a) ，(a2)(a 2)(4a 2) ，(mn1)(mn1) .5、x n5，y n3，则(xy) 2n ，若 2xm，2 yn，则 8x+y .6、若 A3x2，B12x，C5x，则 ABAC .7、不等式(x16)(x 4)(x 12)2
14、 的解集是 .8、比较 25180，64 120，81 90 的大小用“”号联 .9、把下列各式分解因式：(1) a2n2a 2n1 ； (2) x2x1 4；(3) mm 5 ； (4) (1x)(x1) 3 .10、在多项式 16a24 上加上一个单项式，使其成为一个整式的平方，该单项式是 .11、四个连续自然数中，已知两个大数的积与其余两个数的积的差等于 58，则这四个数的和是 .12、如图(1)的面积可以用来解释(2a) 24a 2，那么根据图(2) ，可以用来解释 （写出一个符合要求的代数恒等式） 。二、选择题13、下列各式中，正确的是（ ）A、m 2m3m 6 B、( ab)(ba
15、) a 2b 2C、25a 2 2b2(5a2b)(5a2b) D、(x y)(x 2xyy 2)x 3y 314、与(x 2x1)(x 1)的积等于 x61 的多项式是（ ）A、x 21 B、x 31 C、x 21 D、x 3115、已知 5x3，5 y4，则 25x+y 的结果为（ ）A、144 B、24 C、25 D、4916、x 为正整数，且满足 3x+12x3 x2x+16 6，则 x（ ）A、2 B、3 C、6 D、1217、把多项式 2x2bxc 分解因式后得 2(x3)(x1) ，则 b、c 的值为（ ）A、b3，c1 B、b6，c2C、b6，c 4 D、b4，c618、如果
16、xy0，且(xy) 3x 3y 3，那么 x、y 的关系为（ ）A、xy B、xy 0 C、x、y 异号 D、x、y 同号19、不等式(x1) 2(x 1)(x1) 3(x1) 0 的正整数解为（ ）A、1, 2 B、1, 2, 3 C、1, 2, 3, 4 D、任意正整数20、若二次三项式 ax2bxc(a 1xc 1)(a2xc 2)，则当 a0，b0，c0 时，c1，c 2 的符号为（ ）A、c 10, c 20 B、c 10, c 20 C、c 10, c 20 D、c 1, c2 异号21、若 m2m10，则 m32m 23（ ）A、2 B、4 C、2 D、422、已知 x2ax12
17、 能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数 a 的个数是（ ）A、3 个 B、4 个 C、6 个 D、8 个三、解答题23、计算：(1) (2y 3)2(-4y 2)3(2y) 2(-3y2)2；(2) (3x2) 2(3x2) 2(3x2) 2(3x2) 2；(3) 3.765420.46923.76540.2346 2.24、因式分解：(1) (a3) 2(6 2a) ；(2) 81(ab) 24(ab) 2；(3) (x25) 28(5x 2)16.25、解方程或不等式：(1) 3(x2) 2(2x1) 27(x3)(x3) 28；(2) (13x) 2(2x1) 25(x1)
18、(x1).26、化简求值：(1) (x23x)(x3)x(x 2)2(xy)(y x)，其中 x3，y2；(2) 已知 x23x10，求下列各式的值， ； .41x四、应用题27、如图大正方形的面积为 16，小正方形的面积为 4，求阴影部分的面积。28、如图四边形 ABCD 是校园内一边长为 ab 的正方形土地（其中 ab）示意图，现准备在这块正方形土地中修建一个小正方形花坛，使其边长为 ab，其余的部分为空地，留作道路用，请画出示意图。 (1) 用尺规画出两种图形的情形，保留痕迹，不写作法，并标明各部分面积的代数式。(2) 用等式表示大小正方形及空地间的面积关系。附 1：中考热点透视分解因式
19、一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）. 具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系.2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）. 3、通过乘法公式：（a + b） （a - b）=a 2 - b2， （ab） 2= a22ab + b2的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力.在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常
20、规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意. 一、构造求值型例 1（2004 山西）已知 x+y=1，那么 的值为_.221xy分析：通过已知条件，不能分别求出 x、y 的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出 x+y 的整体形式 . 在此过程中我们要用完全平方公式对因式分解中的 . = （x 2+2xy+y2）= (x+y)2 = 12 = 1 = .22y1在此过程中，我们先提取公因式 ，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x+y 的整体形式，最后将 x+y=1 代入求出最终结果. 例 2（2004 广西桂林）计算： _.2019832分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来” ，即原式 = 231890 = )(21= 389= )2(21= 38
