1、上海市尚德实验学校杨晓 Email:初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识一、知识要点1、绝对值x 的绝对值 的意义如下： =x0x， 如 果， 如 果是一个非负数，当且仅当 x=0 时， =0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得： 表示数轴上 a 点到 b 点的距离。ba2、倒数1 除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于 1。3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于 0。二、例题精讲例 1 化简 632xx分析：由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 求出零点，然
2、后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。解：由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当 时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+221x当 时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+43当 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 106当 x6 时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2原式= 时当， 时当， 时当， 时当， 6x 2-x3 10421评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。上海市尚德
3、实验学校杨晓 Email:0 1-3例 2 已知 的最大值和最小值。(第六届迎3123513xxx， 求春杯决赛试题)分析：先解不等式，求出 x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。解：解不等式 得： 235127x的几何意义是 x 到 1 的距离与 x 到-3 的距离的差，从上图中可以1x看出：当 x-3 时这差取得最大值 4，因 ，则当 时这差取得最小值717.1评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。2、本题求得 x 的范围后，也可用零点分段法将 化简，然后求出31x最大值和最小值。=311723 4xxx， 当 时当，由上式可以看出：当 x-3 时
4、取得最大值 4，当 时取得最小值13例 3 解方程 0 13.728 145926. yx(第六届华杯赛决赛初一试题)分析：两个非负数的和是 0，这两个非负数必须都是 0。解：由原方程得)2( 13.7284596yx由(1)得： .x上海市尚德实验学校杨晓 Email:从而 x=x-3.1415926 或 x=3.1415926-x，所以 x=1.5707963由(2)得： 13.728y从而 yy 13.78 .1或所以 y= 或 y=207605于是，原方程的解是 601593. 2179.yxyx评注：两个非负数的和是 0，这两个非负数必须都是 0 是解题中常用的一个结论。本题中，求
5、中的 x 值也可以用绝对值的几何意义来解，4596.3x表示 x 到原点与到 3.1415926 的距离相等，因而 x 是原12.x点与点 3.1415926 连结线段的中点，即 x=1.5707963例 4 有理数 均不为 0，且 设 试求代cba, .0cba |,|baccbax数式 2000 之值。(第 11 届希望杯培训题)x91分析：要求代数式 2000 的值，必须求出 x 的值。根据 x 的特征和已知条件，分析 a 与 b+c,b 与 a+c，c 与 a+b 的关系，从而求出 x 的值。解：由 均不为 0，知 均不为 0cb, bab, . ).(),()( bac即 1,1又
6、中不能全同号，故必一正二负或一负二正cba,所以 中必有两个同号，即其值为两个1，一个1 或两个bac|,|1，一个1 ,| cb .1| baccbax因此， 2091x.190291上海市尚德实验学校杨晓 Email:例 5 已知 a、b、c 为实数，且 51431acba，求 的值。(第 8 届希望杯试题)分析：直接对已知条件式进行处理有点困难，根据已知条件式的结构特征，可以将它们两边取倒数。解：由已知条件可知 a0，b0，c0，对已知三式取倒数得：51 41 3aa，三式相加除以 2 得： 6c因为 ，所以 =bbcacab61例 6 求方程 的实数解的个数。(1991 年祖冲之杯数学
7、邀请赛试题)132x分析：1 可以化成： ，于是32x32x由绝对值的性质：若 ab0，则 可得(x-2) (x-3) 0ba从而求得 x解：原方程可化为： 32x32x则 (x-2) (x-3)0，所以 ，所以 2x30 0或因此原方程有无数多个解。评注：本题很巧妙地将“1”代换成 ，然后可利用绝对值的性质来32x解题。在解数学竞赛题时，常常要用到“1”的代换。例 7 求关于 x 的方程 的所有解的和。1)a(0 12 解：由原方程得 ，ax20a1， ，即 x-2=(1a), x=2(1a),x从而，x 1=3+a， x 2=3-a， x 3=1+a， x 4=1-a上海市尚德实验学校杨晓
8、 Email:x 1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和为 8例 8 已知： 。的 值， 求， 且 10242 xax分析：直接求值有困难，但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生 ，通过将x1整体处理来求值。x1解： axa1022 ， 且即 xx1 1而 2222224 11ax ax124评注：本题通过将 整体处理来解决问题，整体处理思想是一种常用的数学思想。例 9 解方程组 (1984 年江苏省苏州市初中数学竞赛试题)221yzxz解：观察得，x=y=z=0 为方程组的一组解。当 xyz0 时，将原方程组各方程两边取倒数得：上海市尚德实验学校杨晓 Email:(1)+(2)+(3)
9、得：)3( 122)( yzxz 22132yxzyx 011222222 zyxzyxzx x=y=z=1011y故原方程组的解为： 1 0zyxzx或评注：本题在对方程组中的方程两边取倒数时，不能忘了 x=y=z=0 这组解。否则就会产生漏解。三、巩固练习选择题1、若 ( )的 值 是， 则 a2A、1 B、-1 C、 1 或-1 D、以上都不对 2、方程 的解的个数是( ) (第四届祖冲之杯数学邀请赛试题)3xA、0 B、1 C、2 D、3 E、多于 3 个3、下面有 4 个命题：存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。存在并且只存在一个正整数
10、和它的倒数相同。存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。其中正确的命题是：（ ）（A）和 （B）和 （C）和 （D）和4、两个质数的和是 49，则这两个质数的倒数和是( )上海市尚德实验学校杨晓 Email:A、 B、 C、 D、49458645、设 y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c 为常数)，已知当 x=7 时， y=7，则 x= -7 时，y 的值等于( )A、-7 B、-17 C、17 D、不确定6、若 a、c、d 是整数，b 是正整数，且满足 a+b=c，b+c=d，c+d=a，则 a+b+c+d 的最大值是( )A、-1 B、0 C、1 D、-5填空题7、设 a0，且
11、 x = 2 ,xa则8、a、b 是数轴上两个点，且满足 ab。点 x 到 a 的距离是 x 到 b 的距离的 2 倍，则x= 9、 若 互为相反数，则 236m与 m10、计算： 10321311 11、若 a 是有理数，则 的最小值是.|)(|)(aa12、有理数 在数轴上的位置如图所示，化简cb,._|1|1| c解答题13、化简： 325x14、已知 20101baba， 求15、若 abc0，求 的所有可能的值c16、X 是有理数，求 的最小值。219510xx17、已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值为 1，求 a+b+x 2-cdx 的值。18、求满足 的所有整数对(a，b).上海市尚德实验学校杨晓 Email:19、若 的值恒为常数，求 x 的取值范围及此常数的值。631542xx20、已知方程 有一个负根而没有正根，求 a 的取值范围。a
