1、1毛 毛 虫 模 型1.光滑地面上放着两钢球 A 和 B，且 mAm B,B 上固定着一轻弹簧，如图所示，现在 A 以速率 v0 碰撞静止的 B 球，有：A当弹簧压缩量最大时，A、B 两球的速率都最小；B当弹簧恢复原长时，A 球速率为零；C当 A 球速率为零时，B 球速率最大；D当 B 球速率最大时，弹簧的势能为零；2.如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块 A、 B、 C，质量分别为mA=1kg，mB=1kg， mC=2kg，其中 B 与 C 用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态； A 和 B之间有少许塑胶炸药， A 的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能
2、量损失）现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有 E=9J 转化为 A 和 B 沿轨道方向的动能， A 和B 分开后， A 恰好在 B、 C 之间的弹簧第一次恢复到原长时追上 B，并且与 B 发生碰撞后粘在一起求：（1）在 A 追上 B 之前弹簧弹性势能的最大值；（2） A 与 B 相碰以后弹簧弹性势能的最大值【解析】（1）塑胶炸药爆炸瞬间取 A 和 B 为研究对象，假设爆炸后瞬间 A、 B 的速度大小分别为 vA、 vB，取向右为正方向由动量守恒： mAvA+mBvB=0爆炸产生的热量由 9J 转化为 A、 B 的动能 221BAvmE代入数据解得 vA =vB =3m/s由于 A 在炸药爆
3、炸后再次追上 B 的时候弹簧恰好第一次恢复到原长，则在 A 追上 B 之前弹簧已经有一次被压缩到最短（即弹性势能最大），爆炸后取 B、 C 和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时 B、 C 达到共速 vBC，此时弹簧的弹性势能最大，设为 Ep1由动量守恒，得 mBvB=（ mB+mC） vBC由机械能守恒，得 PBcE22)(1代入数据得 EP1=3J（2）设 B、 C 之间的弹簧第一次恢复到原长时 B、 C 的速度大小分别为 vB1和 vC1，则由动量守恒和能量守恒： mBvB=mBvB1+mCvC1 212121CBmv代入数据解得： vB1=1m/s， vC1=2m/s （ vB1
4、 =3m/s， vC1=0m/s 不合题意，舍去）A 爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后速度大小不变，反向弹回当 A 追上B，发生碰撞瞬间达到共速 vAB由动量守恒，得 mAvA+mBvB1=（ mA+mB） vAB 解得 vAB =1m/sA B C2当 A、 B、 C 三者达到共同速度 vABC时，弹簧的弹性势能最大为 EP2由动量守恒，得（ mA+mB） vAB+mCvC1=（ mA+mB+mC） vABC由能量守恒，得 22212 )()(21 PABCBAv代入数据得 EP2 =0.5J3、 如图示，在光滑的水平面上，质量为 m 的小球 B 连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为
5、 2m 的小球 A 以初速度 v0 向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使 B 运动，过了一段时间 A 与弹簧分离.（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能 EP 多大？ （2）若开始时在 B 球的右侧某位置固定一块挡板，在 A 球与弹簧未分离前使 B 球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设 B 球与挡板的碰撞时间极短，碰后 B 球的速度大小不变但方向相反，欲使此后弹簧被压缩到最短时，弹性势能达到第（1）问中 EP 的 2.5 倍，必须使 B 球在速度多大时与挡板发生碰撞？解： （1）当弹簧被压缩到最短时，AB 两球的速度相等设为 v，由动量守恒定律 2mv0=3mv 由机械能守恒定律EP=1
6、/22mv02 -1/23mv2 = mv02 / 3（2）画出碰撞前后的几个过程图由甲乙图 2mv0=2mv1 +mv2由丙丁图 2mv1- mv2 =3mV由甲丁图,机械能守恒定律（碰撞过程不做功）1/22mv02 =1/23mV2 +2.5EP解得 v1=0.75v0 v2=0.5v0 V=v0/34、（2000 年 14 分）在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”.这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似.两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态.在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板 P，右边有一小球 C 沿轨道以速度 射向 B 球
7、，如图所示 .C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整0体 D.在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变.然后，A 球与挡板 P 发生碰撞，碰后 A、D 都静止不动，A 与 P 接触而不粘连.过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除定均无机械能损失）.已知 A、B、C 三球的质量均为 m.（1）求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度.（2）求在 A 球离开挡板 P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能.分析：小球 C 与小球 B 作用的过程中两个小球组成的系统动量守恒 .B 与 C 结合成 D 与小球A 弹簧组成的系统，当 A、D 速度相同的时候弹簧的压缩量最大，这个过程
8、中系统动量守恒，BAv0BAv0 甲BAv1v2乙BAv1v2 丙AV丁B3两个小球减少的动能转化为弹簧的弹性势能.在 A 球没有离开 P 以前弹簧的弹性势能转化为小球 D 的动能，当弹簧恢复到原长时 D 小球的动能最大然后在弹簧被拉长的过程中小球 D减速运动，小球 A 加速运动，当他们的速度相同的时候弹簧的伸长量最大.从 A 离开 P 到A、D 共速的过程中系统动量守恒，系统减少的动能转化为弹簧的弹性势能 .解：（1）设 C 球与 B 球粘结成 D 时，D 的速度为 ，由动量守恒，有1012m当弹簧压至最短时，D 与 A 的速度相等，设此速度为 ，由动量守恒，有2123由、两式得 A 的速度
9、20（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为 ，由能量守恒，有PE221()(3)PmE撞击 P 后，A 与 D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成 D 的动能，设 D 的速度为 ，则有321()PE当弹簧伸长，A 球离开挡板 P，并获得速度.当 A、D 的速度相等时，弹簧伸至最长.设此时的速度为 ，由动量守恒，有4342m当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为 ，由能量守恒，有pE22341()p解以上各式得 206pEm5. 在原子物理中，研究核子与核子关联的最有效途经是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下面力学模型类似。两个小球 A 和
10、B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直轨道的固定档板 P，右边有一小球 C 沿轨道以速度 v0 射向B 球，如图所示，C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A 球与档板 P 发生碰撞，碰后4A、D 静止不动，A 与 P 接触而不粘连。过一段时间，突然解除销定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知 A、B、C 三球的质量均为 m。（1）求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度。（2）求在 A 球离开档板 P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。解：整个过程可分为四个阶段来处理（1
11、）设球与球粘结成时，D 的速度为 1，由动量守恒定律，得 mv0=2mv1 当弹簧压至最短时，与的速度相等，设此速度为 v2，由动量守恒定律，得 2mv1 3v 2 联立、式得 v2v 03 也可直接用动量守恒一次求出（从接触到相对静止）mv0=3mv2，v 2=(1/3)v0（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为 EP，由能量守恒定律，得1/2（2）v 121/2（3）v 22E P 撞击后，与的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，弹性势能全部转变成的动能，设的速度为 v3，有 E P1/2 （2） v32 以后弹簧伸长，球离开挡板，并获得速度设此时的速度为 v4，由动
12、量守恒定律，得 2v 33v 4 当弹簧伸到最长时，其弹性势能最大，设此势能为 EP，由能量守恒定律，得1/2（2）v 321/2（3）v 42E P 联立式得 061mvP6.如图 1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速度 u0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。如图 2，将 N 个这样的振子放在该轨道上。最左边的振子 1 被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为 E0。其余各振子间都有一定的距离。现解除对振子 1 的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时
13、，刚好与振子 2 碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。Pmm mA B V0 C1 2 3 4 N左左右右图 1图 25设每个小球质量为 m，以 u1、u 2 分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度，由动量守恒和能量守恒定律有 mu1+ mu2= mu0， 1/2mu12+1/2mu22= 1/2 mu02，解得 u1= u0，u 2=0， 或者 u1=0，u 2= u0。由于振子从初始状态到弹簧恢
14、复到自然长度过程中，右端小球一直加速，因此实际解为u1=0，u 2= u0。以 v1、v 1/分别表示振子 1 解除锁定后弹簧恢复到自然长度时，左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，mv1+ mv1/=0， 1/2mv12+ 1/2 mv1/2= E0， 解得 或 。mEv0/0,mv/,由于该过程中左右小球分别向左右加速，故应取第 2 组解。振子 1 与振子 2 碰撞后，由于交换速度，振子 1 右端小球速度变为 0，左端小球速度仍为 v1，此后两小球都向左运动，当它们速度相同时，弹簧弹性势能最大，设此速度为 v10，则 2mv10=mv1，用 E1 表示最大弹性
15、势能，则 1/2mv102+ 1/2 mv102+ E1=1/2mv12 ，解得 E1= E0/4。同理可推出，每个振子弹性势能最大的最大值都是 E0/4 7 如图(a)示,轻弹簧的两端与质量分别为 m1 和 m2 的两物块 A、B 连接,并静止在光滑水平面上,现使 A 瞬时获得水平向右的速度 3m/s,以此刻为计时起点,两物块的速度随时间变化的规律如图(b)示,从图象信息可得 （ C D ）A. 在 t1、t 3 时刻两物块达到共同速度 1m/s，且弹簧都是处于压缩状态B. 从 t3 到 t4 时刻弹簧由压缩状态恢复原长C. 两物块的质量之比为 m1 : m2 =1: 2D. 在 t2 时刻 A 与 B 的动能之比为 EK1 : EK2 =1: 8小结：常见情景:在水平面内，两物体之间夹一弹簧：临界状态:弹簧压缩到最短（最长）时，弹簧恢复到原长时vm2m1A B(a)t/sv/ms-10 t1 t2 t 3 t4 123-1(b)A B
