1、1浅析无理型函数值域的几种常规求法 一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。例 1求函数 y3 值域。42x解： 2，函数值域为5，+ 。x)二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。例2求函数 yx 的值域。 x1解：函数的定义域为 ，函数 y=x 和函数 y 在 上均为单调2,(x211,(递增函数，故 y ，1因此，函数 yx 的值域是(-， 。x221三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。 例 3求函数 yx+ 的值域 。x1解：定义域为 x ，令 t (t0) ，则 x2,
2、(x2121t于是 y (t1) 21，由 t0 知函数的值域为 ， 。本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。对于形如“ ”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的ymxnab无理函数，一般令 ，将原函数转化为 t 的二次函数，当然也适用于“t”的函数。22例 4. 求函数 的值域。yxx314解：令 ，则 且 ，则tt0t132()yt1272122()t。当 ，即 时， ，当 时， 。故函数值域为4x3ymax4ty。(，另外对于根号下的是 2 次的，我们同样可以处理：例 5求函数 yx+ 的值域。1x解：1x 20，1x1，设 xcos ， 0， 则
3、 ycos +sin sin（ + ） ，4 0， ， + ， ，sin（ + ） ，1 ，542 sin（ + ）1， ，函数 yx+ 的值域为1， 。2422x其次如果有两个根号的话，我们也可以处理：例 6. 求函数 的值域。yx836解：由 ，得 。36028令 且 ，x12sin,则 。y032106cosinsin()由 ，得 ，6则 ，故函数的值域为 。12y210，对于形如“ ”的函数, 此法适用于两根号内自变量maxbncda()都是一次，且 ，此时函数的定义域为闭区间，如 ，则可作代换c0x12，且 ，即可化为 型的函数。xx()sin21210， yAsin()3四、配方法
4、 ：通过平方或换元化为形如 y=ax2+bx+c(a0)的函数，借助配方法求函数的值域，要注意 x 的取值范围。 例 7求函数 y 的值域。x1解：1x0，且 x0， 0x1，又 y0，y 2x+1x+2 1+222令 tx 2+x（ x ）2+ ，0x1，0t ，0 ，y 21，2 ，441t函数 y 的值域为1， 。x五、数形结合法：利用函数解析式的几何意义，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。 例 8求函数 f(x) 的值域。52x22x解：f(x) 2x22)1( 21)(xf(x)表示动点 P(x，0)到点 A(1，2) 与点 B(1，1)的距离之差，求 f(x)的
5、值域就转化为求P(x，0)到点 A(1，2) 与点 B(1，1) 的距离之差的范围 问题（如图） ，|PA|PB| |AB|(当且仅当 P、A、B 共线时取等号)，|PA|PB| 1，即 f(x)1，f(x) 的值域是 。52x22x1,0(高中数学无理函数值域的常见求法一、形如“ ”的函数ymxnab例 1. 求函数 的值域。x23144解：令 ，则 且 ，则tx134t0xt1432()yt12722()。当 ，即 时， ，当 时， 。故函数值域为4txymaxty。(，说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令 ，将原taxb函数转化为 t 的二次函数，当然也适用于“ ”
6、的函数。ymxnab22二、形如“ ”的函数ymxnabxcc，2 2040()例 2. 求函数 的值域。13解：由 。令 且 xx210352， 得 x25sin，则 。， y747sincosin()由 ，得 。4421i()当 时， ；sin()1ymax9当 时， 。i42in72故函数值域为 。79，说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又 且a0的函数定义域一定为闭区间，如 ，则可作三角代换为0x12， x21sin且 ，即可化为 k 型函数。至于 且x212， yAsin()及其他类型，可自己分析一下。三、形如“ ”的函数ymaxbncda()05例 3. 求函数 的值域。yx836解：由 ，得 。36028令 且 ，x12sin,则 。y032106cosinsin()由 ，得 ，6则 ，故函数的值域为 。12y210，说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且 ，此时函数的定义域为闭区间，ac如 ，则可作代换 ，且 ，即可化为x12， xx()sin21212，型的函数。 yAsin()
