1、1浙教版初中数学九年级上知识点及典型例题第 1 章：反比例函数1、反比例函数的概念一般地，形如 y (k 为常数，k0)的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是kxx 的函数，k 是比例系数.注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y = （k 0） （B）xy = k（k 0） （C）y=kx -1（k0）x同步训练：1、已知函数 y（m1）x 是反比例函数，则 m 的值为 .2m2、已知变量 y 与 x-5 成反比例，且当 x=2 时 y=9,写出 y 与 x 之间的函数解析式.2、反比例函数的图像和性质反比例函数 (k0)的图象
2、是由两个分支组成的曲线。当 时，图象在一、xk 0k三象限：当 时，图象在二、四象限。0反比例函数 (k0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。y3、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，xky因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。4、反比例函数中反比例系数的几何意义2过反比例函数 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩)0(kxy形 PMON 的面积 S=PM PN= 。 。ykSk,同步训练：1反比例函数 的图象与正比例函数 Y=3X 的图象，交于点 A（1，m
3、） ，则xkym_，反比例函数的解析式为_，这两个图象的另一个交点坐标是_.2已知（ ） ， （ ） ， （ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且1y， 2， 3xy， 2yx，则 的大小关系是（ ）23012， ，（A） （B）1x； 312x；（C） （D）23； .5、比较正比例函数和反比例函数的性质正比例函数 反比例函数解析式图像 直线 双曲线位置k0，一、三象限；k0，二、四象限k0，一、三象限k0，二、四象限增减性k0，y 随 x 的增大而增大k0，y 随 x 的增大而减小k0，在每个象限 y 随 x 的增大而减小k0，在每个象限 y 随 x 的增大而增大同步训练：1、已知关于
4、x 的函数 和 （ k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（ )1(xkyxy）O x y A O x y B O x y C O x y D ()yx()yx32、已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于点 .xkymkxy)1,2(（1）分别求这两个函数的解析式.（2）试判断点 关于 x 轴的对称点 是否在一次函数 的图象上.)5,1(PPmkxy第二章：二次函数1、二次函数定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫cbaxy,(2)0ay做 的二次函数.x2、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3
5、）当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程cxy2有实根 和 存在时，根据二次三项式的分解因式02cbxa12，二次函数 可转化为两根式)(xacbxay2。如果没有交点，则不能这样表示。)(21xy3、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴cby y的抛物线.4、二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中xa2 khxay2.bckbh4，5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ；2axykxy2； ； .2hxaykhxay2 cb26、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；0a当 时，开口向下；4相等，抛物线的开口
6、大小、形状相同.a平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线yhxy.0x7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的a开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是abcxacbaxy4222 ，对称轴是直线 .），（ cb422（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到khxay2顶点为( , )，对称轴是直线 .hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方
7、法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9、抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2xya（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线b cbxy2的对称轴是直线 ，故：abx2 时，对称轴为 轴；0y （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；abby （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧 .（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxay2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcb2 c5 ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半0c0cy0cy轴.以上三点中，当结论和
8、条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyhx( ,0)hka( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，11、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通cbxay2 xy常选择一般式.（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择kh2顶点式.（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：x1x2.21ay12.、直线与抛物线的交点（1
9、） 轴与抛物线 得交点为(0, ).cbx2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,yhbxay2 h).cbha2（3）抛物线与 轴的交点x6二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元cbxay2x1x2二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一0元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标
10、是 的两个实数根.kkcbxa（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像nxyl 02acbxy的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同Gcbxaynk2的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；l lG方程组无解时 与 没有交点.G（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为x cbxay2，由于 、 是方程 的两个根，故021， BA1x202xacxbx21, acbacbxx 442221212121同步训练：1、已知函数 的图像经过点（2，-3）32bxy（1）求这个函数解析式。（2）求图像与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，并画出函数大致
11、的图像。（3）当 x2 时，求 y 的取值范围。72、已知函数 的图像经过一、二、四象限，则函数 的图像)0(abxy bxay2必不经过第 象限。3、抛物线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ c2 cxy）第 3 章：圆的基本性质（一）圆的定义在同一平面内，一条线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所经过的封闭曲线叫做圆定点 O 就是圆心，线段 OP 就是圆的半径以点 O 为圆心的圆，记作“O” ，读作“圆 O”（二）圆的有关概念弦 直径 圆弧 半圆 劣弧 优弧 等圆 同心圆（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图 BC经过圆心的弦是直径，图中的 AB。直
12、径等于半径的 2 倍（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧弧用符号“”表示小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以 B、C 为端点的劣弧记做“ ”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的 (3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆例如，图中的O1 和O2 是等圆圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。8说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。例 在 A 地往北 80m 的 B 处有一幢房，西 100m 的 C 处有一变电设施，在 BC 的中点 D处有古建筑因施工需
13、要在 A 处进行一次爆破，为使房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内?（三）三点确定一个圆？1：经过一个已知点 A 能作多少个圆 ?结论：经过一个已知点 A 能作无数个圆!2：经过两个已知点 A,B 能作多少个圆？结论：经过两个已知点 A,B 能作无数个圆!讨论 1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？讨论 2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？3：经过三个已知点 A、B、C 能作多少个圆？讨论 1：怎样找到这个圆的圆心？讨论 2：这个圆的圆心到点 A、B、C 的距离相等吗？ 为什么？即 OA=OB=OC结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆（四）平面上
14、点与圆的位置关系一般地，如果 P 是圆所在平面内的一点，d 表示 P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么就有：dr P 在圆外（五）圆的有关概念定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.举例、1：O 是ABC 的外接圆, ABC 是O 的内接三角形,点 O 是ABC 的外心即外接圆的圆心。2：三角形的外心是ABC 三条边的垂直平分线的交点.2：练一练a：下列命题不正确的是 ( )A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆.b：三角形的外心具有的性质是 ( )9A.到三边的距
15、离相等. B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.知识小结1：不在同一直线上的三点确定一个圆。你知道是怎样的三点吗？2：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。你会画了吗？3：三角形的外接圆，圆的内接三角形、外心的概念你会辨别吗？（六）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧推论 1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.例 一条排水管的截
16、面如图所示排水管的半径 OB=10，水面宽 AB=16，求截面圆心 O到水面的距离 OC 1已知0 的半径为 13，一条弦的 AB 的弦心距为 5，则这条弦的弦长等于 2如图，AB 是0 的中直径，CD 为弦，CDAB 于 E，则下列结论中不一定成立的是（ ）O A B C 10BEDAFCOACOE= DOE BCE=DE COE=BE DBD=BC3过O 内一点 M 的最长弦长为 10cm，最短弦长为 8cm，那么 OM 长为（ ）A3 B6cm C cm D9cm 4如图，O 的直径为 10，弦 AB 长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的取值范围是（ ）A3OM5 B4O
17、M5 C3OM5 D4OM55 已知O 的半径为 10，弦 ABCD，AB=12，CD=16，求 AB 和 CD 的距离注：要分两种情况讨论：（1）弦 AB、CD 在圆心 O 的两侧；（2）弦 AB、CD 在圆心 O 的同侧（七） 、圆心角定理1、圆心角定理1、顶点在圆心的角,叫圆心角2、圆的旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角 ，都能够与原来的圆重合。3、圆心到弦的距离，叫 弦心距 2、圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。已知：如图，AB、CD 是O 的两条弦，OE、OF 为 AB、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空：如果AOB=COD，那么_,_,_。3、圆心角定理的逆命题 1: 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。逆命题 2: 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。逆命题 3: 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。
