1、巨人中考网 http:/1第十三届全国中学生物理竞赛复赛题全卷共六题，总分为 140分。一、 （20）如图复 13 - 1 所示，有一匀质细导线弯成的半径为 a 的圆线圈和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路（电路中各段的电阻值见图） 。在圆线圈平面内有垂直纸面向里的均匀磁场，磁感应强度 随时间 t 均B匀减小，其变化率的大小为一已知常量 k。已知 2 =3 。试求图中 A、 B 两点的电势1r差 - 。AUB二、 （20 分）长度为 4 毫米的物体 AB 由图复 13 - 2 所示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标示于图上。求（1）
2、像的位置；（2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。 6cm105cmL12f=-045n.图 复 3 -2三、 （25 分）如图复 13 - 3 所示，四个质量均为 m 的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形 ABCD。静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点 A 一个历时极短沿 CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点 A 的速度为 V，其它质点也获得一定速度，BAD = ABCOr12图 复 13r1BDvC图 复 13 -巨人中考网 http:/22(/4 )。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。四、 （25 分）在一个半径为 R 的导体球外，有一个半径为
3、 r 的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为 a (aR)，且与环面垂直，如图复 13 - 4 所示。已知环上均匀带电，总电量为 q ，试问：1、当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？2、当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？3、当导体球的电势为 时，球上总电荷又是多少？0V4、情况 3 与情况 1 相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？5、情况 2 与情况 1 相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？注已知：装置不变时，不同的静电平衡带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状态。五、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计） ，直径为d
4、 = 2.0 米。球内充有压强 =1.005 帕的气体。该布料所能承受的最大不被撕破力为0p51= 8.5 牛顿/米（即对于一块展平的 1 米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向mf310所施加的力超过 8.5 牛顿时，布料将被撕破） 。开始时，气球被置于地面上，该处的3大气压强为 =1.000 帕，温度 = 293 开。假设空气的压强和温度均随高度而线性0ap510T地变化 ，压强的变化为 = - 9.0 帕/ 米，温度的变化为 = - 3.0 开/米，问该气球pT310上升到多高时将破裂？假设气球上升很缓慢，可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致。在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和
5、底部之间空气压强的差别。六、有七个外形完全一样的电阻，已知其中六个的阻值相同，另一个的阻值不同。请按照下面提供的器材和操作限制，将那个阻值不同的电阻找出，并指出它的阻值是偏大还是偏小，同时要求画出所用电路图，并对每步判断的根据予以论证。提供的器材有：电池。一个仅能用来判断电流方向的电流表（量程足够） ，它的零刻度在刻度盘的中央，而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱流入电流表的。导线若干。操作限制：全部过程中电流表的使用不得超过三次。OarO/图 复 3 -4巨人中考网 http:/3第十三届全国物理竞赛复赛试题解答一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解 13 - 1 所示电流的分布
6、，已考虑到电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为 的圆电路，可得 k = 2 + a1rI1对等边三角形三个边组成的电路，可得3 k / 4 = 2 + 22rIrI对由弦 AB 和弧 AB 构成的回路，可得（ -3 / 4）k / 3 = - 2a21rI2考虑到，流进 B 点的电流之和等于流出 B 点电流之和，有+ = + 1I21I2由含源电路欧姆定律可得 - = k /3 - AUB2a1Ir由以上各式及题给出的 = 2 / 3 可解得r1- = - k / 32ABa二、解法一：1、分析和等效处理根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为 = arcsin (
7、 1 / n ) c42注意到物长为 4mm，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在 左右，大于临界角，45发生全反射。所以对这些光线而言，棱镜斜面可看成是反射镜。本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直”如图复解 13 2 - 1所示。现在，问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为ABCOr2图 复 解 13 -IDlBd图 复 解 1 -2AB6m10c5L2c图 复 解 3 -巨人中考网 http:/4光学系统后面部分光路的物
8、，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成 角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。设轴上的物点为 B。由于厚平玻璃板的作用（即侧移的物点）为 B（如图复解 13 2 - 2 所示） 。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知 l = d（ctg）而 d = D（tg- tg）所以 l = D（1 tg / tg）当 为小角度时 tg/ tgsin / sin = 1/n 故得 l = D（1 1 / n）= 2 cm这也就是物 AB 与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜 来说就是物，而1L物距 = （6 2 ）+ 6 + 10 cm = 20 cm1u可见，物正好在 的左方焦平面上
9、，像距即为 = 。L1v再考虑透镜 ，这是平行光线入射情形， = 。2 2u所以必须成像于这个发散透镜 左侧的焦平面上（虚像） = = - 10 cm2 2vf整个光路的最后成像位置就是在 的左侧 10 cm 处。L3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如图复解 13 2 - 3 所示（为了图示清楚图中把物高加大了） 。 连接 A并延长， 便得到发自 的光线经 后的平行1OA1光线的方向。过 的光心 作 的平行线，2L2O它与 交于 C 点，则 C 即为从 发出经过1折射后又通过 光心的光线。反向延长 CL2与 左侧焦平面的交点 就是 由 与2OA1L所成的像点。 令 左侧焦面与
10、光轴的交点为L。 就是 的像，这是一个正立的虚像。BAB由图可得= tg2f= tgA1而 与 AB 等高，所以像的大小为BA= （ / ） = B2f1BA2 mm解法二：关于物体 AB 经棱镜（折射，反射，折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处Bf1CO2L图 复 解 3 -1B22PQRC23图 复 解 1 -巨人中考网 http:/5理。如图复解 13 2 - 4 所示，AB 发出的、与 PQ 面近乎垂直的小光束经 PQ 面折射后成像于 这是视深问题。 、 与 PQ 面的距离均为 A、B 与 PQ 面的距离的 n 倍，即1BA1AB= n = （像与物的大小相同）C经 PR 面的反
11、射成像于 ，大小不变，且1 2经 QR 面后折射成像于 ，BCnPCB112122 2ABA大小不变，且= C3 n/)CPQ(n/)PQ(/)(n/( 11122323 =（6 / 1. 5 + 6）cm = 10 cm 由此即可求出这个像 作为透镜 的物的物距，其它部分的求解同解法（一） 。BA1L三、由对称性可知，C 点的速度也必沿 CA 方向，设其大小为 。D 的速度可以分解Cv为平行于 v 和垂直于 v 的分速度，其大小分别设为 。同样，B 的速度也类似地分2D1v和解为平行和垂直于 v 的二个分速度 ，其大小设为 ，如图复解 13 - 3 所示，2B1和根据对称性，必有2DB1v2
12、1由于绳子不可伸长，A 沿 DA 的分速度和 D 沿 DA 的分速度 一定相等， C 沿CD 的分速度和 D 沿 CD 的分速度也相等，即sinvcocsvo2D1DC 43另一方面，设绳子 AD 给质点 D 的冲量的大小为 ，绳子 DC 给质点 C 冲量大小为 。1I 2I注意到绳子 DC 给质点 D 的冲量的大小同样也是 （各冲量的方向均沿绳子方向） 。由对2称性还可以判定，绳子 AB 给质点 B 的冲量的大小也是 ，绳子 BC 给质点 B 和 C 的冲量1I的大小都是 ，根据动量定理，可分别列出关于质点 D 平行和垂直于 v 的方向以及质点 C2I平行于 v 方向的关系式如下：A图 复
13、解 -B12C巨人中考网 http:/6cosI2mvinIiC21D 765由（3）（7）式可解出本题所需的 、 2D1v和 C)sin21/(cosvi/C2D21据此结果和（1） 、 （2）式，此系统的总动量为， 方向沿 CA 方向。)si/(mv4mP2C1D此系统的总动能为 22C2D12DCBA sin1/mvvv21EE四、1、见图复解 13 4 。导体是一个等势体，所以导体球接地（ = 0 ）时，对于球V球心点有= = 0 球 心V球（1）另一方面，可以直接计算球心点的电势。因为所有感应电荷都分布在球面上，它们到球心的距离都是 R，而圆环上电荷到球心的距离都是 ，所以2ar=
14、K / R + Kq / （2）球 心V感q2ar式中 就是要求的感应电荷总量。由（1） 、 （2）两式即得 感= - Rq / （3）感q2ar2、导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势计算而求得：= = K / R + K q （4）球V球 心 面 2ar式中 表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导体球体内是不会有电荷分布的。由于题面q给导体球为电中性，即 = 0，所以由（4）式得面q= K / （5）球V面 2arROar/图 复 解 1- 4巨人中考网 http:/73、导体球的电势为 时，再以球心点考虑：0V= = （6）球 心 球而另一方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷分别
15、产生的电势的迭加：= K / R + K q （7）球 心V面 2ar导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由（6） 、 （7）两式解得= = R / K - Rq （8）总q面 02r4、对比（8）式和（3）式可知，情况 3 比情况 1 只是在导体球上多了电荷 R / 0VK，而导体球的电势相应地由零变为 。可以设想从情况 1 出发，把导体球与地断开而维0V持原来的 大小及分布不变，再把电荷 R / K 均匀地加到球面上，正是它使球的电势感q 0变为 ，即成为情况 3。对于球外的圆环来说，这些加上的电荷对它的作用力相当于集中0V在球心处的等量点电荷对它的作用力，这也就是圆环受到的作用力。由于圆
16、环上的电荷均匀发布，对圆环中心到球心的连线具有轴对称性，把圆环上各线元电荷受到上述等效点电荷的作用力沿二心连线方向的分量相加，就是圆环多受到的作用力。所以，其方向是沿二心向外（图中向右） 。大小是F = K （9）2/320220 )ar(RqVrarq)/RV( 5、可直接应用情况 4 的结果，只是现在把（9）式中的 用情况 2 中的 值，即将0球V（5）式代入即可。所以，情况 2 比情况 1 圆环多受的力方向仍为沿二心连线向外（图中向右） ，大小是 222/32 )ar(RqKarq)ar(RKF五、当气球充满气体而球内压强大于球外时，布料即被绷紧，布料各部分之间产生张力，正是这种张力可能
17、使布料被撕裂。设想把气球分成上下两个半球，它们的交线是一个直径为 d 的圆周，周长为 d，所以要从这条交线处撕破气球，至少需要的张力为 ，dfm另一方面，考虑上半球（包括半球内的气体）受力的情况，它受到三个力作用：1、下半球的球面布料所施加的张力 F；2、上半球外空气对它的压力的合力，其大小为 ， 是气球所在高度处的大4/pda2a气压强；3、下半球内气体对它的压力为 ，式中 p 为气球内气体的压强。忽略浮力时，4/d2巨人中考网 http:/8上述三力相互平衡，即= + F4/pd2/a2而当 F 时，布料即被撕裂，所以，气球破裂的条件是dfm （1）4/pa2dfm设气球破裂发生在高度 h
18、 处，则（2）hp0a而该处温度 （3）T0这个温度也就是破裂时气球内气体的温度。又因为气球在上升过程中球内气体是等容变化，所以有 p / T = 0/即 p = （4）0T/（2） 、 （4）和（3）式代入（1）式，得h m1.2)/()df43pT00am即所球上升到 高度以上就将破裂。0.23六判断所用电路如图复解 13 6 。a 、b 、c、d 为四个电阻。P、Q 间可接电流计，由电流计中电流 I 的方向可判断出 P、Q 两点中哪一点的电势较高。可能出现下列三种情况：1、I = 0，这表示四个电阻的阻值相等。2、I 从 P 到 Q，这表示 P 点电势较高， a 、b 、c 、d中有一电
19、阻偏大或偏小。有下列四种可能：b 偏大；c 偏大；a 偏小；d 偏小。3、I 从 Q 到 P，这表示 P 点电势较低，有四种可能；a 偏大；d 偏大； b 偏小；c 偏小。应采取的实验步骤和判断：设 7 个电阻为、，阻值相同的称为正常电阻，阻值不同的那个为特异电阻。第一次测量：将、分别接入 a 、b 、c、d 位置，这时可有以下三种情况：情况 A：I 向下，则有四种可能：大；大；小； 小。情况 B：I 向上，则有四种可能：大；大；小；小。情况 A 和情况 B 中，其余三个电阻、均正常。情况 E：I = 0，这时，、 、正常，特异电阻在、中。第二次测量：若情况 A 或情况 B 成立，进行第二次测
20、量时将、对调，即将、分别接入 a 、b 、c、d 位置。这时可能有以下两种情况情况 C：I 向下，则有四种可能：大；大；小；小b图 复 解 13 -6巨人中考网 http:/9情况 D：I 向上，则有四种可能：大；大；小； 小若情况 E 成立，特异电阻在、，第二次测量取其中两个，例如、放于电路中 a 、b 位置， c、d 位置用正常电阻，则有三种情况：情况 F：I 向下，则有二种可能：小；大；情况 G：I 向上，则有四种可能：小；大；情况 H：I = 0，这时，、均正常，特异电阻即为前二次测量分析：若情况 A、C 成立，则只有两个可能：小；大。若情况 A、D 成立，则只有两个可能：小；大。若情
21、况 B、C 成立，则只有两个可能：小；大。若情况 B、D 成立，则只有两个可能：小；大。若情况 E、F 成立，则只有两个可能：小；大。若情况 B、G 成立，则只有两个可能：小；大。若情况 E、F 成立，则只有一个可能：即为特异电阻，偏大抑或偏小待定。第三次测量：无论以上前 6 种情况哪一种成立，可疑电阻的范围均缩小成为两个，可能是某一个偏小，或是某一个偏大。第三次测量可将可能偏小的电阻与三个正常电阻接入电路，根据电流计的电流方向即可判断出它或者确实偏小或者是正常电阻。若是前者，这个电阻就是特异电阻。若后者成立，则可能偏大的那个电阻，阻值确实偏大，是特异电阻。对于情况 E、H，只需测定 的阻值偏大或偏小。用及三个正常电阻接入电路，即可根据测定结果作出判断。注：若第一次测量结果为情况 A 或 B，进行第二次测量时可以利用正常电阻、中的任意两个代替、中的任意两个，分析与判断方法与上述相似。
