1、1测试六 立体几何综合一、选择题1、在正四面体 PABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 （ C ）（A）BC/平面 PDF （B ）DF平面 PAE （C）平面 PDF平面 ABC （D ）平面 PAE平面 ABC2、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为 1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为 （ D ）（A）1：3 （B）1：2 （C）1： （D）1：3 3 13、正四面体 PABC 中，M 为棱 AB 的中点，则 PA 与 CM 所成角的余弦值为（ B ）（A） （B） （C） （D）4、正四棱锥的侧棱与底面成 45角
2、，则侧面与地面所成二面角的正弦值是 （ D ）（A） （B） （C） （D）5、一个三棱锥 SABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直，且长度分别为 1， ,3 已6知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为 （ A ）（A）16 （B）32 （C）36 （D）646、在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 、Q 是对角线 A1C 上的点，PQ= ,则三棱a2锥 PBDQ 的体积为 （ C ）（A） （B） （C） （D）不确定7、若三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA=PB=PC=1，则 P 到平面 ABC 的距离为 （ D ）（A） （
3、B） （C） （D）8、将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （ C ）（A） （B）2+ （C）4+ （ D）9、PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60，那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 （ C ）（A） （B） （C） （D）1210、正方体 ABCDA1B1C1D1 中，任作平面 与对角线 AC1 垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，设得到的截面多边形的面积为 S，周长为 l，则（ B ）（A）S 为定值， l 不为定值 （B）S 不为定值， l 为定值 （C）S 与 l 均为定值
4、（D ）S 与 l 均不为定值二、填空题11、已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 ，则侧面与底面所成的二面角等于26_ _312、如图，已知正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都相等 D 是A1C1 的 中点，则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 4513、如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC 1 ，P 是 BC1 上一动点，则2CPPA 1 的最小值是 _5 _214、已知平面 和平面 交于直线 ，P 是空间一点，PA ，l 垂足为 A，PB ，垂足为 B，且 PA=1，PB=2，若点 A 在 内的射影与点 B
5、 在 内的射影重合，则点 P 到 的距离为 l5A CBC1B1A1P215、若三角形内切圆半径为 r，三边长为 a,b,c，则三角形的面积 S= ,根据12 r (a+b+c)类比思想，若四面体内切球半径为 R，四个面的面积为 S1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积 V= 13 r (S1+S2+S3+S4)16、四面体 ABCD 中，有如下命题：若 ACBD，ABCD，则 ADBC；若E、F、 G 分别是 BC、AB、CD 的中点，则FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大小；若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心，则 O 在面 ABD 上的射影为ABD 的外心；若
6、四个面是全等的三角形，则 ABCD 为正四面体 （填上所有正确命题的序号）三、解答题17、如图，在正三棱柱 中，ABC1AB2， ，由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 到顶点 的A1A1C1最短路线与 的交点记为 M，求：（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（II）该最短路线的长及 的值；A1（III）平面 与平面 ABC 所成二面角（锐角）的大小CB1本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解：（I）正三棱柱 的侧面展AC1开图是长为 6，宽为 2 的矩形其对角线长为 0（II）如图，将侧面 绕棱 旋转B11使其与侧面 在同一平面上，点 B 运动
7、到点 D 的位置，连接 交 于 M，则120AC1 C1A就是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 到顶点 C1 的最短路线，其长为DCA121245， ,MAM1故 1（III ）连接 DB， ，则 DB 就是平面 与平面 ABC 的交线CB1CB1在 中,D, ,9036AD又 ,CB1平 面由三垂线定理得 1就是平面 与平面 ABC 所成二面角的平面角（锐角）,1M侧面 是正方形,CB 故平面 与平面 ABC 所成的二面角（锐角）为 145CB1 4518 （本小题满分 12 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点
8、（I）试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB1F；（II）当 D1E 平面 AB1F 时，求二面角 C1EFA 的大小（结果用反三角函数值表示） A1 C1 B1 M A C B A1B1 C1D1AB CDEA1 C1 B1 M D A C B 3本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，解:（I）连结 A1B，则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A；内的射影AB1A1B，D 1EAB1，于是 D1E平面 AB1F D1EAF连结 DE，则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影D1EAF DEAFABCD 是正方形，E 是 BC 的中点当且仅当
9、 F 是 CD 的中点时，DE AF，即当点 F 是 CD 的中点时，D 1E平面 AB1F （II）当 D1E平面 AB1F 时，由（I）知点 F 是 CD 的中点又已知点 E 是 BC 的中点，连结 EF，则 EFBD 连结 AC，设 AC 与 EF 交于点 H，则 CHEF，连结 C1H，则 CH 是C1H 在底面 ABCD 内的射影C1HEF，即C 1HC 是二面角 C1EFC 的平面角在 RtC1CH 中，C 1C=1，CH = AC= ，42tanC1HC= 2C1HC=arctan ，从而 AHC1= 2arctn故二面角 C1EFA 的大小为19、 （本小题满分 12 分）如图
10、，在斜三棱柱 中， ， ，侧面 与底面 ABC 所1B11ABCAB1BC成的二面角为 120 ，E、F 分别是棱 、 的中点。（）求 与底面 ABC 所成的角；1A（）证明 EA平面 ；1BC（I）解：过 作平面 平面 ，垂足为 连接 ，并延长 交于 ，连接 ，1A1HABCHABCGE于是 为 与底面 所成的角因为 ，所以 为的 平分线11BCG又因为 ，所以 ， 且为 的中点AABC因此，由三垂线定理 1因为 ，且 ，所以 ，于是为 二面角 的平面角，即1/B/EGEAGEBCE20A由于四边形 为平行四边形，得1 160A所以， 与底面 所成的角度为ABC（II） 证明：设 与 的交点
11、为 ，则点 P 为 EG 的中点，连结 PFEG1在平行四边形 中，因为 F 是 的中点，所以1A1/AE而 EP 平面 ， 平面 ，所以 平面1BCBC1/BFC（III）解：连接 在 和 中，A11 11B111AB又因为 平面 ，所以 是 的外心1AHCHC设球心为 ，则 必在 上，且O1A1OFA B 1A1 C1BACEF4在 Rt 中，1AFO11 32coscos0aAFH球的体积333447VR20、如图，已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高都是 2，AB=4 ()证明 PQ平面 ABCD；()求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；()求点 P 到平面 QAD
12、 的距离解（）取 AD 的中点，连结 PM，QM因为 PABCD 与 QABCD 都是正四棱锥，所以 ADPM，AD QM 从而 AD平面 PQM又 平面 PQM，所以 PQAD同理 PQAB，所以 PQ平面 ABCD（）连结 AC、BD 设 ，由 PQ平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上，OBDAC从而 P、A 、Q 、C 四点共面因为 OAOC，OP OQ，所以 PAQC 为平行四边形，AQPC从而BPC（或其补角）是异面直线 AQ 与 PB 所成的角因为 ，32)2(2OPB所以 161cos CB从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 3arcos()连结 OM，则
13、 所以 PMQ90，即 PMMQPQAOM21由（）知 ADPM，所以 PM平面 QAD 从而 PM 的长是点 P 到平面 QAD 的距离在直角PMO 中， 222OMP即点 P 到平面 QAD 的距离是 21在正三角形 ABC 中，E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB 1:2（如图 1） 。将AEF 沿 EF 折起到 的位置，使二面角EFA1A1EFB 成直二面角，连结 A1B、A 1P（如图 2）（）求证：A 1E平面 BEP；（）求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；（）求二面角 BA 1PF 的大小（用反三角函数表示） APFEC
14、BA1E FCPB图 1 图 2解：不妨设正三角形 ABC 的边长为 3（1） 在图 1 中，取 BE 中点 D，连结 DF AE：EB=CF：FA=1：2AF=AD=2 而 A=600 , ADF 是正三角形，又 AE=DE=1, EFAD 在图 2 中，A 1EEF, BEEF, A1EB 为二面角A1 EFB 的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，A 1EBE,又A1E平面 BEF,即 A1E平面 BEPF（2） 在图 2 中，A 1E 不垂直 A1B, A1E 是平面 A1BP 的斜线，又 A1E平面 BEP，A1EBP从而 BP 垂直于 A1E 在平面 A1BP 内的射影（三垂线定
15、理的逆定理）设 A1E 在平面A1BP 内的射影为 A1Q,且 A1Q 交 BP 于点 Q,则EA 1Q 就是 A1E 与平面 A1BP 所成的角,且BPA1Q在EBP 中, BE=BP=2 而 EBP=600 , EBP 是等边三角形， BE=EP又 A1E平面QB CPAD5BEP , A1B=A1P, Q 为 BP 的中点,且 ,又 A1E=1,在 RtA1EQ 中，3EQ,EA1Q=60o, 直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 6001tan3EQ在图 3 中，过 F 作 FM A1P 与 M，连结 QM,QF,CP=CF=1, C=600,FCP 是正三角形， PF=1又 PF=PQ,2BA1E平面 BEP, A1F=A1Q, 3QEA1FPA1QP 从而A 1PF=A1PQ, 由及 MP 为公共边知FMPQMP, QMP=FMP=90o,且 MF=MQ,从而FMQ 为二面角 BA 1PF 的平面角在 RtA1QP 中,A 1Q=A1F=2,PQ=1,又 MQA1P,MQ= = 15A1Q PQAP在FCQ 中,FC=1,QC=2, C=600,由余弦定理得25MF 3QF在FMQ 中，227cos 8MF二面角 BA 1PF 的大小为 7arcos8
