1、巨人中考网 http:/1第十六届全国中学生物理竞赛复 赛 试 卷题号 一 二 三 四 五 六 总分得分全卷共六题，满分为 140 分。一、 （20 分）一汽缸的初始体积为 ，其中盛有 2 摩尔的空气和少量的水（水的体积0V可忽略） 。平衡时气体的总压强是 3.0 大气压，经作等温膨胀使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为 2.0 大气压。若让其继续等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时：1、汽缸中气体的温度；2、汽缸中水蒸汽的摩尔数；3、汽缸中气体的总压强。假定空气和水蒸气均可当作理想气体处理。二、 （25 分）两个焦距分别是 和 的薄透镜 和 相距为 d，被共轴地安
2、装在光具1f21L2座上。1、若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？2、根据所得结果，分别画出各种可能情况下的光路示意图。三、 （25 分）用直径 1 mm 的超导体材料制成的导线做成一个半径为 5 cm 的圆环。圆环处于超导状态，环内电流为 100A。经过一年，经检测发现，环内电流的变化量小于A。试估算该超导体材料电阻率数量级的上限。610提示：半径为 r 的圆环中通以电流 I 后，圆环中心的磁感强度为 B = ，式中r2I0B、I、r 各量均用国际单位， = 4 N 。0712A四、 （20 分）经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，
3、通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 M，两者相距 L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。1、试计算该双星系统的运动周期 。计 算T2、若实验上观测到的运动周期为 ，且 = 1 ， （N 1） 。为了解释观 测 观 测 计 算T和 的不同，目前由一中流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到观 测T计 算的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径
4、的球体内均匀分布着这巨人中考网 http:/2种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。五、 （25 分）六个相同的电阻（阻值均为 R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5 和 6，如图复 16 5 - 1 所示。现有五个这样的相同的电阻环，分别称为、 、 。D5现将 的 1、3、5 三点分别与 的 2、4、6 三点用导线连接，如图复 16 5 - 2 所2 1D示。然后将 的 1、3、5 三点分别与 的 2、4、6 三点用导线连接，依此类推，最后将 的 1、3 、5 三点分别连接到 的 2、4、6 三点上。5D56145632D
5、2图 复 1 -图 复 -1、 证明全部接好后，在 上的 1、3 两点间的等效电阻为 。DR62742、 求全部接好后，在 上的 1、3 两点间的等效电阻。5六、 （25 分）如图复 16 6 所示，z 轴竖直向上，xy 平面是一绝缘的、固定的刚性平面。在 A（ ， 0，0）处放一带电量为 xq（q 0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端 B 穿过位于坐标原点 O的光滑小孔，可以通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直于x 轴，与 z 轴的夹角为 。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数 = tan，且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。
6、在牵引过程中，我们约定：细线的 B 端只准沿 z 轴向下缓慢移动，不得沿 z 轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可以近似认为小物块处在力平衡状态。EAyxz0图 复 16 -巨人中考网 http:/3若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。欢迎访问 http:/第十六届全国物理竞赛复赛试题解答一、1只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸汽的压强之和。 = + = 3.0 大气压 （1）0p总 0空 饱p第一次膨胀后 01V2= 2.0 大气压 （2）1pP空总 饱由于第一膨胀是等温过程，所以= = 2 （3）0空 V1空 1p空 0V解
7、（1） 、 （2） 、 （3）得 = 1.0 大气压 （4）饱p= 2.0 大气压 （5）0空= 1.0 大气压 （6） 1p空由于 =1.0 大气压，可知汽缸中气体的温度饱p（7）K37T0根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。2设水蒸汽为 摩尔。经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为 ，水 饱p这时对于水蒸气和空气分别有= R （8）饱p1V水0T= R = 2 R （9）空 空 0同此二式及（5） 、 （6）式可得= 2 摩尔 （10）水3在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有= （11）2Vp总 1总巨人中考网 http:/4由题意知， 再将（2）式代入，得 ,V,
8、40102大气压 （12）.p2总评分标准 本题 20 分。第 1 问、正确求得（7）式占 9 分；第 2 问、正确求得（10）式占 7 分；第 3 问、正确求得（12）式占有 4 分。二、1在图复解 16 2 - 1 所示的光路图中，入射光 AB 经透镜 折射后沿 BC 射1L向 ，经 折射后沿 CD 出射。AB、BC、CD 与透镜主轴的交点分别为 P、 和 ，如果2L P 为物点，因由 P 沿主轴射 的光线方向不变，由透镜性质可知， 为 P 经过 所成的像，1O1为 经 所成的像，因而图中所示的 、 、 、 之间有下列关系：2 1uv2u1v1u2vdLLBPAhDOOPhC图 复 解 1
9、6 -2f +1211vudf321当入射光线 PB 与出射光线平行时，图中的 ，利用相似三角形关系可求得,h12 12h从而求得 （4）vu联立方程式（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） ，消去 、 、 ，可得12（5）)f(du211具体运算过程如下；巨人中考网 http:/5由（1）式可得 （a）1fvu1由（2）式可得 （b）2由（4）式可得 （d）1uv由（a） 、 （b） 、 （d）式可得 1221f,f即以上式代入（3）式可得 （c）21,1fdvfd即以（c）式代入（1）式得 （5）)f(dfdfu 212111 由于 d 、 、 均已给定，所以 为一确定值，这表明：如果
10、入射光线与出射光线1f2u平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在 的左方与 相距1L1处。又由于 与 无关，凡是通过该点射向 的入射光线都和对应的出)f(du2111u射光线相互平行。2由所得结果（5）式可以看出，当 d 时， 0，此情况下的光路图就是21f1u图复解 16 2 1 所示。当 d = 时， ，= 0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如fu图复解 16 2 2 所示。当 d 时， 0，这表明 P 点在 右方，对 来说，它是虚物。由（1）式1f1 1L可知，此时 0，由 可知 0，又由 0 可知 0，所以此时的光v12vfu2u12uv2u路图如图复解 16 2
11、3 。巨人中考网 http:/6L1L2hhf1OdP =f+2L12hO1Pd f1+2图 复 解 16-图 复 解 6-3评分标准 本题 25 分。第 1 问 17 分，其中（1） 、 （2） 、 （3）式各 2 分， （4）式分，（5）式 3 分，结论 4 分；第 2 问 8 分，其中图复解 16 2 - 1，16 2 - 3 各给 3 分，图复解 16 2 - 2 给 2 分。三、根据题中所给的条件，当圆环内通过电流 I 时，圆环中心的磁感强度 B = r20穿过圆环的磁量可近似为 B C = （1）I根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小（2）tr2t0圆环的电阻 R
12、 = （3）t根据题设条件 r = 0.05 m, , I = 100 A, 安培/ 年 270AN14t6103 安培/ 秒，代入（3）式得140R 3 （4）23由电阻与电阻率 、导线截面积 S、长度 l 的关系 R = 及已知导线的直径 d = 1mm , Sl环半径 r = 5mm ，得电阻率 = 。m105.7r8dl292评分标准 本题 25 分。求得（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 、 （5）式各得 5 分；其中（5）式只要数量级对即可。四、1、双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度率为 v，向心加速度满足巨人中考网 http:/7下面的方程： 22LGM/v（
13、1） （2） L2GMv周期 （3）/T计 算2根据观测结果，星体的运动周期 （4）计 算观 测 N1计 算T这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其它指向中心的作用力。按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 位于中点处的质点相同。考虑暗物质作用于后M双星的速度即为观察到的速度 ，则有观vL24Gv/22观 观 65因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得（7）v1N观把（2） 、 （6）式代入（7）式得 （8）M4设所求暗物质的密度为 ，则有（9）33L21N/4故评分标准 本题 20 分。第
14、1 问 5 分；第 2 问 15 分。求得（6）式给 8 分，求得（9）式给 7 分。五本题可能有多种解法，在此提供两种解法。解法一1 （1）电阻图变形。此题连好的线路的平面图如图复解 165-1 所示。现将电阻环改画成三角形，1、3、5 三点为顶点，2、4、6 三点为三边中点，如图复解 165-2与图复解 165-3 所示，整个连好的线路相当于把的三个顶点分别接到 的三个中点上，图复nD1nD D5432136126图 复 解 -5巨人中考网 http:/8解 165-1 变为图复解 1654 。这样第 1 问归结为求图复解 165-4 中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。 1235612
15、356图 复 解 -2图 复 解 -3（2）递推公式。为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为 r 的电阻构成一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为 R 的三角环的中点上（如图复解 165-5 所示） 。图复解 165-6 是由六个阻值为 的电阻构成的三角环。若图复R解 165-5 顶点 1、3 间的电阻与图复解 165-6 顶点 1、3 间的电阻阻值相等，我们称图复解 165-6 中的 为等效单环电阻。用符号表示电阻的并联，如：ARBABR/1/由图复解 165-5 中的对称性可知，1、3 两顶点间的电阻 等于图复解 16-5-7 中3,1R1、0 时的电阻
16、的 2 倍，即0,1（1） R/r31r431/3r24/2RR/r/,3, 同理，图复解 165-6 中 1、3 两顶点间的电阻 为3,1（2）4/2R3,1 由（1） 、 （2）式得等效单环电阻 R为（3）R/r41图 复 解 16 -54Rr0图 复 解 16-57rR3图 复 解 16 -5图 复 解 6 -5巨人中考网 http:/92第一问现在考虑把 按相反的次序，由内向外依次连接的情况。首先将 接54321D., 4D在 外面，求双环 - 的等效单环电阻 （即3 式中的 R） 。这时 r = R 。5D2R由（3）式得到 为2R87/413其次，在双环 - 外面接上 ，这时 r
17、= 。三环 - - 的等效单环电4D53D2R3D45阻 为 3R 1587/41/R4123 由此可得一般公式， （s + 1）环的等效单环电阻 可由 求出：)S()S(（4）SS/于是， R129753/R413/R4134 08/45由（2）式 得出由一个环 、两个环（ - ）直至五个环（ - - -3,15D54D5D45- ）构成的线路 1、3 点间的电阻为：2DR6274091834R52134R678R45,13,3,12,3,1答：所求的五个环的1 与 3 间的等效电阻确为 R 。证毕。62743第二问根据五个 D 组成的圆柱形网络的对称性，的 1、3 两点等价于52R4()4
18、R24图 复 解 16 -58图 复 解 16 -5巨人中考网 http:/10的 2、4 两点。等价线路如图复解 165-8 与图复解 165-9 所示。设二图等价，求图1D复解 165-9 中的 即可。R R209147562/24所以 38/54,2答：所求值为 。R6738解法二第一问图复解 165-3 可看作 的接线图，其一半如图复解 165-10 所示，竖直粗线为一5D短路线。一个环（ ）构成线路的 1 与 0 点间的阻值用 表示，根据对称性，5 10,R。R321R,0,10101022R,()图 复 解 6-5 图 复 解 6 -5图 复 解 6 -52当 接入 后，由两个环（类似图复解 16 5 - 5）构成线路图的一半如图复解5D4165-11 所示。三个带阴影的电阻与线路围成的三角形（2- -0）中的 2 与 间的阻值就00是图复解 165-10 中 1 与 0 间的阻值 。其等效电路如图复解 165-12 所示。图复解10,R165-11（或图复解 165-12）中的 1 与 0 点间的阻值用 表示。有20,1R127R/32/R/R10,20,1 再将双环 - 接入 ，其一半如图复解 165D435-13 所示，三个带阴影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻，其 2 与 间的阻值就对应为 ，参0 20,1R0图 复 解 16 -53
