第四章曲线运动万有引力定律.doc

1、1第四章 曲线运动 万有引力定律4.1 运动的合成与分解 平抛运动【考点聚焦】1曲线运动：做曲线运动的物体在某点的速度方向，就是通过该点的曲线的切线方向，物体做曲线运动的条件是物体所受合外力与初速度方向不在一条直线上。2运动的合成与分解：研究一个物体较复杂的运动时，往往将它分解成两个基本的直线运动来处理，复杂运动与基本运动具有独立性、互不相干性和等时性，运动的基本量（如位移、速度和加速度）之间的关系遵从矢量运算法则，即平行四边形法则。3平抛物体的运动：做平抛运动的条件是物体具有水平的初速度、仅在重力作用下运动；它的运动性质是匀变速曲线运动；处理平抛运动的方法是把它分解成水平方向的匀速运动和竖直

2、方向的自由落体运动进行求解。【好题精析】例 1如图 4-1-1 所示，一船自 A 点过河，船在静水中速度为 v1，水流速度为 v2，河宽S，如船速方向垂直河岸，经 10 分钟船达 C 点，测得 BC =120m，如航速方向与 AB 线成 角，则经 12.5 分钟船达到 B 点，AB 垂直于河岸，求：（1） 角的大小，（2）水速 v2大小，（3）船速 v1大小，（4）河宽解析船在过河过程中参与两个分运动，一个是船 对静水的运动，速度就是船速 v1；另一个是水对岸的运动，速度就是水速 v2。（1）根据运动的独立性原理，合运 动与分运动等时性原理，如河水是静止的则船以 v1 由 A 到B 历时 10

3、min；由 A 到 D 历时 12.5min。cos=AB/AD=v1t1/v1t2=10/12.5=4/5 =370（2）根据分运动、合运动等时性原理：v2=BC/t1=120/600=0.2m/s（3）研究 v1 与 AB 成 角的情况如图 4-1-2 所示，v 1 方向指向 D，合运动方向 A 指向 B，则有 v1sin=v2 解之得：v 1=1/3(m/s) （4）由运动的独立性原理 s=v1t1=200m。点评这类问题是运动的合成与分解的典型问题，根据分运动与合运动的等时性和独立性，把运动分解成两个分运动，求解两个分运 动，再求出 题中要求的量。例 2如图 4-1-3 所示，一高度为

4、 h=0.2m 的水平面在 A 点处与一倾角为 =30 0 的斜面连接，一小球以 v0=5m/s 的速度在平面上向右运动，求小球从 A 点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取 g=10m/s2）某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则图 4-1-1D B CS v1 v2A图 4-1-2v1 B v v2220sin1sintgtvh由此可求出落地时间 t问：你同意上述解法吗？若同意，求出所需时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。 解析小球有水平的初速度，因而作平抛运动，要用平抛运动的规律求解。所以不同意上述做法；落地点与 A 点的水平距离S=v0t= =1m102.52gh

5、v斜面底宽 L=hctg=0.2 =0.35m3小球离开 A 点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间所以 t= =0.2s102.gh点评本例题反映了平抛运动中各个物理量之间的关系。具有典型性。不能用 vt=v0+gt 求 t，不能用 vt2=v02+2as 求 s；这是因为这些公式是匀变速直线运动的公式。平抛运动是曲线运动，所以不能用。要把它分解成水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运 动求解，再 应用合运动与分运动物理量间的关系求出要求的物理量。例 3两质点在空间同一点处，同时水平抛出，速度分别是 v1=3.0m/s 向左和 v2=4.0m/s 向右。g 取 10 米/秒 2，求

6、：（1）则两个质点速度相互垂直时它们之间的距离（2）当两质点位移相互垂直时，它们之间的距离。解析由于在同一高度平抛，在相等时间内下落高度相等，因此两质点在相等时间内位置在同一水平面上。两质点速度相垂直 时，它 们的速度方向与水平面的 夹角分别为 和 。设竖直下落速度为 vy，由题意可知vy/v1=v2/vy (+=900)，即 vy2=v1v2，vy=gt，s1=(v1+v2)t，解之得 s1=2.4m两质点位移相垂直时，它们在 这段时间内的位移方向与水平面的 夹角分别为 和 。设此时下落高度为 h，由题意可知h/v1t=v2t/h (+=900)，h2=v1v2t2，h=gt2/2s2=(v

7、1+v2)t解之得：S 2=4.8 米。点评本题牵涉到两个物体，求解思路一般是分别研究两个物体列方程，再根据两个物体之图 4-1-3v0hA3间的联系（速度或位移）列方程， 联列方程求解。例 4一固定斜面 ABC，倾角为 ，高 AC=h，如图 4-1-4 所示，在顶点 A 以某一初速度水平抛出一小球，空气阻力不计，恰好落在 B 点，试求自抛出起经多长时间小球离斜面最远？解析依题意可知小球从 A 到 B 的轨迹如图 4-1-5，小球瞬时速度 v 与斜面平行时小球离斜面最远此点为 D，由 A 到 D 时间为 t1 有 vgtvgyy100消小球从 A B 时间为 t有 hgvt h2200ttg消

8、由消去 得：tg0gt1点评本题中要抓住题目的隐含条件，小球瞬 时速度 v 与斜面平行时小球离斜面最远，再 应用运动的合成与分解求解，本题还可以把运动分解成平行于斜面方向的匀加速运动和垂直于斜面方向的类似竖直上抛运动求解。例 5滑雪者从 A 点由静止沿斜面滑下，经一平台后水平飞离 B 点，地面上紧靠平台有一个水平台阶空间几何尺度如图 4-1-6 所示，斜面、平台与雪板之间的动摩擦因数都为，假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变，求：（1）滑雪者离开 B 点时的速度大小；（2）滑雪者从 B 点开始做平抛运动的水平距离 s解析（1）设滑雪者质量为 m，斜面与水平面 夹角为

9、 ，滑雪者滑行到斜面底时的速度为 v1，到 B 点时的速度为 v则：v =2（gsin-gcos ）20sinhHv2= v -2gL-（H-h）ctg解得滑雪者离开 B 点时的速度： v= )(2Lhg（2）设滑雪者离开 B 点后落在台 阶上= gt s1=vt12h 时，滑雪者直接滑到地面上h= gt s2=vt2可解得：S 2=2 )(LhH点评对于较为复杂的题目，一般是运 动过程比较多，不同的运动模型遵守的规律不同，做题时一定要分析出物体的各个运动模型，才能正确地 选择规 律求解；另外还要注意运动的多种可能性，要通过计算进行讨论 。【当堂反馈】1设滑雪运动员由 a 点沿水平方向冲出跳台

10、，经过一段时间的飞行，在 b 点落地，a、b两点直线距离为 40m，ab 连线与水平方向成 30角，如图 4-1-7 所示。不计空气阻力。求：（1）运动员在空中飞行时间 t。（2）运动员冲出跳台时的速度 v0。2A、B 两球用长 6m 的轻细线相连，两球相隔 0.8s 从同一高度均以 v0=4.5m/s 水平抛出，如图 4-1-8 所示。求 A 抛出后经多长时间绳被拉直？（g 取 10 米/秒 2）【强化训练】1在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人。假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为 v1，摩托艇在静水中的航速为 v2，战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d。如战士想在最

11、短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为（ ）300v0ab图 4-1-7B A v0图 4-1-85A B0 C D21vd21vd12vd2如图 4-1-9 所示，在研究平抛运动时，小球 A 沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时撞开轻质接触式开关 S，被电磁铁吸住的小球 B 同时自由下落。改变整个装置的高度 H做同样的实验，发现位于同一高度的 A、B 两球总是同时落地，该实验现象说明了 A 球在离开轨道后（ ）A水平方向的分运动是匀速直线运动。B水平方向的分运动是匀加速直线运动。C竖直方向的分运动是自由落体运动。D竖直方向的分运动是匀速直线运动。3游泳运动员相对于河水以恒

12、定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是（ ）A路程增加、时间增加 B路程增加、时间缩短C路程增加、时间不变 D路程、时间均与水速无关4甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高 h，如图 4-1-10 所示，将甲、乙两球分别以 v1、v 2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ ）A同时抛出，且 v1v2C甲比乙早抛出，且 v1v2 D甲比乙早抛出，且 v1v2 时，S=v 1d/v2 D当 v1v2 时，S=v 2d/v18从某一高度水平抛出质量为 m 的小球，不计空气阻力，经时间 t 落在水平面上，速度方向

13、偏转 角。则 （ ）A小球平抛初速度为 B小球着地速度为tang singC该过程小球的动量增量的大小为 mgt D该过程小球的水平射程为 cot29一水平放置的水管，距地面高 h=1.8m，管内横截面积 s=2.0cm2。有水从管口处以不变的速度 v=2.0m/s 源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同。并假设水流在空中不散开。取重力加速度 g=10m/s2，不计空气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。10排球场总长 18m，设球网高度为 2m，运动员站在离网 3m 的线上正对网前跳起将球水平击出。 （球飞行中阻力不计）（1）设击球点在 3m 线正上方高度为 2.

14、5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界；（2）若击球点在 3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。 （g=10m/s 2）74.2 匀速圆周运动【考点聚焦】1匀速圆周运动：匀速圆周运动是曲线运动的一个特例，物体在圆周上运动，在相等的时间内通过的圆弧长度相等，其速度的大小不变，方向沿轨迹的切线方向；质点作匀速圆周运动的条件是所受的合外力大小不变，方向始终和速度方向垂直并指向圆心。2描述匀速圆周运动的物理量（1）线速度：是描述质点沿圆弧运动的快慢。（2）角速度：是描述质点绕圆心转动的快慢。（3）周期和频率：它们之间的关系是 T

15、=1/f。（4）向心加速度：它是沿着半径指向圆心的加速度，是描述线速度方向改变快慢的物理量，它的大小与线速度、角速度的关系是 a= = 2r。v3匀速圆周运动的向心力：它是按力的效果命名的，它可以由某个力或几个力的合力提供。4匀速圆周运动规律（1）特点：速度大小不变 无切向加速度；速度方向改变 有向心加速度 a= Rv2（2）规律：力和加速度之间遵守牛顿第二定律【好题精析】例 1.如图 4-2-1 所示，A、B 两质点绕同一圆心按顺时针方向作匀速圆周运动， A 的周期为T1，B 的周期为 T2，且 T1T 2，在某时刻两质点相距最近，开始计时，问：（1）何时刻两质点相距又最近？（2）何时刻两质

16、点相距又最远？解析选取 B 为参照物。（1）AB 相距最近，则 A 相对于 B 转了 n 转，其相 对角度=2 n相对角速度为 相 =1-2，则经过时间：t=/ 相 =2n/（1-2）= （n=1、2、3）12T（2）AB 相距最远，则 A 相对于 B 转了（n- ）转，BAO图 4-2-18其相对角度： =2（n- ）21则经过时间：t=/ 相 = （n=1、2、3）12)(Tn点评本题关键是弄清相距最近或最远需通过什么形式来 联系 A 和 B 的问题，巧 选参照系是解决这类难题的关键，同时 也要注意它的多解性。例 2如图 4-2-2 所示，质量相等的小球 A、B 分别固定在轻杆 OB 的中

17、点及端点，当杆在光滑水平面上绕 O 点匀速转动时，求杆的 OA 段及 AB 段对球的拉力之比？解析A、B 小球受力如图 4-2-3 所示，在 竖直方向上 A 与 B 处于平衡状态。在水平方向上根据匀速圆周运动规律：T A-TB=m2OA，TB=m2OB，OB=2OA解之得：T ATB = 32点评本题是连接体问题，求解 时必须一个一个地研究，对每一个物体列方程，用两个物体物理量间的联系再列方程，联 立方程求解。例 3如图 4-2-4 所示,在光滑的水平面上钉两个钉子 A 和 B，相距 20，用一根长 1的细绳，一端系一个质量为 0.5kg 的小球，另一端固定在钉子 A 上；开始时球与钉子A、B

18、 在一直线上，然后使小球以 2m/s 的速率开始在水平面内做匀速圆周运动；若绳子能承受的最大拉力为 4N，那么从开始到绳断所经历的时间是多少?解析球每转半圈,绳子就碰到不作为圆心的另一颗钉子，然后再以这颗钉子为圆心做匀速圆周运动，运 动的半径就减少0.2m，但速度大小不变(因为绳对球的拉力只改变球的速度方向)；根据 F 2/r 知,绳每一次碰钉子后,绳的拉力(向心力)都要增大，当绳的拉力增大到 Fmax4N 时，球做匀速 圆周运 动的半径为 min,则有：F max=mv2/rminrmin=mv2/Fmax=0.522/4=0.5m绳第二次碰钉子后半径减为 0.6m，第三次碰 钉子后半径减为

19、 0.4m，所以绳子在第三次碰到钉子后被拉断.在这之前球运动的时间为: t=t1+t2+t3=L/v+(L-0.2)/v+(L-0.4)/v=(3L-0.6)/v=3.768s点评需注意绳碰钉子的瞬间， 绳的拉力和速度方向仍然垂直，球的速度大小不变，而绳的拉力随半径的突然减小而突然增大；这类题还需要按过程一直跟踪分析，把整个过程的物理图 4-2-2A BO图 4-2-3TA TBmgONAmgNBTBA B20cm图 4-2-49模型建立起来，才能找到要求的物理量是哪个过程的量，才能列方程求解。例 4如图 4-2-5 所示，质量为 m=0.1kg 的小球和 A、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆

20、的A、B 两点，其中 A 绳长 LA=2m，当两绳都拉直时，A、B 两绳和细杆的夹角 1=30， 2=45，g=10m/s 2求：（1）当细杆转动的角速度 在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？（2）当 =3rad/s 时，A、B 两绳的拉力分别为多大？解析（1）当 B 绳恰好拉直，但 TB=0 时， 细杆的转动角速度为 1，有： TAcos30=mg02103sin3sinALm解得： 1=2.4 rad/s当 A 绳恰好拉直，但 TA=0 时 ，细杆的转动角速度为 2，有： gTB045cos023sininALm解得： 2=3.15（rad/s）要使两绳都拉紧 2.4 rad/s3.15

21、 rad/s（2）当 =3 rad/s 时，两 绳都紧30sin45sin30si 2ABALTTA=0.27 N， TB=1.09 Nmgcoc点评分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解 “范围” 题目的基本思路和方法例 5如图 4-2-6 所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向上放置以细线相连的质量均为m 的 A、B 两个小物块A 离轴心 r1=20cm，B 离轴心 r2=30cm，A 、B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的 0.4 倍，试求（1）当圆盘转动的角速度 0=？时，细线上开始出现张力？（2）欲使 A、B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？（g=1

22、0m/s 2）解析（1） 较小时，A、B 均由静摩擦力充当向心力， 增大，由f=m2r 可知，它们受到的静摩擦力也增大，而 r2r 1，所以 B 受到的静摩擦力先达到最大值 再增大，B 开始受到拉力由 得 20mf sradmrgf / 304.0220（2）达到 0 后， 再增加，B 增大的向心力靠增加拉力来提供， A 增大的向心力靠增加 f 来提供，当 A 受到的 f 也增到 fm时， 再增加，AB 300450 C图 4-2-5A BO图 4-2-610就不能维持匀速圆周运动了， A、B 就在圆盘上滑动起来设此时角速度为 1，绳中张力为T，对 A、B 受力分析则对 A 有 fm-T=m1

23、2r1 对 B 有 fm+T=m12r2 解得： 1=4rad/s点评根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动 物体的受力情况,明确哪些力提供了它需要的向心力；本题中由于静摩擦力的特点，要找出角速度取 值的临界情况，根据两个临界值比较容易确定角速度满足的条件。【当堂反馈】1如图 4-2-7 所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径 r0=1.0cm 的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径 R1=35cm，小齿轮的半径 R2=4.0cm，大齿轮的半径R3=10.0cm。求大齿轮的转速 n1 和摩擦小轮的转速

24、 n2 之比。 （假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）2如图 4-2-8 所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为的物体 A 放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为；物体 A 通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体 B 相连，B 与 A 质量相同；物体 A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的 倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体 A 才能随盘转动？【强化训练】1.做匀速圆周运动的物体,下列不变的物理量是（ ）A速度 B速率 C角速度 D周期2图 4-2-9 中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为 r，a 是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为 4r，小轮的半径为 2r。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为 r。c 点和 d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ）Aa 点与 b 点的线速度大小相等Ba 点与 b 点的角速度大小相等 acbd图 4-2-9大齿轮 小齿轮车轮小发电机摩擦小轮链条图 4-2-7图 4-2-8图 4-2-8