1、第 1 页 共 14 页 2008 高考试卷分类汇编 07-立体几何 1 一、选择题 1.（安徽理 4文 3）已知 ,mn是两条不同直线， , 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ,m n m n若 则 B , 若 则 C ,mm 若 则 D ,m n m n若 则 解：垂直于一个平面的两条直线互相平行，故选 D。 2.(北京理 8 文 8)如图，动点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的对角线 1BD 上过点 P 作垂直于平面11BBDD 的直线，与正方体表面相交于 MN， 设 BP x ， MN y ，则函数 ()y f x 的图象大致是（ ） 解： 取 1A
2、A 的中点 E, 1CC 的中点 F,连 EF,则 MN 在平面 1BFDE 内平行移动且 / ,MN EF 当 P 移动到 1BD 的中心时， MN 有唯一的最大值，排除答案 A、 C；当 P 点移动时，由于总保持 / ,MN EF 所以 x 与 y 的关系是线性的 (例如 : 取 1 1,AA 当 2(0, 2x 时 , 2,222xy yx 同理 ,当2( , 22x 时 ,有 2222xy 2 2 2 .yx )排除答案 D,故选 B. 3. (福建理 6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的 正弦值为 A
3、. 63 B. 265 C. 155 D. 105 解： 连 11AC 与 11BD 交与 O 点 ,再连 BO,则 1OBC 为 BC1与平面 BB1D1D 所成角 . A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O C1D1CA1A BDB1第 2 页 共 14 页 OC 1D 1CA 1A BDB 111 1OCC O S O B C BC， 1 2OC ， 1 5BC 1 2 1 055CO S O B C 4.(福建文 6)如图，在长方体 1 1 1 1ABC D A B C D 中， 2AB BC， 1 1AA ，
4、则 1AC AC1 与平面1 1 1 1ABCD 所成角的正弦值为 A.223 B.23 C. 24 D.13 解： 连 11AC ,则 11ACA 为 AC1与平面 A1B1C1D1所成角 . 112 2 2A B B C A C A C ，又 1 1AA 11 1 1 1 13 sin 3AAA C A C A AC 5.(广东理 5 文 7)将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A B C， ， 分别是 GHI 三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ） 解： 解题时在图 2 的右边放扇墙 ,可得答案 A. 6.(海南宁夏理 12)某几
5、何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的 最大值为（ ） A 22 B 23 C 4 D 25 解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的长、宽、高分别为 ,mnk ，由题意得 2 2 2 7m n k ， 22 6mk 1n 21 ka， 21 mb，所以 22( 1) ( 1) 6ab 228ab ， 2 2 2 2 2( ) 2 8 2 8 1 6a b a a b b a b a b 4ab 当且仅当 2ab时取等号。 E F D I A H
6、 G B C E F D A B C 侧视 图 1 图 2 B E A B E B B E C B E D B 1A 1D 1ADBCC 1nmk第 3 页 共 14 页 C 1D 1B 1A 1ODCBA7.(海南宁夏文 12)已 知平面平面， = l，点 A， Al，直线 AB l，直线 AC l，直线 m， m，则下列四种位置关系中， 不一定 成立的是（ ） A. AB m B. AC m C. AB D. AC 解：容易判断、三个答案都是正确的，对于，虽然 AC l ，但不一定在平面 内，故它可以与平面 相交、平行，故不一定垂直； 8.(湖北理 3 文 4) 用与球心距离为 1的平面去
7、截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为 A. 38 B. 328 C. 28 D. 332解：截面面积为 截面圆半径为 1，又与球心距离为 1 球的半径是 2 ， 所以根据球的体积公式知 34 8 233RV 球，故 B 为正确答案 9.(湖南理 5)设有直线 m、 n 和平面 、 ,下列四个命题中，正确的是 ( ) A.若 m ,n ,则 m n B.若 m ,n ,m ,n ,则 C.若 ， m ,则 m D.若 ， m ， m ,则 m 解 ： 由立几知识 ,易知 D 正确 . 10.(湖南理 9 文 9) 长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的 8 个顶点在同一个球面上，且
8、 AB=2， AD= 3 ，11AA ，则顶点 A、 B 间的球面距离是 ( ) A.2 2 B. 2 C. 22 D. 24 解 ： 11 2 2 2 ,B D A C R 2,R 设 11,BD AC O 则 2,O A O B R ,2AOB 2,2lR 故选 C. 11.(湖南文 5)已知直线 m、 n 和平面 、 满足 ,m n m ,则 ( ) A.n B. / ,n 或 n C. n D. / ,n 或 n 解 ： 易知 D 正确 . 12.(江西理 10)连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为 4 的球的两条弦 AB 、 CD 的长度分别等 于 27、 43， M ,N 分别为
9、 AB ,CD 的 中点 ， 每条弦的两端都在球面上运动，有 下列四个命题： 第 4 页 共 14 页 弦 AB 、 CD 可能 相交于点 M 弦 AB 、 CD 可能 相交于点 N MN 的最大值为 5 MN 的最小值为 1 其中真命题的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解： 正确， 错误。易求得 M 、 N 到球心 O 的距离分别为 3、 2，若两弦交于 N ，则 OM MN ， Rt OMN 中，有 OM ON ，矛盾。当 M 、 O 、 N 共线时分别取最大值 5 最小值 1。 13.(江西文 9)设直线 m 与平面 相交但 不 垂直，则 下列说法中正确的是 A在
10、平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直 C与直线 m 垂直的直线 不 可能与平面 平行 D与直线 m 平行的平面 不 可能与平面 垂直 解：由立体几何知识选项 C 正确。 14.(辽宁理 11文 12)在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 , ,EF分别为棱 11,AA CC 的中点 ,则在空间中与三条直线 11,A D EF CD 都相交的直线 ( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 解： 在 EF 上任意取一点 M,直线 11AD 与 M 确定一个平面，这个平面 与 CD 有且仅有 1 个交点 N,
11、 当 M 取不同的位置就确定不同的平面， 从而与 CD 有不同的交点 N,而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点 的 .如右图： 15.(全国理 11 文 11)已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等， 1A 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心，则 1AB 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（ ） A 13 B 23 C 33 D 23 解： B由题意知三棱锥 1A ABC 为正四面体， 设棱长为 a ，则 1 3AB a ，棱柱的高 2 2 2 21 2 3 6()3 2 3A O a A O a a a （等于点 1B 到底面 ABC 的距离 1BD）
12、， 故 1AB 与底面 ABC 所成角的正弦值为 11 23B D A OAB AB. 第 5 页 共 14 页 另解：设 1,AB AC AA 为空间向量的一组基底， 1,AB AC AA 的两两间的夹角为 060 ，长度均为 a ，平面 ABC 的法向量为 : 11 1133O A A A A B A C , 11AB AB AA, 21 1 1 126, , 333O A A B a O A A B ， 则 1AB 与底面 ABC 所成角的正弦值为 111123OA ABA O AB . 16.(全国理 10)已知正四棱锥 S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，
13、则AE SD， 所成的角的余弦值为（ ） A 13 B 23 C 33 D 23 解：连接 AC、 BD 交于 O，连接 OE，因 OE SD.所以 AEO 为所求。 设侧棱长与底面边长都等于 2，则在 AEO 中， OE 1,AO 2 ， AE= 3122 ， 于是3 331132 )2(1)3(c o s222 A E O17.(全国理 12 文 12)已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 2 解：设两圆的圆心分别为 1O 、 2O ，球心为 O ，公共弦为 AB，其中点为 E，则 21EOOO
14、 为矩形，于是对角线 OEOO 21 ,而 312 2222 AEOAOE ， 321 OO 18.(全国文 8)正四棱锥的侧棱长为 32 ，侧棱与底面所成的角为 60 ，则该棱锥的体积为（ ） A 3 B 6 C 9 D 18 解：高 360sin32 h ，又因底面正方形的对角线等于 32 ， 底面积为 6332212 S ，体积 63631 V 19.(山东理 6 文 6)右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ D ） A 9 B 10 C 11 D 12 第 6 页 共 14 页 解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个 圆柱组合而成的，其表面积为 224
15、 1 1 2 2 1 3 1 2 .S 选 D。 20.(陕西理 9文 10)如图， l A B A B ， ， ， ， ，到 l 的距离分别是 a 和 b ， AB与 ， 所成的角分别是 和 ， AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n ，若 ab ，则（ ） A mn， B mn， C mn， D mn， 解：由勾股定理 2 2 2 2 2a n b m A B ，又 ab ， mn sin bAB ， sin aAB ,而 ab ，所以 sin sin ，得 21.(陕西文 8)长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的各顶点都在半径为 1 的球面上 ,其中 1: : 2 : 1
16、 : 3A B A D A A ,则两 ,AB点的球面距离为 ( C ) A 4 B 3 C 2 D 23 解：设 ,AD a 则 12 , 3A B a A A a 2 2 22 4 3 2 2R a a a a 球 的 直 径 即 2Ra ，在 AOB 中， 2,O A O B R a AB a 2 2 2O A O B A B 90AOB 从而 ,AB点的球面距离为 1 242 22.(四川理 )设 ,MN是球心 O 的半径 OP 上的两点，且 NP MN OM，分别过 ,NMO 作垂线于 OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为： ( D ) （） 3,5,6 （） 3,6,8
17、（） 5,7,9 （） 5,8,9 解：设分别过 ,NMO 作垂线于 OP 的面截球得三个圆的半径为 1 2 3,r r r ，球半径为 R ，则：2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 21 2 32 5 1 8 2,3 9 3 9 3r R R R r R R R r R R R 2 2 21 2 3: : 5 : 8 : 9r r r 这三个圆的面积之比为： 5,8,9 故选 D 俯视图 正 (主 )视图 侧 (左 )视图 2 3 2 2 A B a b l OB 1A 1D 1CDBAC 1第 7 页 共 14 页 23.(四川理文 10)设直线 l 平面 ，过平面 外一点 A 与
18、,l 都成 030 角的直线有且只有： ( B ) （）条 （）条 （）条 （）条 解：如图，和 成 030 角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的 母线所在直线，当 030A B C A C B ，直线 ,ACAB 都满足条件，故选 24.(四川文 )设 M 是球心 O 的半径 OP 的中点，分别过 ,MO作垂直于 OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为： ( D ) （） 41 （） 12 （） 23 （） 34 解：设分别过 ,MO作垂线于 OP 的面截球得三个圆的半径为 12,rr，球半径为 R ， 则： 22 2 2 2 21213 ,24r R R R r R 2 2
19、2 212 33:44r r R R这两个圆的面积比值为： 34 故选 D 25.(四川文 12)若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 060 的菱形，则该棱柱的体积等于 ( B ) （） 2 （） 22 （） 32 （） 42 解：如图在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，设 01 1 1 1 60A A B A A C ， 由条件有 0111 60C A B，作 1 1 1AO A B C面 于点 O ， 则 0111 011c o s c o s 6 0 1 3c o s c o s c o s 3 0 33A A BA A O B A O 1 6
20、sin 3AA O11 26s in 3A O A A A A O 1 1 1 1 1 101 2 62 2 sin 6 0 2 223AOA B C A B C A B CV S A O , 故选 B 26.（浙江理 10）如图， AB 是平面 a 的 斜线段 ， A 为斜足，若点 P 在平面 a 内运动，使得 ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是 ( B ) （ A）圆 （ B）椭圆 （ C）一条直线 （ D）两条平行直线 lCOBA第 8 页 共 14 页 解：本小题 其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而 P 到直线 AB 的距离为定值，若
21、忽略平面的限制，则 P 轨迹类似为一以 AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！ 还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，故面积也为无穷大，从而排除 C与 D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！ 27.（浙江文 9）对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 ,使得 （ A） ba , （ B） ba , （ C） ba , (D) ba , 解：两条不相交的空间直线 a 和 b ，存在平面 ，使得 , /ab 。 28.(重庆理 9)如图，体积为 V 的大球内有 4 个小球，每个小球的 球面过大球球
22、心且与大球球面有且只有一个交点， 4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点 .V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积， V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 （ A）1 2VV(B) 2 2VV（ C） 12VV （ D） 12VV 解：设大球半径为 R ，小球半径为 2R 根据题意 33 12444 ( ) 23 3 2 4VRV R V 所以3 3 312 4 4 24 ( )2 3 3 2 3 2V RVV R R 12 22V VV 即 212V V V 2 1 2 0V V V V ， 12VV 。 29.(四川延考理 6 文 6）一个正三
23、棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ A） 833 （ B） 36 （ C） 32 （ D） 83 解： 设球的半径为 r 31 43Vr；正三棱锥的底面面积 234Sr ， 2hr ， 232 1 3 323 4 6V r r r 。所以 12833VV ，选 A 第 9 页 共 14 页 30.(四川延考理 12）一个正方体的展开图如图所示， ,BCD 为原正方体 的顶点， A 为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中， CD 与 AB 所 成角的余弦值为 （ A） 510 （ B） 105 （ C） 55 （ D） 1010
24、解：还原正方体如右图所示设 1AD ,则 5AB , 1,AF 22BE EF, 3AE ,CD 与 AB 所成角等于 BE 与 AB 所成角 , 所以余弦值为 5 8 9 1 0c o s102 5 2 2ABE ,选 D 31.(四川延考文 12)在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 是棱 11AB 的中点，则 1AB与 1DE所成角的余弦值为（ ） A 510 B 1010 C 55 D 105 解：如图以 D 为坐标系原点 ,AB 为单位长， 1,DA DC DD 分别 为 ,xyz 轴建立坐标系，易见 1 (0,1, 1)AB，1 1(1, ,0)2DE， 所以
25、 1111( 0 , 1 , 1 ) ( 1 , , 0 )1022c o s ,1 105( 0 , 1 , 1 ) ( 1 , , 0 ) 22 4A B D E ，选 B。（如果连结 1 ,DCEC ,用余弦定理解三角形也可以求得答案。） 第 10 页 共 14 页 二、填空题 32.（安徽理 16 文 16）已知 , , ,ABC D 在同一个球面上 , ,AB BCD平 面 ,BC CD 若 6,AB 2 13,AC 8AD ,则 ,BC两点间的球面距离是 解：如图，易得 22( 2 1 3 ) 6 4BC ， 228 6 2 7BD ， 12CD ， 则此球内接长方体三条棱长为 A
26、B、 BC、 CD（ CD 的对边与 CD 等长）， 从而球外接圆的直径为 2 2 22 6 4 ( 1 2 ) 8R ， R=4 则 BC 与球心构成的大圆如图， 因为 OBC 为正三角形， 则 B， C 两点间的球面距离 是 43 。 33.（福建理 15 文 15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 解： 依题可以构造一个正方体 ,其体对角线就是外接球的直径 .2 3 3 3 3r , 249Sr 34.(海南宁夏理 15)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98 ，底面周 长为 3，则这个球的体积为 解：令球的半径为 R ，六棱柱的底面边长为 a ，高为 h ，显然有 22()2haR， 且 2 1396 248363aV a hha 1R 34433VR 35.(海南宁夏文 14)一个六棱柱 的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 3 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _ 解：正六边形周长为，得边长为 12 ，故其主对角线为，从而球的直径 2 22 3 1 2R 1R 球的体积 43V
