1、考点跟踪训练 25 梯形一、选择题 1(2011武汉)如图，在梯形 ABCD 中，AB DC，AD DCCB，若ABD25，则BAD 的大小是( )A40 B45 C50 D60答案 C解析 ABDC，ABDBDC25.CDCB，BDC DBC25，ABCABD DBC50.ABBC，AD CB，梯形 ABCD 是等腰梯形BADABC50.2(2011烟台)如图，小区的一角有一块形状为等腰梯形的空地，为了美化小区，社区居委会计划在空地上建一个四边形的水池，使水池的四个顶点恰好在梯形各边的中点上，则水池的形状一定是( )A等腰梯形 B矩形C菱形 D正方形答案 C解析 如图，连接 AC、BD，因为
2、梯形 ABCD 等腰梯形，所以 ACBD.由三角形中位线定理，得 EF 綊 AC，GH 綊 AC，所以 EF 綊 GH，所以四 边 形 EFGH 是平行四边形又12 12FG BD，EF AC，所以 EFFG，故EFGH 是菱形12 123(2011烟台)如图，梯形 ABCD 中，AB CD，点 E、F、G 分别是 BD、AC、DC 的中点已知两底差是 6，两腰和是 12，则EFG 的周长是( )A8 B9 C10 D12答案 B解析 连接 AE 并延长交 DC 于 H，易证ABEHDE，ABDH，CHCDDHCDAB6.又 点 E、F、G 分别为 DB、AC、DC 的中点，EF CH 63，
3、EGFG BC AD (BCAD) 126，12 12 12 12 12 12EFG 的周长EFEG FG369.4(2011绵阳)如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB CD，对角线 AC、BD 相交于O，ABD30，ACBC, AB8 cm，则COD 的面积为( )A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm24 33 43 2 33 23答案 A解析 分别画 CEAB，DFAB，垂足分别是 E、F.在 RtABC 中，BACABD30，AB 8，BC4，BDAC4 ，SABC ACBC 4 48 .312 12 3 3在 RtBCO 中， CBO30，CB4， 则 OC ，OB ，
4、S43 3 83 3BOC BCOC 4 ，SAOB8 .ABCD，则 DCOBAO，12 12 43 3 83 3 3 83 3 163 3 2 ，SCOD .SCODSAOB (OCOA) 14 14 163 3 43 35(2011福州)梯形 ABCD 中 ABCD，ADCBCD90，以 AD、AB、BC 为斜边均向形外作等腰直角三角形，其面积分别是 S1、S 2、S 3 ，且 S1S 34S 2，则 CD( )A2.5AB B3AB C3.5AB D4AB答案 B解析 过 B 画 BEAD 交 CD 于 E，则四边形 ABED 是平行四边形，ADBE，ADCBEC，BECBCDADC
5、BCD90， EBC90，BE2BC 2EC 2.而 S1 AD2 BE2，S2 AB2 DE2，S3 BC2.又 S1S 34S 2，得 BE214 14 14 14 14 14BC24 ，BE2BC 2 4DE2，EC24DE 2，EC2DE， CDDEEC3DE3AB.14 (14DE2)二、填空题6(2011福州)如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，C 90 ，则A B C_度答案 270解析 因为A B CD360 ，而C90 ，所以A BC270.7(2011桂林)如图，等腰梯形 ABCD 中，AB DC，BEAD, 梯形 ABCD 的周长为26，DE 4，则BEC 的周长为_
6、答案 18解析 由 ABDC，BEAD，得四边形 ABED 是平行四边形，ABDE4.又因为梯形ABCD 的周长AB BCCDDA 26，可知 ADBCEC18，所以 BEC 的周长BEECBCAD EC BC18.8(2011邵阳)如图所示，在等腰梯形 ABCD 中，AB CD，AD BC，ACBC，B60 ，BC 2 cm，则上底 DC 的长是_cm.答案 2解 CAB906030 ，又 在等腰梯形 ABCD 中，BADB60，CADBADBAC 30.又 CDAB，DCA CAB30 DAC.CDAD BC2 cm.9(2011连云港)一等腰梯形两组对边中点相连线段的平方和为 8，则这个
7、等腰梯形的对角线长为_答案 2 2解析 如图，易证四边形 EGFH 是菱形，在 RtEOG 中，EG 2EO 2GO 2 2(12EF)2 82，所以 EG ，又 EG AC，所以 AC2EG2 .(12GH) 14(EF2 GH2) 14 2 12 210(2011襄阳)如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD 6，BC16，E 是 BC 的中点点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发，沿 AD 向点 D 运动；点 Q 同时以每秒 2个单位长度的速度从点 C 出发，沿 CB 向点 B 运动点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动当运动时间 t_ 秒时，以点 P、Q、E、D 为顶
8、点的四边形是平行四边形答案 2 或143解析 当四边形 PDQE 是平行四边形时， PDQE，而 PD6t ，QE82t，所以6t 82t，t2；当四边形 PDEQ 是平行四边形时，PD EQ，而 PD6t ，EQ2t 8，所以 6t2t8,3t14，t ；综上， t2 或 t .143 143三、解答题11(2011南充)如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，ADBC，点 E、F 在 BC 上，且BE CF，连接 DE、AF.求证：DEAF . 解 证明：BEFC，BEEFFC EF ，即 BF CE.四 边形 ABCD 是等腰梯形，ABDC， B C.在DCE 和ABF 中，Error!DC
9、EABF(SAS)DEAF.12(2011菏泽)如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B90，C45，AD1， BC4, E 为 AB 中点， EFDC 交 BC 于点 F, 求 EF 的长解 过点 A 作 AGDC 交 BC 于 G，ADBC，四 边形 AGCD 是平行四边形，GCAD ，BGBCAD413.在 RtABG 中，AGBC 45，ABBG.AG 3 .AB2 BG2 2BG2 232 2EFDCAG，E 是 AB 中点，F 是 BG 中点，EF AG .12 3 2213(2010重庆)如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90.点 E 是 DC 的中点，过点 E 作
10、 DC 的垂线交 AB 于点 P，交 CB 的延长线于点 M.点 F 在线段 ME 上，且满足 CFAD ，MF MA .(1)若MFC 120 ，求证：AM2MB ；(2)求证：MPB90 FCM.12解 证明：(1)如图，连接 MD，点 E 是 DC 的中点， EMDC，MDMC.又 ADCF，MF MA，AMDFMC，MADMFC120.ADBC，ABC90 ，BAD90，MAB30.在 RtAMB 中， MAB30，BM AM，即 AM2BM.12(2)AMDFMC，ADMFCM，ADBC，ADMCMD.CMDFCM.MDMC，MEDC，DMECME CMD，12CME FCM，12在
11、 RtMBP 中，MPB90CME90 FCM.1214(2011南充)如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC ，AD ABCD2，C60 0，M 是 BC 的中点(1)求证：MDC 是等边三角形；(2)将MDC 绕点 M 旋转，当 MD(即 MD) 与 AB 交于一点 E，MC 即 MC) 同时与AD 交于一点 F 时，点 E、F 和点 A 构成AEF.试探究 AEF 的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值解 (1)证明：过点 D 作 DPBC 于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q，CB 60，CPBQ AB，CPBQAB.12又 ADPQ
12、 是矩形，ADPQ ，ADAB ，故 BC2AD.由已知，点 M 是 BC 的中点，BMCMADAB CD, 在 MDC 中， CMCD, C60 ，故MDC 是等边三角形(2)解：AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接 AM，由(1)得ABMD 是菱形，MAB, MAD 和MCD是等边三角形，BMABMEAME60， EMF AMFAME 60 ，BMEAMF.在BME 与AMF 中，BM AM, EBM FAM60，BME AMF，BMEAMF(ASA)BEAF, MEMF ，AEAFAEBEAB.EMFDMC60，EMF 是等边三角形，EF MF . MF 的最小值为点 M 到 AD
13、的距离 2sin60 ，3EF 的最小值是 ，3AEF 的周长AE AFEFABEF，AEF 的周长的最小值为 2 .315(2011杭州)在直角梯形 ABCD 中，AB CD，ABC90，AB2BC2CD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，线段 OA、OB 的中点分别为点 E、F.(1)求证：FOE DOC；(2)求 sinOEF 的值；(3)若直线 EF 与线段 AD、BC 分别相交于点 G、H，求 的值AB CDGH解 (1)证明：E、F 分别为线段 OA、OB 的中点，EFAB，AB2EF.AB2CD，EFCD.ABCD，EFCD，OEFOCD，OFE ODC，FOE DOC.(2)在ABC 中， ABC90，AC BC，AB2 BC2 2BC2 BC2 5sinCAB .BCAC 55EFAB，OEF CAB，sinOEFsinCAB .55(3)FOE DOC，OEOC .AEOE， AEOEOC， .CECA 23EFAB，CEHCAB， ，EH AB CD.EHAB CECA 23 23 43EFCD，EH EF，FH EF CD.43 13 13同理，GE CD，GH CD，13 53 .AB CDGH 2CD CD53CD 95
