1、1北京市西城区 2010 2011 学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2011.1第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合 ， ，那么集合1Ax3BxAB（A） 3（B） 13x（C） （D） 2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（A） lgyx（B） cosyx（C） |yx（D） sinyx3. 若 ，则下列不等式正确的是 ab（A） 1（B） 3ab（C） 2ab（D） ab4. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是1（A）若 ，则ab（B）若 ，则1（C）若 ，则
2、（D）若 ，则ab5. 设 是等差数列，若 ， ，则数列 的前 项和为n24a57n0（A） 12（B） 60（C） 5（D） 1206. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数 的取值范围是,4x（A） (,2（B） 1（C） ,（D） 2) 开始输出结束是否输入 x2,()xf()f27 如图，四边形 中，ABCD， 1AB， ，将四边形2ABC沿对角线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列结论正确的是C（A） BD（B） 90AC（C） 是正三角形（D）四面体 的体积为BD138. 设函数 ， 的零点分别为 ，则121()log()xfx212()log()xf12,x
3、（A） 120（B） 12（C） 12（D） 12第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 为虚数单位，则 _. i 2(1i)10. 已知 ， ，则平面向量 与 夹角的大小为_.abab11.若实数 满足条件 则 的最大值为_.,xy0,21,xyxy12.在 中，若 ， ，则 _.ABC3ab3Bc13. 已知双曲线 的离心率为 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同，21xy228yx那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_.14.在平面直角坐标系中，定义 为两点 , 之1212(,)dPQxy1()P2()Qy间的“ 折线距离”.
4、 在这个定义下，给出下列命题：到原点的“折线距离” 等于 的点的集合是一个正方形；到原点的“折线距离” 等于 的点的集合是一个圆；到 两点的“折线距离”之和为 的点的集合是面积为 的六边形；(1,0)(,MN46到 两点的“折线距离”差的绝对值为 的点的集合是两条平行线.13其中正确的命题是_.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）已知函数 .2()3sinifxx（）求 的值；6（）若 ，求 的最大值和最小值.,3()f16.（本小题满分 13 分）如图，在三棱柱 中，侧面 ， 均
5、为正方形，1ABC1AB1C， 为 中点.90BACD（）求证： 平面 ；1/1（）求证： .17.（本小题满分 13 分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到M这 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方M图如下： （）求出表中 及图中 的值；,Mpa（）若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；10,5)（）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，求至多分组 频数 频率10,5)10 0.25224 n,mp3)2 0.05合计 1ABCDC1 A
6、1B1频率/组距15 2520100 30 次数a4一人参加社区服务次数在区间 内的概率.25,30)18.（本小题满分 13 分）已知椭圆 （ ）的一个焦点坐标为 ，且长轴长是短轴2:1xyCabba(1,0)长的 倍.（）求椭圆 的方程；（）设 为坐标原点，椭圆 与直线 相交于两个不同的点 ，线段OC1ykx,AB的中点为 ，若直线 的斜率为 ，求 的面积.ABPOAB19.（本小题满分 14 分）已知函数 .()lnfxa()R()若 ，求曲线 在 处切线的斜率；2yfx1()求 的单调区间；)f（）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得2(gx1(0,)20,1x，求 的取值范围.12()f
7、xa20.（本小题满分 14 分）已知数列 的首项为 ，对任意的 ，定义 .na1n*Nnnab1（） 若 ，求 ；b4a（） 若 ，且 .1(2)nn12,(0)ba（）当 时，求数列 的前 项和； ,n3（）当 时，求证：数列 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.a5北京市西城区 2010 2011 学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准 （文科） 2011.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D B C C B B A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 10. 11.
8、 i0 412. 13. ， 14. 3(2,)30xy注：13 题第一问 2 分，第二问 3 分；14 题选对其中两个命题得 2 分，选出错误的命题即得 0 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分 13 分）解：（） = 2()6f23sini6分. 4 分124（） 6 分fx3sincox. 8 分()6因为 ，所以 ， 10,2x652x分所以 ， 111sin()16x分所以 的最大值为 ，最小值为 . 13 分()f 2616.（本小题满分 13 分）解：（）连结 ，设 交 于点 ，连结 . 2 分
9、1AC11OD因为 为正方形，所以 为 中点，AC又 为 中点，所以 为 的中位线，DBD1B所以 . 4 分1/O因为 平面 ， 平面 ，1A1所以 平面 . 6 分1/C（）由（）可知， 7 分11因为侧面 是正方形， ，B1BA且 ，90A所以 平面 . 1C又 ，1/所以 平面 . 9 分B1A又因为 平面 ，1所以 . 10 分AC所以 . 12 分11平 面又 平面 ，B所以 . 13 分117.（本小题满分 13 分）解：（）由分组 内的频数是 ，频率是 知， ，0,5)10.2510.25M所以 . 2 分4M因为频数之和为 ，所以 ， . 3 分24m4. 4 分01mp因为
10、 是对应分组 的频率与组距的商，所以 .6a5,) 20.145a分（）因为该校高三学生有 240 人，分组 内的频率是 ，10,5).所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 人. 8 分60（）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 人，2m设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 . 20,5)1234,a5,3)12,bABCDC1 A1B1O7则任选 人共有2121341232421(,),(,),(,),(,),aabaab， 15 种情况， 10 分234(,),ab3 2b而两人都在 内只能是 一种， 12 分5,0)12,所以所求概率为 .（约为
11、） 13 分5P0.9318.（本小题满分 13 分）解：（）由题意得 ， 21,2cab分又 ，所以 ， . 3 分2ab22所以椭圆的方程为 . 4 分1xy（）设 ， ， ，(0,1)A1(,)B0(,)P联立 消去 得 （*） ， 6 分2xyky240kx解得 或 ，所以 ，0241k12所以 ， ， 8 分22(,)B22(,)kP因为直线 的斜率为 ，所以 ，OP11解得 （满足（*）式判别式大于零）. 10 分12k到直线 的距离为 ， 11:lyx25分， 12221()AB3分所以 的面积为 . 13 分O25219.（本小题满分 14 分）解：() 由已知 ， 2 分1(
12、)2(0)fx.13f8故曲线 在 处切线的斜率为 . 4 分()yfx13() . 5 分 (0)af当 时，由于 ，故 ，0ax1x()0fx所以， 的单调递增区间为 . 6 分()f (,)当 时，由 ，得 .()0fxa在区间 上， ，在区间 上 ，1(0,)a1(,)(0fx所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .fx0,a1,)a8 分（）由已知，转化为 . 9 分maxax()()fg10 分max()2g由()知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意.0()f0,)R(或者举出反例：存在 ，故不符合题意.) 11 分3e2a当 时， 在 上单调递增，在 上
13、单调递减，a()fx1,)1(,)a故 的极大值即为最大值， ， 13 分()f ()lnln()f a所以 ，21ln()a解得 . 14 分3e20.（本小题满分 14 分）() 解： , ,1a2123b236ab. 3 分43640（） （）解：因为 （ ） ，1nn所以，对任意的 有 ， *N516432nbb即数列 各项的值重复出现，周期为 . 5 分nb又数列 的前 6 项分别为 ，且这六个数的和为 7. ,12,设数列 的前 项和为 ，则，nnS当 时，2()k*N9， 36123456()7nkSbbk当 时，2)*N3 1623k kkb， 7 分12377k所以，当 为偶数时， ；当 为奇数时， . 8 分nnS37nS（）证明：由（）知：对任意的 有 ，*N6nb又数列 nb的前 6 项分别为 ，且这六个数的和为 .1, 2b设 )0(aci， （其中 i为常数且 6,5432,i） ，所以 1n666136465niniinininininiabbb. 2b所以，数列 6ina均为以 为公差的等差数列. 102b分因为 时， ， 时， ， 120b2020b分所以 6nia为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次 .所以数列 中任意一项的值最多在此数列中出现 6 次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. 14 分
