1、二次函数与一次函数、反比例函数综合【例 1】 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、 两点，且 = 2yxkyxMN25 求反比例函数的解析式； 若抛物线 经过 、 两点，证明此抛物线与 轴必有两个交点；abcMNx 设中的抛物线与 轴的两个交点分别为 、 （点 在点 的左侧） ，与 轴交于点 ，连接xAByC、 ，若 ，求此抛物线的解析式ACBtnta3CAB（定义：在直角三角形中， 的对边为 ，邻边为 ，则 ）btanb【例 2】 如图，已知二次函数 的图像经过三点 A ，B ，C ，它的顶点为 M，又2yxbc1,03,0,正比例函数 的图像于二次函数相交于两点 D、E，且 P
2、 是线段 DE 的中点。k（1）该二次函数的解析式，并求函数顶点 M 的坐标；（2）知点 E ，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量2,3的取值范围；x（3） 时，求四边形 PCMB 的面积 的最小值。0ks参考公式：已知两点 ， ，则线段 DE 的中点坐标为1Dxy， 2Exy， 1212xy， MPEDCBAOy x【例 3】 已知二次函数 的图象经过三点（1，0） ， （-3，0） ， （0， ） 。21()yaxbc 32（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（2）若反比例函数 图像与二次函数 的图像在第一象限内交于点2(
3、)x21()yaxbc， 落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；0Axy， 0（3）若反比例函数 的图像与二次函数 的图像在第一象限内2(,0)k 21(0)xa的交点为 A，点 A 的横坐标为 满足 ，试求实数 的取值范围。x023k【例 4】 如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A，（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线 向下平移后与反比例函数的图象交于点 ，求 的值和这个一次函数的解析O6Bm，式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与 轴、 轴分别交于 、 ，求过 、 、 三点的二次函xyCDABD数的解析式；（4）在第（3）问的条件下
4、，二次函数的图象上是否存在点 ，使四边形 的面积 与四边形EOEC1S的面积 满足： ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由OABDS123SxyCDBAO【例 5】 已知点 A、B 分别是 轴、 轴上的动点，点 C、D 是某个函数图像上的点，当四边形xyABCD（ A、B、 C、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形 ABCD 是一次函数 图像的其中一个伴侣正方形。1x（1）若某函数是一次函数 ，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数 ，他的图像的伴侣正方形为 ABCD，点 D（2，m ） （m 2）(0)ky在反比
5、例函数图像上，求 m 的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数 ，它的图像的伴侣正方形为 ABCD，C、D 中的一个点坐2axc标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？(本小题只需直接写出答案) y=x+ 1CBAOyxDOyx二次函数与几何综合二次函数与三角形综合【例 1】 二次函数 的图象如图所示，过 轴上一点 ， 的直线与抛物线交于 ， 两点，过点218yxy(0M2)AB， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ABCD 当点 的横坐标为 时，求点 的坐标；B 在的情况下，分
6、别过点 ， 作 轴于 ， 轴于 ，在 上是否存在点 ，使AEx BFx EFP为直角若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由；P P 当点 在抛物线上运动时 (点 与点 不重合) ，求 的值OAyxOMDCBA【例 2】 如图，已知抛物线的顶点为 ，矩形 的顶点 在抛物线上， 在 轴上， 交(01)A， CDEF， DE， xF轴于点 ，且其面积为 y(02)B， 8 求此抛物线的解析式； 如图 2，若 P点为抛物线上不同于 的一点，连结 并延长交抛物线于点 ，过点 分别作PBQP，轴的垂线，垂足分别为 xSR，求证： ；判断 的形状；SBR试探索在线段 上是否存在点 ，使得以点 为顶点的三
7、角形和以点 为顶MSM， ， RM， ，点的三角形相似，若存在，请找出 M 点的位置；若不存在，请说明理由yxOFEDC BAyxO RQPSBA【例 3】 已知二次函数 的图象经过点 并且与 轴相交于点 和点 ，顶点为21yxbc(36)A， (10)B， CP（1 ）求二次函数的解析式；（2 ）设 为线段 上一点，满足 ，求点 的坐标DOCDPCBD BD CPOA yx【例 4】 如图，已知平面直角坐标系中三点 ，连结 ，过 点作(20)(2)(0)ABPx， ， ， ， ， 交过点 的直线 于点PCBAaCy，（1 ）求 与 之间的函数关系式；yx（2 ）当 取最大整数时，求 与的交点
8、 的坐标。BQCPaQOBAyx【例 5】 已知一元二次方程 的一根为 210xpq2（1）求 关于 的解析式；q（2）求证：抛物线 与 轴有两个交点；yx（3）设抛物线 的顶点为 ，且与 轴相交于 两点，求使2Mx120AxBx、面积最小时的抛物线的解析式AMB【例 6】 已知二次函数 的图象的对称轴是直线 ，且它的最高点在直线 ()4mxn上12yx 求此二次函数的解析式； 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线 上移动到 点时，图象与 轴恰好交12yxMx于 、 两点，且 ，求这时的二次函数的解析式AB8ABMS lMBAyxO 【例 7】 如图，已知抛物线 与 轴交于点 、 ，交
9、轴负半轴于 点，点 在点 的右侧，2yxpqxAByC， 90ACB1OBC(1)求抛物线的解析式；(2)求 的外接圆的面积；(3) 在抛物线 上是否存在点 ，使得 的面积为 如果有，这样的点有几个；2yxpqPAB2如果没有，请说明理由yxOBCA【例 8】 一开口向上抛物线与 x 轴交于 A（ ，0） ，B（m2，0）两点，记抛物线顶点为 ，且ACBC（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；（2）若 m 为小于 0 的常数，那么（ 1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3 ）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的
10、值；若不存在，请说明理由【例 9】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2） ，点 C（-1，0） ，如图所示，抛物线 经过点 B2yax（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外） ，使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 xyOBC(-1,0)A(0,2)【例 10】 如图所示，抛物线 的顶点为 A，其中 2()yxm0m（1）已知直线 ： ，将直线 沿 轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用含l3l的代数式）
11、后过点 A； m（2）设直线 平移后与 轴的交点为 B，若动点 Q 在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是y否存在点 P，使以 P、Q、A 为顶点的三角形与 相似，且相似比为 2？若存在，求出 的OBm值，并写出所有符合上述条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由二次函数的应用一、图象信息题【例 1】 如图 1，在矩形矩形 中，动点 从点 出发，沿 ， ， 运动 ABCDBCDA至点 停止设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图 2 所示，则PxAPyx的面积是 ( )ABCA10 B16C 18 D20CDBA P94O xy【例 2】 如图，点 、 、 在直线 上
12、，点 、 、 、 在直线 上，若 ， 从如图所示 GDCaEFbab RtGEF的位置出发，沿直线 向右匀速运动，直到 与 重合运动过程中 与矩形 重合部分bGBCABCD的面积 随时间 变化的图象大致是 （ ）StFEGA BCDA tsOB tsOC tsOD tsO【例 3】 正方形边长为 ，若边长增加 ，则面积增加 求 与 之间的函数关系式3xyx【例 4】 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价若设平均每次降价的百分率是 ，降价后的价格为 元，原价为 元，则 与 之间的函数关系式为（ ）xyaA. 2(1)yaB. 2(1)2C.(1)2D. (1)yax【例
13、 5】 有一边长为 米的正方形场地，现在要在里面建一矩形游泳池，如图所示，要求一边距场地边缘为 5 x米，一边为 米，求矩形的面积 与 的关系表达式x 2xx二、利润问题【例 6】 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示（1 ）请说明图中、两段函数图象的实际意义（2 ）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果（3 ）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该
14、经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大。 价价kg价价价价价O 602045764080价价价价价价 kg价O【例 7】 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成 本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 （件）与销售单价 （元）符合一次函数yx，且 时， ； 时， ykxb65y75x4y（1 ）求一次函数 的表达式；kxb（2 ）若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定为多少元时，Wx商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3 ） 若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 的范围【例 8】 某公司
15、生产一种产品，每件成本为 2 元，售价为 3 元，年销售量为 100 万件为获 取 更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告通过市场调查发现：每年投入的广告费用为 （十x万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 倍；同时 又是 的二次函数，相互关系如下表：yyxx012y1.51.6 求 与 的函数关系式； 如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 （十万元）与广告费 （十万Sx元）的函数关系式； 如果一年投入的广告费为 1030 万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【例 9】 甲、乙两个蔬菜基地，分别向 、 、 三个农贸市场提供同品ABC种蔬菜，按
16、签订的合同规定向 提供 ，向 提供 ，向 提供 甲基地可安排 ，乙基地45t75tC40t60t可安排 甲、乙与 、 、 的距离千米数如表所示，设运费为 1 元/ （ ） 问如何安排使10t kmt总运费最低？求出最小的总运费值 B甲 10 6乙 485【例 10】 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合国 家“家电下乡” 政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台（1 ）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要
17、求写自变量的取值范围）（2 ）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3 ） 每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？三、增长率问题【例 11】 某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 y（元）与月份 x 之间满足函数关系 ，去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系，其中两5026yx个月的销售情况如下表：月份 1 月 5 月销售量 3.9 万台 4.3 万台（1 ）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2 ）由于受国际金融危机的影响，今年 1、2 月份
18、该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了 ，且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 1.5m%国家实施“家电下乡” 政策，即对农%m村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的 13%给予财政补贴受此政策的影响，今年 3至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴 936 万元，求 的值（保留一位小数） （参考数据： ， ， ， ）34.81 35.916 7.08 36.14【例 12】 已知某种商品去年售价为每件 元，可售出 件今
19、年涨价 成（1 成=10%） ，则售出的数量减abx少 x成（ 是正常数） 试问：m 如果涨价 1.25 成价格，营业额将达到 ，求 ；214m 如果适当的涨价，能使营业额增加，求 应在什么范围内？四、拱形图问题【例 13】 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛 物线的一部分组成，矩形长为 12m，抛物线拱高为 5.6m（1 ）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式（2 ）现需在抛物线 AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB 上，每扇窗户宽 1.5m，高 1.6m，相邻窗户之间的间距均为 0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距
20、离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？【例 14】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米. 现 以 O 点为原点， OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系.(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架 ”AD- DC- CB，使 C、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架” 总长的最大值是多少？【例 15】 王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线 ，其中 是球的飞行高度， 是球飞出的水平距离，结果球离2185yxy(m)x(m)球
21、洞的水平距离还有 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴2 请求出球飞行的最大水平距离3 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式(m)(m)价价yxO【例 16】 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 ，宽为 ，隧道最高点 8m2P位于 的中央且距地面 ，建立如图所示的坐标系AB6m（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）一辆货车高 ，宽 ，能否从该隧道内通过，为什么？42（3 ） 如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ xyO CBAP五、面积问题【例 17】 张大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边
22、利用足够长的墙另三边用总长为 32 米 的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD设 AB 边的长为 x 米矩形 ABCD 的面积为S 平方米（1 ）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） （2 ）当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值（参考公式：二次函数2yaxbc（ 0a） ，当 2ba时）【例 18】 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该 设施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=1 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分
23、均不通风） ，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆 （1 ）当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时，求此时EMN 的面积； （2 ）设 MN 与 AB 之间的距离为 x米，试将EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数； （3 ）请你探究EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由 E BACD NMG【例 19】 如图， 、 分别是边长为 的正方形 的边 上的点， ,直线 EF4ABCD， 413CF，交 的延长线于 ，过线段 上的一个动点 作 ， ，垂足分别为 ，设ABGHMG ND MN，矩形 的面积为HMxHNy 求 与 之间的函数关系式；y 当 为何值时，矩形 的面积最大，最大面积为多少？AM NMHGFED CBA
