1、1固体物理总结绪论1 研究对象及内容研究固体的结构及其组成粒子间相互作用与运动规律以阐明固态物质性能和用途的学科。2 固体物理学发展的里程碑十八世纪：阿羽依（R. J. Hay 法）-坚实、相同、平行六面体的“基石”有规则重复堆积.十九世纪：布喇菲(A.Bravais 法)- 空间点阵学 晶体周期性.二十世纪初：X-射线衍射 揭示晶体内部结构量子理论 描述晶体内部微观粒子运动过程近几十年：固体物理学凝聚态物理：无序、尺度、维度、关联；晶体凝聚态物质 第一部分 晶体结构1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。布喇菲点阵是平移操作所联系的诸点的列阵。布喇菲点阵是晶体结构周期性
2、123Rna的数学抽象。点阵矢量 ，其中， ， 和 均为整数，123Rna1n23， 和 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。22 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，。123cVa3 惯用晶胞(单
3、胞)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。惯用晶胞可以是初基的或非初基的。惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，。其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。cV确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线 )所围成的最小体积。维格纳-赛兹晶胞是初基晶胞。5 晶体结构理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价
4、地表示为基元十点阵晶体结构当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。第二部分 倒易点阵和晶体衍射1倒易点阵和倒易点阵初基矢量和一种晶体结构相联系的点阵有两种：晶体点阵和倒易点阵前者是真实空间中的点阵，具有长度的量纲后者是在与真实空间相联系的傅里叶空间中的点阵，具有长度 -1 量纲一个具有晶体点阵周期的周期函数 n(r)n(r+R)展成傅氏级数后，其傅氏级数中的波矢在傅里叶空间中表现为一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关我3们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒易点阵倒易点阵是晶体结构周期性在博里叶空间中的数学
5、抽象如果把晶体点阵本身看作一个周期函数，我们可以说，倒易点阵就是晶体点阵的傅里叶变换反之晶体点阵就是倒易点阵的傅里叶逆变换倒易点阵的初基矢量(简称倒易点阵基矢)定义为 2311ab3212(2.1)3123ab由此式定义的倒易点阵的每个初基矢量都与晶体点阵的两个初基矢量正交：(2.2)0,2ijijijba倒易点阵矢量定义为 ，其中 、 、 均为整数很123llGb1l23l容易证明，由倒易点阵矢量 G 所联系的诸点的列阵正是前面由傅里叶分析所定义的倒易点阵2倒易点阵矢量与晶面指数间的关系对于晶体中面间跃为 d 的任何一组平行平面(hkl) ，有一组倒易点阵矢量与之垂直，其中最短的就是以晶面指
6、数为指数的倒易点阵矢量，(h、k、l 是整数) 且面间距等于该倒易点阵矢量123hklGb长度倒数的 2 倍(2.3)dkl如果用与平面族(hkl )垂直的任一倒易点阵矢量 G 来表示，(2.4)2ndG这里 n 是 G 与平行于它的最短倒易点阵矢量 G(hkl)长度之比(2.5)hkl43X-射线衍射的布喇格定律和劳厄条件X-射线的衍射条件有两种等价的表示法：(i)布喇格定律：布喇格假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个原子平面只反射很少一部分辐射，而将大部分辐射透射到下一层原子平面当来自平行原子平面的反射有相同位相时，发生相长干涉，于是得到尖锐的反射峰(称为布喇格峰 )，由此导出
7、 X-射线反射的布喇格定律为(26)2sind其中 是入射波波长，n 为相应的反射级， 是入射束的布喇格角，d 为面间距(ii) 劳厄条件: 劳厄对 X-射线衍射的处理方法和布喇格不同，他把晶体看作由放置在布喇格点阵阵点上的微观物体所组成，每个微观物体都向各个方向将入射辐射再辐射出去由相距 r 的体元散射出的射线束之间的位相差因子是 ，在 方向散射波的总振幅正比于积expikrk分： (2.7)udVnrir即 expGikr在一定的方向和入射波长下，当散射矢量 等于倒易点阵矢量 G 时，k散射振幅有极大值，由此导出衍射的劳厄条件(2.8)k在弹性散射中，劳厄条件又可写为(2.9a) 或 (2
8、.9b)20G 2Gk=可以证明，布喇格定律和劳厄条件完全是等价的。衍射条件的另一种表示法是劳厄方程：(2.10)123hkla54布里渊区第一布里渊区定义为倒易点阵的维格纳-赛兹(w-s)初基晶胞高布里渊区：把一个给定的倒易点阵阵点同其它阵点都连接起来，作这些连线的中垂面，于是波矢空间被这些中垂面(满足方程 )2Gk分割成一块一块的区域，这些中垂面就构成了布里渊区的边界第一布里渊区就是这些中垂面所围成的最小区域第二布里渊区定义为从第一布里渊区出发只穿过一个中垂面所能到达的区域依次类推，第 n+1 布里渊区定义为从第 n 布里渊区出发只穿过一个中垂面所能到达的但不在第 n-1 区内的区域各级布
9、里渊区有相同的体积布里渊区边界是波矢空间中满足衍射条件( )的点的轨迹，2Gk所以，布里渊区是衍射条件的几何表示法5. 实验衍射方法常用的实验衍射方法有劳厄法，转动晶体法和粉末法。6. 基元的几何结构因子基元的几何结构因子是这样一个物理量，它标志着基元内部各个原子的散射波相互干涉的结果对散射波总振幅的贡献，其决定于散射矢量，及基元中各原子的相对位置kG基元的几何结构因子定义为(2.11)expGj jfiGr是第 j 原子的形状因子，代表基元中第 j 原子对散射波总振幅的贡jf献：(2.12)expjjfdVnirr当基元的几何结构因子为零时，空间点阵所允许的反射消失，而根据消失了的反射(即消
10、光规则)又可以帮助我们确定晶体结构第三部分 晶体结合1 内聚能相距无限远的自由原子(或自由离子)的总能量与它们形成晶体的能量之差，称为晶体的内聚能。换句话说，内聚能也就是把晶体分离成它们的组成单元所需要的能量。62 范德瓦耳斯互作用范德瓦耳斯互作用是感生偶极矩-偶极矩间的相互作用这种相互作用按 的规律变化6Ar分子晶体的结合就是依赖范德瓦耳斯互作用如果由于泡利原理而产生的排斥作用有负幂次 的形式，则惰性气体晶体相距为 r 的原子12Br间的相互作用能具有勒纳-琼斯势(Lennard-Jones potential) 的形式(3.1)1264urr式中 和 是两个经验参数，由气相数据给出。3 离
11、子晶体的晶电能(马德隆能)离子晶体的结合依靠异号荷电离子间的静电吸引离子晶体内聚能的主要部分来自静电能电荷为 的 N 个 离子对组成离子晶体时的静q电能是 22CGScoul jiqUNarr(3.2)2200I4coul jiq式中 r 是最近邻距离， 称为马德隆常数它决定于晶体结1jiap构 是以最近邻距离 r 度量的参考离子 i 到任何一个离子 j 的距ijp离如果以负离子为参考离子，求和对正离子取“+”号，对负离子取“ ”号离子间的短程排斥作用通常采取指数函数 或负幂次函数expr的形式，这两种形式都表达了泡利原理所产生的短程排斥作用随距nBr离增加而急剧下降的特点4 平衡最近邻距离在
12、平衡态下，晶体势能最低由组成晶体的原子(离子) 的总相互作用能对最近邻距离 r 求微商，可以得到平衡时原子(离子) 的最近邻距离，再代回到晶体的总能量中，就可以求得晶体的内聚能0r5 晶体结合的基本形式分子晶体，离子晶体，共价晶体金属晶体和氢键晶体其结合力7的主要特点及特征性质如下表所示第四章 点阵振动（声子 I）1 格波与声子点阵振动的简正模式是具有一定频率 和波矢 的平面波，通常称K为格波 值是第一布里渊区内的一系列分立值 共有 NK 12,个，等于晶体中初基晶胞的数目不同的 代表格波的不同模式，,s给定了波矢 K，频率 由点阵振动的第 s 支色散关系 相应地确s定波矢为 、频率为 的格波
13、，其能量是量子化的，Ks(4.1),12nssEK函数 又称为声子的色散关系或声子能谱，一个波矢为 K 的第ss 支振动模式处于它的第 个激发态，我们就说，在晶体中存在有,Ksn个波矢为 K 的第 s 种声子,Kn2 点阵振动的色散关系简谐近似是处理点阵振动问题的理论基础简谐近似下，如果只计入最近邻原子间的互作用，一维单原子点阵简正模式的色散关系是(4.2)1sin2mKa初基晶胞含有两个原子的一维点阵，简正模式的色散关系分为声学支和光学支在布里渊区边界上声学支和光学支之间有一频率间隙(声子的能隙)三维点阵简正模式的色散关系是一维情况的推广波矢 K 是三维矢量，频率 是波矢大小的函数，又是波矢
14、方向的函数Ks单原子点阵的色散关系有三个声学支，其中两个代表横偏振，一个代表纵偏振对带有基元的点阵，色散关系有 3p 支，这里 p 是基元中所包含的原子数其中有 3 个声学支(晶体中有 N 个初基晶胞，共有3N 个声学模式)，有 3p-3 个光学支(共有(3 p-3)N 个光学模式)。总的模式数为 ，等于晶体中原子的总自由度数。p简正模式的色散关系在波矢空间具有平移对称性质：8(4.4)ssK+G同时也具有中心反演的对称性(4.5)ss3 第一布里渊区的振动模式对于点阵振动色散关系的同一支而言，K 和 K+G 代表同一振动模式，因而格波的波矢是限制在第一布里渊区内的第一布里渊区外的波矢所代表的
15、振动模式只不过是第一布里渊区内的波矢所代表的模式的重复或再现而已当格波的波矢超出第一布里渊区时，必须平移一个适当的倒易点阵矢量，用第一布里渊区内的波矢来描写点阵振动的最大波矢是布里渊区边界所对应的波矢，相应的波长也就是点阵振动的最短波长4 声学支和光学支对初基晶胞含有不只一个原子的点阵，色散关系分为声学支和光学支长声学波描写同一初基晶胞中原子(连同它们的质心 )的整体运动，色散关系近似为直线(4.6)vk其性质类似声波，具有恒定的声速 v。长光学波描写同一初基晶胞中原子的相对运动(质心固定不动) 离子晶体的长光学波可以用光波激发，如果它们具有相同的频率和波矢，可以发生共振，这决定了离子晶体的红
16、外光学性质5 中子的非弹性散射声子对中子的非弹性散射可以用来测量声子能谱该实验方法所依据的基本原理是散射过程遵守能量守恒和波矢守恒定律能量守恒定律要求：(4.16)insEK式中 和 是散射前后中子的能量， 是吸收或发射的声子的in sK频率波矢守恒定律要求：(4.17)ikGK和 是散射前后中子的波矢，K 是吸收或发射的声子的波矢，Gi是一个倒易点阵矢量，G 的选取必须使声子波矢不超出第一布里渊区。9以上二式中“+”号对应发射声子的过程， “”号对应吸收声子的过程。第五部分 热学性质（声子 II）1 简正模式密度(声子能级密度)每单位体积的简正模式密度 定义为在频率 附近单位频率间隔g内的简
17、正模式数除以该晶体的体积或者说， 表示单位体积的gd晶体在 到 无穷小频率间隔内的简正模式数d由于一个简正模式对应于单个声子的一个可能的能级，所以，模式密度又称为声子的能级密度引入模式密度概念，在计算点阵的平衡态性质时，可以将对模式 K 的求和化为对频率 的积分模式密度依赖于色散关系，不同的物理模型，就在于假定了不同的色散关系，相应也有不同的模式密度模式密度的一般表达式是(5.1)32ssdgKs 表示色散关系的第 s 支. 积分对第一布里渊区进行. 式(5.1)又可写为(5.2)312ssdSgK积分沿第一布里渊区中 的频率等值面进行. 是波矢sKs为 K 的第 s 支格波的群速度. 对于一
18、维情况，模式密度为 1gv2 爱因斯坦模型和德拜模型爱因斯坦模型假定晶体中所有简正模式都具有相同的频率：于是爱因斯坦模型的模式密度为E(5.4)3Egn式中 n 是单原子点阵的原子密度 . NnV10德拜模型把晶体看作连续介质，色散关系为直线 ，声速 v 为vK常数另外，假定波矢 K 取在波矢空间中半径为 的球(称为德拜球)内，D而不是取第一布里渊区中的所有 K 值于是三维晶体的德拜模式密度为(5.5)23,0DDvgv其中 称为德拜截止频率，也就是晶体中可能存在的简正模DK式的最高振动频率 由单原子点阵中 N 个原子的 3N 个自由度决定，(5.6)2336DvNV对初基晶胞含有两个原子的点阵而言，色散关系的光学支在长波极限下近似有 为常数，适于用爱因斯坦模型；而对色散关系的声学支，长波极限下近似有直线型色放关系， ，适于用德拜模型. vK3 点阵热容经典模型把原子看作一组独立的经典谐振子从而得到点阵热容的杜隆珀替定律；(5.7)3VBCNk热容 与温度 T 无关 . 这个结论只在高温情况下才和实验结果相符. 用量子统计方法得到的点阵热能为(5.8), ,1sssUneKK用爱因斯坦模型得到的点阵热容为(5.9)2231ETVBeCNk式中 ，称为爱因斯坦温度. EBk用德拜模型得到的点阵热容为(5.10)342091DxTVBeCNkd
