“存在性”和“最值”的解决方法.doc

1、- 1 -“存在性”和“最值”的解决方法一、关于存在性问题1、什么样的情况会引发出“存在性问题？从一个整体情况或一个变化过程中，判断满足某种特殊要求的情况是否存在，并在存在时将其寻找出来，这样的问题就是“存在性”问题。如：题 1 如某月的月历，像图中那样用方框框住 4 个数字，是否存在以下情况：使框住的 4 个数字和为 100？为 90？若存在，请写出这 4 个数字，若不存在，请说明理由。题 2 如图（1），四边形 是边长为 6 的正方形，动点 P 从ABCDA 点 P 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 边向 点运动，动点BQ从点 出发，以每秒 3 个单位的速度沿边B运动，两点同时出发，点 P

2、 到达 处时两点运动停止，记 的运动时间为 。Q,t（1）是否存在时刻 ，使线段 将正方形 的周长分为相等的两部分？若存在，求出 的值；若不存在，tPABCDt请说明理由。（2）是否存在时刻 ，使线段 将正方形 的面积分为 1：2 两部分，若存在，求出 的值；若不存在，tQt请说明理由。（1） （2）题 3 如图（2），在 中， ，在斜边 上是否存在点 ，使以 为圆心，以 为半径的ABC90ABOOA圆，恰好与 相切？若存在，请作出 （保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。O像以上三个题目都属于“存在性”问题。2、“存在性”问题的基本类型和解决方法“存在性”问题大体可分为两类：、由数量关系确定

3、的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）；、由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）。日 一 二 三 四 五 六1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30BC CD DAA DB CQPAB C- 2 -（1）由数量关系确定的“存在性”问题这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程。例 1 （见前面的题 1）【观察与思考】第一，框住的 4 个数字，若设左上角的数字为 ，则这 4 个数字的和为a。本题就是判断图中有无数字

4、 ，使和 分别为 100，90？有这16)8()7()aa 16a样的数字 时，求出 的值。第二，落实的办法就是根据和为 100，90 分别构造关于 的方程，判断相应的方程是否有解，有解时求出解来。解：设框住的 4 个数为则它们的和为： ，164)8()7()1aa令 ，解得 。0164a2即当框住的 4 个数字为 时，它们的和恰为 100。又，令 ，解得 ，这样的 不在月历中。9016a5.18aa所以，不存在框住的 4 个数字的和为 90 的情况。【说明】在这里，把方框中的第一个数字 看作一个变量（范围是 122），框内的 4 个数字之和 是16a的函数，而“和为 100，为 90”就是对

5、函数值的特定要求，从而变成了求特定函数值所对应的自变量的值，那当然就是解方程。例 2 （见前面的题 2）（1） （1） （1）【观察与思考】容易知道，按点 在 上， 上， 上， 和 的运动全过程可分为三段：QBCDAPQ当 时，如图（1）， 当 时，如图（1 ），当 时，如图（1 ）。应分类考虑20t 42t 64t将正方形 分成部分的周长与面积的情况。PQABCDa121 2228 29A DB CQPA DB CQPA DB CQP- 3 -解：（1）当 时，点 在 AB 上，点 在 上，正方形 的周长被 分成的两部分中，顶20tPQBCABDPQ点 B 所在部分显然小于 （正方形 的周长

6、），而另一部分大于 （正方形 的周长）。因此，1AD21ABC不可能有二者相等的时刻；当 时，点 在 上，顶点 B 所在的部分的“周长”为 ，另一部分的“周长”为42tQCt3)6(。)318(t令 ，解得 。t6)318(t3t（或令 12，也得同样的结果）。)(当 时，点 在 AB 上，点 在 AD 上， 分成的两部分中，含顶点 B 的部分的“周长”显然4tPQP大于 （ 的周长），因此不存在二者相等的时刻。21ABCD所以，存在 ，使 将 的周长分为相等的两部分（其实，此时 和 分别为边 AB， 的中点）3tABPQCD。（2）当 时， ，20t 36ABCDS正 方 形，ABCDPBQ

7、tA正 方 形1)6(1令 ，解得 （与 矛盾，舍去）。3)6(21t 4,212t当 时，令 或4t 3616tSPBCQ梯 形，分别解得 （ 矛盾，舍去）， 。36262123t44t当 时，令 ，解得 （舍去）， （舍去）。4t 361)8(1ttASAPQ 25t46t所以，存在时刻 和 ，使得 把正方形 的面积分为 1：2 的两部分。24t BCD【说明】在 ， 的运动过程中，正方形的周长与面积总是被分为两部分，且两部分的值在运动中变化着，现对变化着的值提出特定的要求，以确定这种特殊情况是否真的出现在运动过程之中，这正是“存在性”问题的典型特征，而构造出相应的方程来求解。也真是普遍适

8、用的方法。例 3 如图（ 3）， 在直角梯形 中， 。动点 从点ABCD21,16,90,/ ADCBCPD 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，动点 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单Q位的速度向点 B 运动，点 ， 分别从点 D，C 同时出发，设运动时间为 （秒）。PQt- 4 -（1）是否存在时刻 ，使得 ？若存在，求出 的值；tBDPQt若不存在，请说明理由。（2）是否存在时刻 ，使得 ，若存在，求出 的值； （3）tAC/t若不存在，请说明理由。【观察与思考】 （1）和（2）应分别由“ ”和“ ”出发构造关于 的方程求解。BDPQACP/t解：（

9、1）假若有 作 交射线 DA 于 ，如图（3）则 。,BDPQ,/MM90DBM在 中，Rt， （3）201622CBD，tttBQPM16)(，21)(t由 ，解得 （秒）。20)16(t 9t即 （秒）时 。9BDPQ（2）假若有 ，如图（3），易知此时四边形 为平行四边形，AC/ APQC，即 ，解得 ，但点 只在线段 CB 上运动，即 不合题意，舍去。tt2121t 21,60t不存在时刻 ，使得 。tPQ/【说明】在 的运动过程中，线段 和 的位置 （3）, ACBD,关系是变化的，本题是从中考虑位置关系特定情况的“存在性”，方法也是按特定情况对应的数量关系去构造相应的方程，用该方程

10、在允许范围内有解、无解来回答“存在”或“不存在”。例 4 在 中， ，点 D 在 BC 所在的直线上运动，作ABCRt2,90ACB（A，D，E 按逆时针方向）。5（1） 如图，若点 D 在线段 BC 上运动，DE 交 AC 于 E。求证： ;BC当 是等腰三角形时，求 的长。AEAE(2) 如图，若点 D 在 BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与 AC 的延长线相交于点 ，是否存在点 D，EA DPB CQA DPB CQMA DPB CQPAB CDE45- 5 -使 是等腰三角形？若存在，写出所有点 D 的位置；若不存在，请简要说明理由；ADE 如图，若点 D 在 BC 的反向延长

11、线上运动，是否存在点 D，使 是等腰三角形？若存在，写出所有点AED 的位置；若不存在，请简要说明理由；【观察与思考】对于问题（1），就是我们熟悉的几何证明与几何计算问题；对于问题（2），只要求出满足要求的 BD 的长，就是确定了 D 点的位置。为此只需要通过三角形的相似关系去构造关于 BD 和方程。解：（1） ，又 ，即 。45CBCEABCDEBAADE 当 时， 。,DA2C。,2BC4)(（2）若 为等腰三角形， 只有 。E,135EDEA而 ，得 。,45DBCADBCEADB ， ，由 ，得 。ABC ，2存在点 D 使 为等腰三角形，点 D 在 BC 的延长线上，距点 B 的 处

12、。E 2 45,90A45不存在 为等腰三角形的情况。例 5 二次函数 的图象如图（1）所示，过 轴上一点 的直线与抛物线交于 两点，过点28xyy)2,0(MBA,分别作 轴的垂线，垂足分别为 。BA, DC,（1）当点 A 的横坐标为 时，求点 B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点 作 轴于 ， 轴于 在 上是否存在点 ，使A,xExBF,EFPAB C DE45AB CDE45- 6 -为直角，若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由。APBP【观察与思考】（1）由 ，可求得点 B 的坐标。ACMRtBDt（2）这时，如图（1），若在线段 上有点 使 ， （1）EFAP90那么

13、立刻推得 依次构造关于 点坐标的方程。t,t解：（1）设点 B 的坐标为 其中 ，)81(2x0，,0)2,(,(DCA，223AxM ， ，即BDRtAtCB，解得 （舍去）， B 的坐标为（8，8）23812x21x.2x（2）若满足要求的点 存在，设 的长为 ，连结 ，如图（1）PEaPA,。FBFAE10,8,1， （同为 的余角）。90BAF ，即 。PRt,tEP8102a解得 ， 。 （1）2151a5a均满足要求。)0,(点 ),(可以看出：构造方程是解决各种形式的由“数量关系”确定的“存在性”问题的最有效最常用的方法。（2）由位置关系确定的“存在性”问题例 6 现在来看开始时

14、提出的题 3如图（1），在 中， ，在斜边 上是否存在点 ，使以 为圆心，以 为半径的圆，恰好ABC90ABOOA与 相切？若存在，请求出 （保留作图痕迹）；若不存在请说明理由。O【观察与思考】假设这样的点 存在，如图（1）的情况：点 在 上，以 为圆心AB以 的半径的 和 相切于点 D，若连结 ，可知 ，得 （1）O,CD/由 得 即有,DAC,A，也就是说，AD 是 的平分线，如此一来，就找到了确定点 的位置方法：先作BCO的平分线 AD，交 于点 D，再由 D 作 交 AB 于点 。B ,OA OxyMBCDA OxyMBCDE FPAB C- 7 -（1） （1）解：这样的点 存在，作

15、法如图（1）O例 7 已知，如图（1）四边形 是矩形， E 和 F 分别是边 AB，BC 的中点，P 为对角线 ACABCD,AB上一个动点（不与 A，C 重合），试问：点 能否构成直角三角形？若能，共有几个？并在图中画出所有FP,满足条件的三角形。【观察与思考】第一，分情况来考虑：若要 只需 ； （1）,90PEFE若要 只需 ；FP若要 只需 P 为以 为直径的圆与 的交点，且因 所以 大于 与 之间,AC,21ACEFEFAC的距离，所以以 为直径的圆与 必有两个交点。E第二，表示出以上四个点 的位置：解：能使 为顶点的三角形成为直角三角形的点 P 共有四个，如图（1）。F,【说明】其实

16、作图法确定符合某要求的图形，基本思想和用方程求（1）未知数量的值有极大的相仿之处，都是先假定“存在”，按其具有的特定要求逆推出它应当是怎样的。二、关于“最值”问题所谓“最值”问题，就是求一个变动的数量在某范围内取最大或最小值的问题。“最值”问题大都归于两类基本模型：、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：AB CODAB CODAB CDFPEAB CDFE1P243- 8 -（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边

17、之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。1、利用函数模型求最值由于这类问题在关节三“函数知识的三个支点”已有涉及和说明，这里我们只举一例。例 1 如图（1），平行四边形 中， ，E 为 BC 上一动点（不与 B 重合）ABCD120,3,4BADC，作 于 ，设 的面积为 当 运动到何处时， 有最大值，最大值为多少？ABEF,xEF.SES【观察与思考】容易知道 是 的函数，为利用函数的性质求 的最大值，S就应先把 关于 的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 （1）Sx解：如图（1），延长 交 的延长线于 易知 。FEDC,GDF，而 ，GS21xB2

18、3sin又，在 中， 。CRt2360cos)(,3xx。214D其中 。 （1）,8321xGEFS 30对称轴 当 ， 随 的增大而增大。,083,21xS当 ，即 E 与 C 重合时， 有最大值， 。x 3最 大【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。2、利用几何模型求最值（1）归入“两点之间的连线中，线段最短”例 2 如图（1）所示，在一笔直的公路 的同一旁有两个新开发区 ，已知 千米，直线 与公MNBA,10AB路 的夹角 新开发区 B 到公路 的距离 千米。MN,30AO3C（1）求新开发区 A 到公路 的距离；（2）现从 上某点 处向新开发区 修两条公路 ，使

19、点 到新开发区 的距离之和最短，请PA,P, ,AB CDEFAB CDEFG- 9 -用尺规作图在图中找出点 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时 的值。P PBA【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。对于（2），首先利用“轴对称”的性质，把原题中的求“ ” （1）PBA最短，转化成求“ ”最短（其中 是 A 关于 的对称点。BA MN解：（1）先作 垂直于 于点 如图（1）DMN在 中， （千米）OBCRt62在 中， （千米）A1BOA30AOD（千米）821（2）作点 A 关于 的对称点 ，连结 交 于点 。MNMNP（1）结果如图（1），点 即为所求。P如图（

20、1），作 交 的延长线于点 。/BCAA在 中， （千米），DRt1 （千米）。358OC（千米）。1472 2AB此时 （千米）P14【说明】本题的关键在于将“在直线上确定一点，使它到直线同侧的两点距离之和最短”，转化为“直线异侧两点距离之和最短”，进而再用“两点之间的所有连线中，线段最短。 （1）例 3 如图，（1），在 中， ， 为 边上一定点，（不与点 B，C 重合）ABC90,2ACBPC， 为 边上一动点，设 的长为 ，请写出 最小值，并说明理由。QABP)0(aQ【观察与思考】其实，本题和例 2 中的（2）基本上是相同的，是“在直线 上求一点 ，使它到 同侧的两个定点 和 的距离

21、之和ABCP最小”。因此，可由图（1）（连结 关于 的对称点 与 所成线段， （1）P交 于 。或图（1）（连结 关于 的对称点 与 所成线段，ABQ交 于 ，都同样可得 最小值。QCABCN O M30DABCN O MABCN O M30D PAAC BPQAC BPQAC BPQ- 10 -（1） （1） （1）解：如图（1），作点 关于 的对称点 ，连结 交 于点 ，易知 ，PABPCABQBQP。45, QaBP在 中， ，CRt22 aC又，在 上任意取一异于 的点 ，连结 ，则A ,QPC24 PQPQ对 边上的动点 ，最小值为 。Ba【说明】、在本题，关键仍是将 最小问题，转化

22、成求线段 的长，转化的桥梁仍是利用“轴对称”CCP的性质；、至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。例 4 如图（1），抛物线 和 轴的交点为 为 的中点，若有一动点 ，自 点处35182xyyMA,OPM出发，沿直线运动到 轴上的某点（设为点 ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 ），最xE F后又沿直线运动到点 ，求使点 运动的总路程最短的点 ，点 的坐标，并求出这个最短路程的长。APF【观察与思考】容易知道，点 的坐标为 ，抛物线的对称轴为)3,0(，点 的坐标为 。实际上是求点 E，F 位于何处时有3xM)32,0(最短，仍归于用“两点之间的所有连线中，线段最短” （1）FAE来求解，这只需作 关于 轴的对称点 ，点 A 关于对称轴xM3x的对称点 连结 ，如图（1），即可将原问题解决。,解：如图（1），由题意可得 （0，3）， ，抛物线的对称点)32,0(为 ，点 关于 轴的对称点为 ，点 关于抛物线3xMxA对称轴 的对称点为 （6，3）。连结 。AMAC BPQ xyOA FEM xyOAFEMAB 33