1、 2011 年高考数学复习年高考数学复习 “应试笔记应试笔记 ”2011 年高考数学解题年高考数学解题 高分策略高分策略难点突破难点突破 与与 培优提高培优提高2010-8-19第 I 卷 160 分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误， 这 是取得好成绩的基石!A、14 题，基础送分题，做到不失一题！解题常用经典再现A1.集合性质与运算1、性质：任何一个集合是它本身的子集，记为 A；空集是任何集合的子集，记为 ；空集是任何非空集合的真子集；如果 BA，同时 ，那么 A = B如果 C， 那 么， 【注意】：Z= 整数 （ ） Z =全体整数 （）已知集合 S 中 A
2、 的补集是一个有限集，则集合 A 也是有限集（） 空集的补集是全集若集合 A=集合 B，则 CBA = ， CAB = CS（C AB） = D （ 注 ： CAB = ） 2、若 = 123,na ，则 的子集有 2n个，真子集有 21n个，非空真子集有n个.3、 （ ） （ ） （ ） ,（ ） （ ） （ ） ；（ ） （ ） ,（ ） （ ）4、 De Morgan 公式: ()UUCABC； ()UUABC.【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。A2.命题的否定与否命题
3、*1.命题 pq的否定与它的否命题的区别：命题 的否定是 pq,否命题是 pq.命题“ 或 ”的否定是“ 且 ”,“ 且 ”的否定是“ p或 q”.*2.常考模式： 全称命题 p： ,()xM；全称命题 p 的否定 p： ,()xM.特称命题 p： p；特称命题 p 的否定 p： x.A3.复数运算*1.运算律： mnz； ()mnz； 1212()(,)mzznN.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2.模的性质： 122|zz； 12|z； nz.*3.重要结论：CBAU 222111|()zzz； ； ii； 1i， i； i性质：T=4； , 4342414nnnn
4、i .【拓展】： 32101或 3i2.A4.幂函数的的性质及图像变化规律：(1)所有的幂函数在 (0,)都有定义，并且图像都过点 (1,)；(2) 0a时，幂函数的图像通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当 1a时，幂函数的图像下凸；当 01a时，幂函数的图像上凸；(3) 时，幂函数的图像在区间 (0,)上是减函数在第一象限内，当 x从右边趋向原点时，图像在 y轴右方无限地逼近 y轴正半轴，当 x趋于时，图像在 轴上方无限地逼近 轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握 1,23a的这 5 类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，并且 1x时图像都经过(1,1) ，把握好幂函
5、数在第一象限内的图像就可以了.A5.统计1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法 )常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（ nN）.2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图 ). 频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.频率= 样 本 容 量频 数 .小长方形面积=组距 组
6、距频 率 =频率. 所有小长方形面积的和=各组频率和=1.【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高 )一般是频率除以组距的商 (而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；12yx312yxO样本平均数： 121()nixxn4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).(1)一组数据 123,样本方差 2221()()()nSxxxn
7、2111()n ni iii；样本标准差 22221()()()nSxxxn= 21()niix(2)两组数据 13, 与 3,yy ,其中 iab, ,3 .则yaxb,它们的方差为 22yxaS,标准差为 |x若 12,n 的平均数为 ，方差为 2s，则 12,nx 的平均数为 ，方差为 2s.样本数据做如此变换： iib，则 ab， ()Sa.A6.回归直线方程 yabx，其中1122nniiiii iixyxyaybxA7.线性回归方程 yx必过定点 (,),其中 1nix, 1niy.B、(5 9，中档题，易丢分，防漏/ 多解)B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当
8、 0A时，若 0xByC表示直线 l的右边，若 0AxByC则表示直线 l的左边 .（2）当 B时，若 表示直线 l的上方，若 则表示直线 l的下方 .2、设曲线 1122:()()CxyAxy（ 12），则120A或 所表示的平面区域：两直线 11和 220BC所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.3、点 0(,)Pxy与曲线 (),fxy的位置关系：若曲线 ,f为封闭曲线（圆、椭圆、曲线 |xaybm等），则0(),f，称点在曲线外部；若 ,fxy为开放曲线（抛物线、双曲线等），则 0(),f，称点亦在曲线“外部”.4、已知直线 :0lABC，目标函数 zAxBy.当 0时，将直线 l向上
9、平移，则 的值越来越大；直线 l向下平移，则 z的值越来越小；当 时，将直线 向上平移，则 z的值越来越小；直线 向下平移，则 的值越来越大；5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1） zaxby，若 0，直线在 y 轴上的截距越大，z 越大，若 0b，直线在y 轴上的截距越大，z 越小.（2） mn表示过两点 ,xnm的直线的斜率，特别 yx表示过原点和,n的直线的斜率.（3） 22txy表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.（4） 22ymn表示 ,xy到点 0,的距离.（5） (cos,i)F；（6） 02AxByCd；（7） 2ab；【点拨】：通
10、过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2=1 上的点)sin,(co及余弦定理进行转化达到解题目的。B 2.三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角(“配”与“ 凑”)、函数名(切割化弦) 、次数(降与升) 、系数( 常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已
11、知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.具体地：（1）角的“配”与“ 凑”：掌握角的“和”、“ 差”、“倍”和“ 半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：2， 2； ， 2；()() 2；2()()()() ；， 2；15430,75430；2等.（2）“降幂”与“ 升幂”（次的变化）利用二倍角公式 2222cossincos1sin和二倍角公式的等价变形 2in1， ic1，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次 ”与“ 一次”的互化.（3）切割化弦（名的变化）利用同角
12、三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.（4）常值变换常值 321,1可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换： 2222sincosetantcot2sin30tasinco042xxx等.（5）引入辅助角一般的， 222sincos(sincos)in()bababa，期中2,in,t.特别的， scosi()4AA;sin3cos2in()3xx，6等.（6）特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.举例： 22sin0cos5in0cos5A，2cos05iB可以通过 17,i72
13、BAB两式和，作进一步化简.（7）整体代换举例： sincoxmsincoxm()， ()，可求出 sinco,sin整体值，作为代换之用.B 3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)角的变换因为在 ABC中， （三内角和定理），所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形：三内角都是锐角； 三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角； 任意两边的平方和大于第三边的平方.即， sin()； cos()ABC； tant()ABC2coABC； 2in； 2tco.(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦
14、定理，余弦定理 面积公式： 1si()()aShbrpapa.其中 r为三角形内切圆半径， 为周长之半(3)对任意 ABC， tntnatn1222BCA；在非直角 中， aatABC(4)在 中，熟记并会证明：*1. ,成等差数列的充分必要条件是 60*2. 是正三角形的充分必要条件是 ,成等差数列且 ,abc成等比数列*3.三边 ,abc成等差数列 2bac2sinsinAB1tan23AC； B.*4.三边 ,成等比数列 22siisC, 3 .(5)锐角 中, Asinco,nconcoABA ，22abc；sinisBC；ttatcttctC.【思考】：钝角 中的类比结论(6)两内角
15、与其正弦值：在 ABC中， sinabABcos2BA，(7)若 C，则 22cos2cosxyzxzyC .(8) absin.B 4.三角恒等与不等式组一 33sin3i4si,co4sco22 22ni s32tat tan()ta()13组二 tntttntan()aaat nABCABCsisi4coscs2co1ii2222sinisincsosABCABC组三 常见三角不等式(1)若 (0,)2x，则 sitanx；(2) 若 ，则 1cos2 ；(3) |sin|cos| ；(4) xf)(在 ),0(上是减函数；B5.概率的计算公式：古典概型： ()AP包 含 的 基 本 事
16、 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数 ；等可能事件的概率计算公式： ()()mcardApnI；互斥事件的概率计算公式：P( A+B)P(A)+P( B)；对立事件的概率计算公式是：P( )=1P(A) ；独立事件同时发生的概率计算公式是：P( AB)P(A)P(B) ；独立事件重复试验的概率计算公式是： )(1)knknnC(是二项展开式(1P)+P n 的第( k+1)项).几何概型：若记事件 A=任取一个样本点，它落在区域 g，则 A 的概率定义为 ()gAA的 测 度 构 成 事 件 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 等 ）的 测 度 试 验 的 全 部 结 果 构 成
17、 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 等 ）注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步) 转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合的知识) ；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】：条件概率：称 )(|(APB为在事件 发生的条件下，事件 B发生的概率。注意： 0|)1PBA；P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A
18、) 。B6. 排列、组合（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合 )问题方法是：直接法：位 置 分 析 法元 素 分 析 法用 加 法 原 理 （ 分 类 ） 插 入 法 （ 不 相 邻 问 题 ）用 乘 法 原 理 （ 分 步 ） 捆 绑 法 （ 相 邻 问 题 ）间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手.（2）解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置） 。间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。相邻问题捆绑法（把
19、相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“ 松绑 ”，将特殊元素在这些位置上全排列）。不相邻 (相间 )问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。多排问题单排法。多元问题分类法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。相同元素分组可采用隔板法。涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n组问题别忘除以 !n.B7.最值定理 ,02xyxy由 ，若积 ()P不，则当 xy时和
20、有最小值2p； ,由 ，若和 ()yS不，则当 是积 x有最大值 214s.【推广】：已知 Ryx,，则有 yx2)(2.（1）若积 是定值，则当 |最大时， |最大；当 |最小时，|yx最小.（2）若和 |是定值，则当 |y最大时， |最小；当 |x最小时，|最大 .已知 ,Raxby，若 1axb，则有：211()( 2 ()byaxaxbybab ,R，若 则有： 2()2()aybxxyabB8.求函数值域的常用方法：配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 ,mn上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问
21、题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.逆求法：通过反解，用 y来表示 x，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围，型如 ,(,)axbymncd的函数值域；换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法：利用基本不等式 2(,)abaR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型
22、如 0kxy，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域判别式法：对于形如2112axbcy（ a, 2不同时为 0）的函数常采用此法【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：1. 2bykx型，可直接用不等式性质；2. mn型，先化简，再用均值不等式；3.2yx型，通常用判别式法；4. n型，可用判别式法或均值不等式法；导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.B9.函数值域的题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
