1、2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案课题：等比数列的前 项和（第一课时）n教材：全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）（人民教育出版社）授课教师：成都市第十八中学校 陈华一、教材分析 教学内容等比数列的前 项和是高中数学人教版第一册（上）第三章数列第n五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本 节 课 作 为 第 一 课 时 ，重在研究等比数列的前 项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用 地位与作用等比数列的前 项和是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价n值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，
2、在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等 ,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法 ,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养就内容的人文价值来看，等比数列的前 项和公n式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体 二、学情分析2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案 知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导
3、下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前 项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因n势利导不利因素是：本节公式的推导与等差数列前 项和公式的推导有所不n同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 这一特殊情况，学生也往往1q容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错 任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标 知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前
4、项和公式的过程，掌握公式的特点，n并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题 过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质 情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美. 2.教学重点、难点 重点：等比数列前 项和公式的推导及公式的简单应用n突出重
5、点的方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境公式推导公式运用；（二）过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般错位相减法数学思想；（三）能力线：观察能力初步解决问题能力. 难点：错位相减法的生成和等比数列前 项和公式的运用n突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.四、教学模式与教法、学法教学模式 ：本课采用“探究发现”教学模式教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法引导学生的学法：突出探究、
6、发现与交流五、教学过程分析（一）教学环节创设情景提出问题（4 分钟）类比探索形成公式（20 分钟）公式应用培养能力（11 分钟）2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案(二) 教学过程教学环节教学内容 学生活动 设计意图一、复习旧知，铺垫新知：【教师提问】（1） 等比数列定义及通项公式？（2）等比数列的项之间有何特点？学生：回忆回答问题（1）和（2） 设计意图：引导学生发现等比数列各项之间的特点：从第二项起每一项比前一项多乘以 ，从而q为用“错位相减法”求等比数列前 项和埋下n伏笔延伸拓展发散思维（5 分钟）归纳总结加深理解（3 分钟）解决问题前呼后应（2 分钟）2010
7、年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案创设情境提出问题类比探索二、问题情境，引出课题：【多媒体动画演示】话说灰太狼想在森林里开一个公司，但苦于资金有限，于是准备去找喜羊羊投资，喜羊羊一口答应“行，从今天开始我连续60 天往你的公司注入资金，第一天投资 10000 元，第二天投资20000 元，第三天投资 30000 元，总之以后每天都比上一天多投资10000 元，但作为回报，在投资的第一天起你必须返还我 1 元钱，第二天返还我 2 元钱即后一天返还的钱数为前一天的两倍,60天后我们两清 ”灰太狼一听，两眼一转，心里越想越美【教师提问】（1） 灰太狼占大便宜了吗？（2） 怎么求式？（
8、用追问的方式引出课题）式学生会化简求和，对式学生知道是等比数列前 项和的问题n但却不知怎样化简计算！探究一：如何求和 2358912【教师提问】（1）能否逐一相加得结果？（2）那有什么简单方法？引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减少了项.那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化学生：观看多媒体动画，回答问题学生：要知道灰太狼是否占便宜？就需要计算出喜羊羊、灰太狼各自付出的钱数并比较它们的大小喜羊羊：10000+20000+ +600000灰太狼：59321
9、学生：回忆等差数列求和的重要方法倒序相加法，回忆倒序相加法的本质.学生讨论发言法一：连锁反应：根据 得：12+nn设 计 意 图 ：情境动画的引入让引出课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点（ 时 间 ： 4 分钟 ）设 计 意 图 ： 留出 时 间 让 学 生充 分 地 思 考 、讨 论 .用 错 位 相减 法 推 导 等 比数 列 前 项 和n公 式 的 关 键 是126095843 2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案形成公式类比探索运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？
10、通过学生回答： 指出法一实质就是利用了，但此法不具备一12+nn般性，如果把上式中数字 2 换为 3 或其它的数则不行了指出法二和法三的共同点就是充分利用了等比数列项之间的特点 构造1naq， 1=naq式子，通过两式运算来解决问题而这就是本堂课我要给大家介绍的一种很重要的求和方法错位相减法，在此处先不着急介绍“错位相减法”的要点，只让学生有个大致印象，在后面应用中再来强调接着教师再顺势引导学生将问题一般化，类比联想解决问题探究二：【教师提问】设等比数列 的首项为na1,?naqn公 比 为 如 何 求 此 数 列 的 前 项和 S注意：学生已有上面问题的处理经验，肯定有不少学生会想到“错位相
11、减法” ，此时教师可放手让学生自主探究、讨论，并请学生发言 将 写成： nnaaS321法二: 0695206 2S生：两式相减得 60S=-1法三： 582061S两式相减得 60=-学生讨论发言？naaS321学生一： 2111nnSaqaq 两边同乘以公比 后会得到： nn 13121这样之后，下面的等式就和上面的式子有了很多的相同变 “加 ”为 “减 ”，在 教 师 看 来 这是 “天 经 地 义 ”的 ，但 在 学 生 看 来却 是 “不 可 思 议 ”的 ， 因 此 教 学中 应 着 力 在 这儿 下 功 夫 ， 让学生经过思考讨论，教师引导类比倒序相加求和的本质，运用数学中重要的
12、转化思想，通过构造法发现上述解法，让学生在探索过程中，充分感受到成功的乐趣，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时 这 也 是 培 养学 生 辩 证 思 维能 力 的 良 好 契机 （ 时 间 ： 9 分钟 ）1 92010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案形成公式深入探索形，两1211nn qaqaS边同时乘以公比 后会得到：，两13个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后用多媒体给予突出强调，加深印象！根据前面探究一不少学生也想到两1211 nn qaqaS边同时乘以 后两式作差得结
13、果这时我顺势引导：用错位相减法构造等式时两边除乘以 ，还q可以乘其他的数，例如乘原则是构造的式子能和原21,q式相减、相消后剩余的项较少，较易计算，所以可视其情况确定乘什么数，一般情况是乘以公比两等式作差得到： 1nqS（ ）时，肯定会有学生直接得)1(nqa到 ，我先不着急指Snn)出错误，看有没有同学可以主动发现，若没有学生发现这个问题，稍后再用一个反馈练习比如：项，此时两个式子相减后就只剩下第一个式子的首项和第二个式子的末项，且第二个式子末项的符号改变了两等式作差得到： )1()1(nnqaSqn（学生易忽略对 =1 的讨论）q纠错后学生自己得到：等比数列 的前 项和的公式na应为： )
14、1(1qaSnn学生二： 1211nn qaqa两边同时乘以 后会得 2131nnqaq然后两式作差得到：Sqnn11)(qann)(1设 计 意 图 ： 以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案成公式深入探索形成公式公式运10S=2+102 （ 个 相 加 ）剖析这个易错知识点，进而更好掌握公式的本质！同时还要引导学生反思出现此问题的原因引导学生根据等比数列的通项公式，进一步完善等比数
15、列的前项和公式：n)1(1)(1qaqaSnnn剖析公式结构特征，并强调该求和公式中有 5 个量，时知任意 3 个通过解方程（组）都可以求另外 2 个的方程思想探究三：课后探索【教师提问】推导等比数列的前 项和公式，还n有其它方法吗？学生根据等比数列的通项公式自己推导公式、完善公式 )1(1)(1qaqanSn学生课后自己探索学生课后自主探索推导等比数列前 项和公式的其它方n法.学生：自主思考、回答问设 计 意 图 ： 学生的错误教师不立即指出，让学生体验：自己推导出公式（不完整）公式应用得出矛盾完整公式这个过程，让学生2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案用培养能力公式
16、运用培养能力应用 1.判断正误：1） 1+242nn （ ）2) 2)()(83) 1213nn cc-40）教师点评：应用公式时注意（1）要准确的表示求和公式中的每个量， （2）含参数列求和代公式前要先判断是否为等比数列的求和，是等比数列求和再分 ， 合理选用公1q式应用 2. ，求 等 比 数 列 1248， ， ，的 前 项 的 和 .10P （ 选 自 ： 课 本 例 ）1,变 式 ： 等 比 数 列 ,-6求 第 3项 到 第 项 的 和 .122415an 变 式 、 若 等 比 数 列 中 ， -， =0,分 别 求 前 项 和 、 后 项 和 .教师首先让学生独立思考，自主解题
17、，再请学生展示他们的不同的解法，同学间进行评价，然后师生共同总结解上述题的方法，题（1）正确（2）错，原因是公比应该为-2（3）错，原因是 的次数应q该是项数，应该是 1n( 4) 错，原因是没有分类讨论，应该分 0c时 ， 且讨论1时学生： 1882()56aqnS解 ： 由 ,得变式 1.法一：相当于知道首项为 31,682aqn求 和法二：可以由 82S-得 到在矛盾中感悟，在参与和笑声中牢牢地记住了公式，从而掌握公式的本质而讨论两边除了同乘外还可以乘q其他什么数，是为了揭示错位相减的关键，即构造相同项相减、相消（ 时 间 ： 11 分 钟 ）设计意图：由于本节课的重点、难点在于用错位相
18、减法6=1S-（ ）（ ）2010 年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案延伸 拓 展发 散 思 维总 结 归 纳加 深 理 解法（1 ）基本量法，准确分析求和公式中五个量 ： ， 利nnaqS,1用解方程（组）知三可求二 (2）从等比数列本身的性质出发，从整体的角度来分析解题 求和： 2313+n本题采用弹性教学设计的方式，根据实际上课情况来考虑是在课堂上解决还是教师先作一个初步的分析，让学生在课后自主探索.引导学生分析式子（1）的结构特征？（2）介绍差比数列的概念.（3）引导学生思考能否用今天探究的求和法来求这种差比数列的前 项和.n引导学生从知识、方法、思想三个方面进行总结5
19、105. =S-q变 式 法 一 ： 分 别 直 接 运 算法 二 ： 后 项 的 和法 三 ： 利 用 等 比 数 列 的 本 质 ， 后 项 的 和556551()12S=32()()12048解 ： -（ ）-学生： 2 S=13+n31n （ ）+1()n （ ） 121-S3+3nnn （ ） （ ）=（ ） 1(2)3S4nn学生：（1）回顾从特殊到一般，一推导公式，所以这个问题留于学生课后探索，下节课再来展示，通过课后对不同推导方法的研究，可以使学生从不同的思维角度掌握等比数列前 项和公n式它源于课本，又高于课本， 是优秀学生研究性学习和拓展学习的极佳资源 设 计 意 图 ： 剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，
