1、英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 1 页 共 6 页 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【学习目标】1掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2理解掌握复合函数的求导法则；3学会利用公式求一些函数的导数【学习重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；复合函数的求导法则【学习难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用；复合函数的求导法则的应用【课堂过程】一、复习引入： 1常见函数的导数公式：（1） (C 为常数)；0（2） ( )；1nxQ（3） ；cos)(si（4） ；xin（5） ；axl)(
2、（6） ；e（7） ；xaalog1)(l（8） n2导数的运算法则：法则 1 )()( xvuxvu法则 2 , ()()Cux法则 3 2(0)v二、讲解新课：1复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数 与)(ufy复合而成的函数一般形式是 ，其中 u 称为中间变量)(xu)(xfy2求函数 的导数的两种方法与思路：2(3)yx方法一： ；2(914)812xxx英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 2 页 共 6 页方法二：将函数 看作是函数 和函数 复合函数，并分别2(3)yx2yu32x求对应变量的导数如下：， ，
3、两个导数相乘，得2()uy()xu， 从而有 3218xA xuxy对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求 y x 时，就可以转化为求 yu和u x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同3复合函数的导数：设函数 u= (x)在点 x 处有导数 u x= ( x)，函数 y=f(u)在点 x的对应点 u 处有导数 y u=f (u)，则复合函数 y=f( (x)在点 x 处也有导数，且或 f x( (x)=f( u) ( x)xxy证明：设 x 有增量 x，则对应的 u，y 分别有增量 u， y，因为 u= (x)在点 x 可导，所以 u= (x)在点 x 处连续因此当
4、 x0 时， u0当 u0 时，由 且 yxux00limli uyyxux xux 000000 lililililimli即 (当 u0 时，也成立)uy4复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代三、讲解范例：例 1 试说明下列函数是怎样复合而成的？ ； ；32)(xy2sinxy ； 4cos)13(l解：函数 由函数 和 复合而成；32)(xyuy2x函数 由函数 和 复合而成；sinsin2函数 由函数 和 复合而成；)4co(xyycox4函数 由函数 、 和 复合而成13sil
5、ulvsin13说明：讨论复合函数的构成时， “内层” 、 “外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 3 页 共 6 页例 2 写出由下列函数复合而成的函数： ， ； ， uycos21xuylnxl解： ； )()(x例 3 求 的导数5解：设 ， ，则 y2xxuxy)12()5x)1(34u4)12(0注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数
6、是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导例 4 求 f(x)=sinx2 的导数解：令 y=f(x)=sinu; u=x2 =(sinu) u(x2)x =cosu2x=cosx22x=2xcosx2xuyf(x )=2xcosx2例 5 求 y=sin2(2x+ )的导数3分析：设 u=sin(2x+ )时，求 u x，但此时 u 仍是复合函数，所以可再设 v=2x+ 3解：令 y=u2，u=sin(2x+ )，再令 u=sinv，v=2x+33 =y u(u vv x)，y x=y uu vv xxux=(u2) u(sinv) v
7、(2x+ ) x=2ucosv2=2sin(2x+ )cos(2x+ )233=4sin(2x+ )cos(2x+ )=2sin(4x+ )，即 y x=2sin(4x+ )32例 6 求 的导数2cbay解：令 y= ，u=ax 2+bx+c， =( ) u(ax2+bx+c)3 xuxy3x= (2ax+b)321= (ax2+bx+c) (2ax+b)= ，即 y x=32322)(cxab322)(cbxa英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 4 页 共 6 页例 7 求 y= 的导数51x解：令 ， =( ) u( ) xu,
8、5 xuxy514 45 52 21()(1)()x 即 y x=246545(1)()xx2451()x542)(1x例 8 求 y=sin2 的导数解：令 y=u2，u=sin ，再令 u=sinv，v=x1x1 v x=(u2) u(sinv) v( ) xux=2ucosv =2sin cos = sin21012y x= sin2例 9 求函数 y=(2x23) 的导数21分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 23 可求导， 是复合函数，可以先算出21x对 x 的导数1解：令 y=uv， u=2x23，v = , 令 v= ， =1+x221x= (1+x2) xxxv(= 222
9、11)y x=(uv) x=u xv+uv x=(2x23) x +(2x23) 2x英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 5 页 共 6 页=4x ，即 y x= 23232161x2316四、课堂练习：1求下列函数的导数(先设中间变量，再求导 )(1)y=(5x3) 4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x 2)3 (4)y=(2x3+x)2解：(1)令 y=u4，u=5 x3 =(u4) u(5x3) x=4u35=4(5x3) 35=20(5x3) 3x(2)令 y=u5，u=2+3x =(u5) u(2+3x) x=5u
10、43=5(2+3x)43=15(2+3x)4x(3)令 y=u3，u=2x 2 =(u3) u(2x 2) xx=3u2(2x)=3(2x 2)2(2x)=6x(2x 2)2(4)令 y=u2，u=2x 3+x =(u2) u(2x3+x) xx=2u(23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2求下列函数的导数(先设中间变量，再求导 )(nN *)(1) y=sin nx (2)y= cos nx (3)y= tan nx (4)y=cot nx解：(1)令 y=sin u，u=nx=(sin u) u(nx) x=cosun=n cos nxxx(2)令 y=
11、cosu，u=nx=(cos u) u(nx) x=sin un=nsin nxxx(3)令 y=tan u，u=nx=(tan u) u(nx) x=( ) unxxcosi= n= =nsec2nx2)(cosin x22cs1(4)令 y=cot u，u=nx=(cot u) u(nx) x=( ) unxxsico= n= n= =ncsc 2nx2)(sincoi 2i1x2si五、小结 ：复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；复合函数求导的基本步骤英格教育文化有限公司 http:/www.e-l- 全新课标理念，优质课程资源学习方法报社 第 6 页 共 6 页是：分解求导相乘回代 六、课后作业：习题 1.2A 组 6,7,8，B 组
