1、专注数学 关注高中、中考、小升初更多数学专题尽在华芳教育 http:/ 1专题 2 第 4 讲 导数及其应用一、选择题1若函数 f(x)ax 4bx 2c 满足 f (1)2，则 f (1)( )A1 B2C2 D0答案 B解析 f (x)4ax 32bx ， f (1)4a2b2，f ( 1)4a2b(4 a2b)2要善于观察，故选 B.2(2011江西文，4)曲线 ye x在点 A(0,1)处得切线斜率为( )A1 B. 2Ce D.1e答案 A解析 y(e x)e x，所以 ke 01.3(2011重庆文，3)曲线 yx 33x 2 在点(1,2)处的切线方程为( )Ay3x1 By 3
2、x5Cy 3x5 Dy2x答案 A解析 y3x 26x 在(1,2)处的切线的斜率 k363，切线方程为 y23(x1) 即 y3x1.4(2010山东文，8)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y x381 x234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为 ( )13A13 万件 B11 万件C9 万件 D7 万件答案 C解析 本题考查了导数的应用及求导运算，x 0，y x 281(9 x)(9x) ，令y0 得 x9，x (0,9) 时， y0，x(0 ，)时，y f(x) 恒成立，且常数 a，b 满足 ab，则下列不等式一定成立的是( )A
3、af(a)bf( b) Baf (a)bf(a )答案 A解析 令 F(x)xf(x)，则 F( x)xf (x)f(x)，由 xf (x)f(x )，得：xf (x) f(x)0，即 F(x)0，所以 F(x)在 R上为递增函数因为 ab，所以 af(a)bf(b)故选 A.专注数学 关注高中、中考、小升初更多数学专题尽在华芳教育 http:/ 37(2011江苏盐城)函数 f(x)x 33axa 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是( )A0a0，令 f (x) 0，得 x1 ，x 2 .a a则 (0,1) ，00，2ab0，f(1)0)的一条切线，则实数 b_.12答案 ln2
4、1解析 (ln x) ，令 ，得 x2，切点(2，ln2)代入切线方程，得 bln21.1x 1x 1210(2011山东烟台)曲线 y2x 4 上的点到直线 yx1 的距离的最小值为_答案 5162解析 设直线 l 平行于直线 yx1，且与曲线 y2x 4相切于点 P(x0，y 0)，则所求最小值 d 即为点 P 到直线 y x1 的距离，对于 y2x 4，y8x 3，则 y|x x 08x 1.30x0 ，y 0 ，12 18d .| 12 18 1|2 516211(苏北四市联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(1)0， 0(x0)，则不等式 x2f(x)0 的解集是_x
5、f x fxx2答案 (1,0)(1，)解析 设 F(x) ，则当 x0 时，fxx专注数学 关注高中、中考、小升初更多数学专题尽在华芳教育 http:/ 5F(x) 0，xf x fxx2F(x)在(0 ，) 上为增函数，且 F(1)f(1)0.当 x1 时，F( x)0，则有 f(x)0，当 00，当 x0 的解集是(1,0) (1 ，)12(文)(2011银川二模)已知函数 yf(x)的图像在点 M(1，f(1)处的切线方程为y x2，则 f(1)f(1)_.12答案 3解析 由题可知 f(1) 12 ，f (1)k ，所以 f(1)f(1)3.12 52 12(理)(2011浙江五校联
6、考)已知函数 f(x)的导函数 f(x) 2x9，且 f(0)的值为整数，当x n， n1(nN *)时，f( x)所有可能取的整数值有且只有 1 个，则 n_.答案 4解析 由题可设 f(x)x 29x c( cR)，又 f(0)的值为整数即 c 为整数， f(n)n 29nc 为整数，f( n1)( n1) 29(n1) c n 27nc8 为整数，又x n， n1(nN *)时，f( x)所有可能取的整数值有且只有 1 个，n27n c8 n 29nc ，即 n4.三、解答题13已知曲线 yx 3.(1)求曲线在点(1,1) 处的切线方程；(2)求过点(1,0)与曲线相切的直线方程；(3
7、)求过点(1,1)与曲线相切的直线方程解析 (1)y x3，yf (x)3x 2，且点(1,1)在曲线上，f (1)31 23，即所求切线的斜率 k3.专注数学 关注高中、中考、小升初更多数学专题尽在华芳教育 http:/ 6切线方程为 y13(x1) ，即 3xy20.(2)曲线 yx 3，y f (x)3x 2.显然点(1,0)不在曲线 yx 3上 ，设切点坐标为(x 0，x )，30所求直线的斜率 kf (x 0)3x 故所求直线方程为 yx 3x (xx 0)20 30 20又因为该直线过点(1,0)，代入得，0x 3x (1x 0)，30 20x (2x03) 0，x 00，或 x0
8、 .2032当 x00 时，k3x 0，20此时所求直线方程为 y0；当 x0 时，k3x ，32 20 274此时所求直线方程为 y (x1)，274即 27x4y270.所求直线方程为 y0，或 27x4y270.(3)由(2)知，所求直线方程为 yx 3x (xx 0)30 20又直线过点(1,1)，1x 3x (1x 0)，30 20整理得(x 01) 2(2x01)0，x01，或 x0 .12当 x01 时，k3，此时所求直线方程为 y13(x1)，即 3xy20；当 x0 时，k ，12 34此时所求直线方程为 y1 (x1)，34专注数学 关注高中、中考、小升初更多数学专题尽在华
9、芳教育 http:/ 7即 3x4y10.所求直线的方程为 3xy 20，或 3x4y10.14(文)(2011重庆文，19)设 f(x)2x 3ax 2bx1 的导数为 f(x) ，若函数 yf ( x)的图像关于直线 x 对称，且 f(1) 0.12(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的极值解析 (1)f(x )2x 3ax 2bx 1f(x)6x 2 2axb由题意知 ，a3.2a26 12又 f(1)0， 6122a b0，6 6b0，b12.a 3，b12.(2)由(1)知 a3，b12.f(x)6x 2 6x126(x 2 x2) 6(x2)(x1)令 f(x )0，
10、得 x12，x 21.f(x)、f(x) 随 x 变化如下表x (，2) 2 (2,1) 1 (1，)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当 x2 时， f(x)取得极大值 f(2)21，在 x1 处取得极小值 f(1)6.(理)(2011重庆理，18)设 f(x)x 3ax 2bx1 的导数 f(x) 满足 f(1) 2a，f (2)b，其中常数 a，bR.(1)求曲线 yf(x )在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设 g(x)f (x)ex ，求函数 g(x)的极值解析 (1)因 f(x)x 3ax 2 bx1，故 f(x )3x 22ax b，专注数学 关注高中、中考、小升
11、初更多数学专题尽在华芳教育 http:/ 8令 x1，得 f (1)32ab，由已知 f(1)2a，因此 32ab2a，解得 b3.又令 x2，得 f(2) 124ab，由已知 f(2)b，因此 124abb，解得a .32因此 f(x)x 3 x23x 1，从而 f(1) .32 52又因为 f(1)2( ) 3，故曲线 yf(x)在点(1 ，f (1)处的切线方程为 y( )32 523(x 1)，即 6x2y10.(2)由(1)知 g(x)(3x 23x3)e x ，从而有 g(x) (3x 29x )ex .令 g(x) 0，得3x 29x0，解得 x10，x 23.当 x( ，0)时，g(x )0，故 g(x)在(0,3)上为增函数；当 x(3 ，)时，g(x )0；当 x(20,30)时，V0.所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值此时 .即包装盒的高与底面边长的比值为 .ha 12 12
