1、中考数学专题 5 多种函数交叉综合问题 【例 1】将直线 沿 轴向下平移后，得到的直线与 轴交于点 ，与双曲线4yx x904，A交于点 (0)kyxB求直线 的解析式；A若点 的纵标为 ，求 的值（用含有 的式子表示） Bmkm【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行.【解析】将直线 沿 轴向下平移后经过 x 轴上点 A（ ），xy4 0,49设直线 AB 的解析式为 by4则 049b解得 直 线 AB 的解析式为 94xy-8-6-4-2-2
2、642642OBAyx图 3（2）设点 的坐标为 ，B,Bxm直 线 经过点 ，A 94B x 点的坐 标为 ， ,4m点 在双曲 线 上，Bkyx0 49mk 2k【例 2】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 A、B 两点1ykxb2myx（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量 x 的取值范围满足什么条件时， 12y BAOyx-2-6 413【思路分析】第一问直接看图写出 A，B 点的坐标（-6,-2）(4,3) ，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求 k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多
3、变化。比如不给图像，直接给出解析式求 的区间，考生12y是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。【解析】解：（1）由图象知反比例函数 的图象经过点 B(4，3)，2myx m=12 - 34反比例函数解析式为 21yx由图象知一次函数 的图象经过点 A(6，2) ， B(4，3)，1kb 解得 - 6243.kb， 2，一次函数解析式为 1yx（2）当 0x4 或 x6 时， 2【例 3】已知：如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点yaxkyx32A， （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象
4、回答，在第一象限内，当 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？x（3） 是反比例函数图象上的一动点，其中 ，过点 作直线 轴，交Mmn， 03mMBx轴于点 ；过点 作直线 轴交 轴于点 ，交直线 于点 当四边形 的yBACy CBDOA面积为 6 时，请判断线段 与 的大小关系，并说明理由BMD【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形 OADM 的面积是何用意,另一方面也要去看 BM,DM 和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩
5、形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜.【解析】解：（1）将 分别代入 中 ，3,2yaxk得 ， ，ak ， 36反比例函数的表达式为： ；6yx正比例函数的表达式为 23a（2）观察图象得，在第一象限内，当 时，0x反比例函数的值大于正比例函数的值 （3） BMD理由： ，6nm ，即 12 3BMOS ，AC 32OS （很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积）61CDB 4 632BMO DB【例 4】已知： 与 两个函数图象交点为 ，且 ， 是关于 的yax3bPmn， mn、 x一元二次方程 的两
6、个不等实根，其中 为非负整数270kkk（1）求 的值；（2）求 的值；ab、（3）如果 与函数 和 交于 两点（点 在点 的左侧） ，线段0ycyax3bAB、 AB，求 的值2AB【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出 k 的范围，加上非负整数这一条件得出 k 的具体取值。代入方程即可求出 m，n，继而求得解析式。注意题中已经给定 mn,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将 A,B 表示出来，然后利用 构建方程即可。32AB【解析】 （1） 2740kk90 为 非 负整数， k1k， 为一元二次方程 2730xx
7、 1(2)把 代入方程得 , 解得k254x124x，mn 14，把 代入 与， yax3b可得 41ab，(3)把 代入 与ycx4y可得 ， ，由 ，可得4A， Bc， 32A432c解得 ，经检验 为方程的根。128c， 18c， ，【例 5】已知：如图，一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限的交点为3yxm3yx(1)An，（1）求 与 的值；m（2）设一次函数的图像与 轴交于点 ，连接 ，求 的度数xBOAB -2 -1-2-132121yxBAO【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定
8、角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出 A,B 具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现 OB=OA,从而BAO=ABO,然后求出BAO即可。解：（1）点 在双曲线 上，(1,)An3yx 3又 在直线 上，(1,)3yxm . 23m（2）过点 A 作 AMx 轴于点 M. M-2 -1-2-132121yxBAO 直线 与 轴交于点 ，32yxB .0解得 .2x 点 的坐标为 .B-（ ， ） . O点 的坐标为 ， A(1,3) .,M在 Rt 中， ,O90A .tan3 .- 60A由勾股定理，得 .2 .OB
9、.A .-1302M【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一般都是成对出现的。无非也就一下这么几个考点：1、给交点求解析式；2，y 的比较，3，夹杂进其他几何问题。除了注意计算方面的问题以外，还需要考生对数形结合，分类讨论的思想掌握熟练。例如 y 的比较这种问题，纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式，但是如果用图像去做就会比较简单了。总体来说这类问题不难，做好细节就可以取得全分。第二部分 发散思考【思考 1】如图，A、B 两点在函数 0myx的图象上.（1）求 m的值及直线 AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括
10、边界）所含格点的个数。【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用 1-6 的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。【思考 2】如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交ykxbmyx于两点，直线 分别交 轴、 轴于 两点3,1()ABn、 ， ABxDC、（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求 的值DC【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从 A 引一条垂线来构
11、成一对相似三角形，从而求解。【思考 3】已知：关于 x 的一元二次方程 kx2+（2k3)x+k3 = 0 有两个不相等实数根（k0） （I）用含 k 的式子表示方程的两实数根；（II）设方程的两实数根分别是 ， （其中 ） ，若一次函数 y=(3k 1)x+b 与反比例1x221x函数 y = 的图像都经过点（x 1， kx2） ，求一次函数与反比例函数的解析式b【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。【思考 4】如图，反比例函数 的图象过矩形 O
12、ABC 的顶点 B，OA、0C 分别在 x 轴、y 轴的8yx正半轴上，OA：0C=2：1（1）设矩形 OABC 的对角线交于点 E，求出 E 点的坐标；（2）若直线 平分矩形 OABC 面积，求 的值2yxmm【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现 B 点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过 B 点，代入即可。第三部分 思考题解析【思考 1 解析】xyABODC（1）由图象可知，函数 myx（ 0）的图象经过点 (16)A， ，可得 6m设直线 AB的解析式为 kb (1)， ， (
13、)， 两点在函数 yx的图象上， 6.kb， 解得 17.kb，直线 AB的解析式为 yx（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 【思考 2 解析】（1）把 ， 代入 ，得： 3x1ymx3反比例函数的解析式为 y把 ， 代入 得 2xnx2n把 ， ； ， 分别代入31y23y得 ， （第 16 题答图）kxb2k解得 ， 一次函数的解析式为 12b12yx（2）过点 作 轴于点 AEx点的纵坐标为 1， 由一次函数的解析式为 得 点的坐标为 ， 12yC102，2OC在 和 中， ， ，RtD tEA RtODAECDOAE Ayx6BAO 116xyABOEDC【思考 3 解析】解：（I） kx2+（2k3)x+k3 = 0 是关于 x 的一元二次方程 9)(4)(2kk由求根公式，得 或 x1x3k（II） ， 0k13而 ， ， 21x2kx由题意，有 .1)3(,bk解之，得 85b一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 16xy xy8【思考 4 解析】（）由题意，设 B ，则(2,)0a82a.B 在第一象限， B(,) .矩形 OABC 对角线的交点为 (2,1)（）直线 平分矩形 OABC 必过点2yxm(2,1)1=2x2+mm=-3（第 22 题）
