1、 北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 1中考数学函数经典试题集锦1、（2006 重庆）已知： 是方程 的两个实数根，且 ，抛物线 的图mn、 2650xmn2yxbc像经过点 A( )、B( ).,0，(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D，试求出点 C、D 的坐标和BCD 的面积；（注：x抛物线 的顶点坐标为2yabc(0) 24(,)bac）(3) P 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PH 轴，与抛物线交于 H 点，x若直线 BC 把PCH 分成
2、面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P 点的坐标.解析 （1）解方程 得2650,x12,x由 ，有mn1,所以点 A、B 的坐标分别为 A（1，0）,B（0，5）.将 A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入 .2yxbc得 解这个方程组，得bc45c所以，抛物线的解析式为 2yx（2）由 ，令 ，得245yx0240x解这个方程，得 12,所以 C 点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点 D（-2，9）.过 D 作 轴的垂线交 轴于 M.xx则 79(5)22MS，114DBO梯 形 125BOCS所以， .741CDMBO 梯 形（3）设 P 点的坐标为（ ）,0aDBAOC
3、北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 2因为线段 BC 过 B、C 两点，所以 BC 所在的值线方程为 .5yx那么，PH 与直线 BC 的交点坐标为 ，(,5)EaPH 与抛物线 的交点坐标为 .245yx2(,4)Ha由题意，得 ，即3EHP23(4)(5解这个方程，得 或 （舍去）a ，即232(5)()3a解这个方程，得 或 （舍去）P 点的坐标为 或 .(,0)2(,)32、（2006 黑龙江鸡西）某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为
4、 10 升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复已知机器需运行 185 分钟才能将这批工件加工完下图是油箱中油量 y(升)与机器运行时间 x(分)之间的函数图象根据图象回答下列问题：(1)求在第一个加工过程中，油箱中油量 y(升)与机器运行时间 x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量 x的取值范围)；(2)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止?(3)加工完这批工件，机器耗油多少升?解析 (1)设所求函数关系式为 y=kx+b由图象可知过(10，100)，(30，80)两点，得 1038kb解得 10b y=-x+llO (2)当 y=10 时，-x+110=10，
5、x=100机器运行 100 分钟时，第一个加工过程停止(3)第一个加工过程停止后再加满油只需 9 分钟加工完这批工件，机器耗油 166 升3、（2006 北京海淀）已知抛物线 的部分图象如图 1 所示。yxc12北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 3图 1 图 2（1）求 c 的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线 的解析式；yxc12（3）若反比例函数 的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图 2 所示直角坐标系中，画出ykx该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较 与
6、的大小。y12解析 （1）根据图象可知 c0且抛物线 与 x 轴有两个交点yx12所以一元二次方程 有两个不等的实数根。所以 ，且402cc所以 c1（2）因为抛物线经过点（0，-1）把 代入xy1， yxc12得 c故所求抛物线的解析式为 121（3）因为反比例函数 的图象经过抛物线 上的点（1，a）ykx2yx12把 代入 ，得xa1， 1a把 代入 ，得， ykx22所以 yx2北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 4画出 的图象如图所示。yx2观察图象， 除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为 和2与
7、 12， 1， 把 和 分别代入 和 可知，xy， xy12， yx12yx和 是 的两个交点1， ， 1与根据图象可知：当 或 或 时，x0xy12当 时，2或 或当 时，1x或 y214、（2006 浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山从山的侧面进行堪测，迎面山坡线 ABC 由同一平面内的两段抛物线组成，其中 AB 所在的抛物线以 A 为顶点、开口向下， BC 所在的抛物线以 C 为顶点、开口向上以过山脚（点 C）的水平线为 x 轴、过山顶（点 A）的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）已知 AB 所在抛物线的解析式为 ， BC 所在抛物线的解析式为 ，且已知 8412y
8、2)8(41x)4,(mB（1）设 是山坡线 AB 上任意一点，用 y 表示 x，并求点 B 的坐标；),(yxP（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶这种台阶每级的高度为 20 厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于 20 厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？（3）在山坡上的 700 米高度（点 D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站索道的起点选择在山脚水平线上的点 E 处， （米）假设索道 DE 可近似地看成一段以 E 为顶点、开口向上的抛物线，解160O析式为 试求索道的最大悬空高度2)(8xyO x
9、yABCmD47上山方向 E长度高度北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 5解析 （1） 是山坡线 AB 上任意一点，),(yxP ， ，842y0 ，)(xyx ， 4，,mB82)4,(B（2）在山坡线 AB 上， ，yx8,0A令 ，得 ；令 ，得80y09.72.10894.2.1x第一级台阶的长度为 （百米） （厘米）084.x84同理，令 、 ，可得 、2.082y 2.3y1269.0x15492.03x第二级台阶的长度为 （百米） （厘米）075.1x37第三级台阶的长度为 （百米） （厘米）2
10、843.3284取点 ，又取 ，则)4,(B0.y 90.3.x 1.09.3这种台阶不能从山顶一直铺到点 B，从而就不能一直铺到山脚（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到 700 米高度，共 500 级从 100 米高度到 700 米高度都不能铺设这种台阶解题时取点具有开放性）另解：连接任意一段台阶的两端点 P、 Q，如图这种台阶的长度不小于它的高度 45PQR当其中有一级台阶的长大于它的高时， PQR北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 6在题设图中，作 于 HOAB则 ，又第一级台阶的长大于它的高45
11、AH这种台阶不能从山顶一直铺到点 B，从而就不能一直铺到山脚（3）、 、 、)7,2(D)0,16(E)4,(B)0,8(C由图可知，只有当索道在 BC 上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值索道在 BC 上方时，悬空高度 2)16(xy2)8(4x)96403(12x30143当 时，x8may索道的最大悬空高度为 米305、如图 14，抛物线 E： 交 x 轴于 A、B 两点，42xy交 y 轴于 M 点。抛物线 E 关于 y 轴对称的抛物线 F 交 x 轴于C、D 两点。求 F 的解析式；在 x 轴上方的抛物线 F 或 E 上是否存在一点 N，使以 A、CN、M 为顶点的四边形是平行四边
12、形。若存在，求点 N 坐标；若不存在，请说明理由；若将抛物线 E 的解析式改为 ，试探索问cbxay2题。解析 当 y=0 时， ，解得 x1=3， x2=1，0342x A、 B 点坐标分别为（3，0）、（1，0）当 x0 时， y3， M 点坐标为（0，3）， A、 B、 M 三点关于 y 轴得对称点分别是 D、 C、 M， D、 C 坐标为（3，0）、（1，0）O xyABC4 ED47 上山方向北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 7设 F 的解析式为 32bxay309ba a1， b4 F 的解析式
13、为 342xy（2）存在。假设 MN AC， N 点的纵坐标为 3。若在抛物线 F 上，当 y=3 时， ，则 x1=0， x2=42 N 点坐标为(4，3)， MN=4，由(1)可求 AC=4， MN=AC，四边形 ACNM 为平行四边形。根据抛物线 F 和 E 关于 y 轴对称，故 N 点坐标为(4，3)或(4，3)(3) 存在。假设 MN AC， N 点的纵坐标为 c。设 y0， 02cbxa ，acbx24 A 点坐标为( ，0)， B 点坐标为( ，0)2 acb24 C 点坐标为( ，0)， AC=acb24ab在抛物线 E 上，当 y=c 时， ， x1=0， x2=cx2ab
14、N 点坐标为( ，0)abNM=0( )= ， NM=AC，四边形 ACMN 为平行四边形。根据抛物线 F 和 E 关于 y 轴对称，故 N 点坐标为( ，c)或( ，c)。ab6、（2006 山东烟台）如图，已知抛物线 L1: y=x2-4 的图像与 x 有交于 A、C 两点（1）若抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称，求 l2的解析式；（2）若点 B 是抛物线 l1上的一动点（B 不与 A、C 重合），以 AC 为 对角线，A、B、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为 D，求证： 点 D 在 l2上；（3）探索：当点 B 分别位于 l1在 x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形 A
15、BCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是 何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。解析 （1）设 l2的解析式为 y=a(x-h)2+k北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 8l 2与 x 轴的交点 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l 1与 l2关于 x 轴对称，l 2过 A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）y=ax 2+40=4a+4 得 a=-1l 2的解析式为 y=-x2+4(2)设 B(x1 ,y1)点 B 在 l1上B(x 1 ,x1
16、2-4) 四边形 ABCD 是平行四边形，A、C 关于 O 对称B、D 关于 O 对称D(-x 1 ,-x12+4).将 D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入 l2：y=-x 2+4左边=右边点 D 在 l2上.(3)设平行四边形 ABCD 的面积为 S,则S=2*SABC =AC*|y1|=4|y1|a.当点 B 在 x 轴上方时，y 10S=4y 1 ,它是关于 y1的正比例函数且 S 随 y1的增大而增大，S 既无最大值也无最小值b.当点 B 在 x 轴下方时，-4y 10S=-4y 1 ,它是关于 y1的正比例函数且 S 随 y1的增大而减小，当 y1 =-4 时，S 由最大值 16
17、，但他没有最小值此时 B(0,-4)在 y 轴上，它的对称点 D 也在 y 轴上. ACBD平行四边形 ABCD 是菱形此时 S 最大 =16.7、（2006 吉林长春）某厂生产一种零件，每个成本为 40 元，销售单价为 60 元。该厂为了鼓励客户购买，决定当一次购买零件超过 100 个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低 0.02 元，但不能低于 51 元。（1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为 51 元？ （2）设一次购买零件 x 个时，销售单价为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式。（3）当客户一次购买 500 个零件时，该厂获得的利润是多少？当客户一次购买 1000 个零碎件
18、时，利润又是多少？（利润 = 售价成本）解析（1）设当一次购买 x 个零件时，销售单价为 51 元，则（ x100）0.02 = 6051，解得 x = 550。答：当一次购买 550 个零件时，销售单价为 51 元。 （2）当 0 x100 时， y = 60；当 100 x550 时， y = 620.02 x；当 x550 时， y = 51。 （3）当 x = 500 时，利润为北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-62754468 9（620.02500）50040500 = 6000（元）。当 x = 1000 时，
19、利润为 1000（5140）= 11000（元）。答：当一次购买 500 个零件时，该厂获得利润为 6000 元；当一次购买 1000 个零件时，该厂获得利润11000 元。 8、（2006 吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数 的图象交于点 A。动点 P 从点621,xyO 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动，作 PQ x 轴交直线 BC 于点 Q，以 PQ 为一边向下作正方形 PQMN，设它与 OAB 重叠部分的面积为 S。（1）求点 A 的坐标。（2）试求出点 P 在线段 OA 上运动时， S 与运动时间 t（秒）的关系式。（3）在（2）的条件下， S 是否有最大值？
20、若有，求出 t 为何值时， S 有最 大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（4）若点 P 经过点 A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形 PQMN 与 OAB 重叠部分面积最大时，运动时间 t 满足的条件是_。解析（1）由 可得,621,xy.4,yx A（4，4）。 （2）点 P 在 y = x 上， OP = t，则点 P 坐标为 ).2,(点 Q 的纵坐标为 ，并且点 Q 在 上。t 621xy ，txt12,62即点 Q 坐标为 。),(t。 tP231当 时， 。t23北京中考网北达教育旗下 电话 010-62754468北京中考网北达教育旗下门户网站 电话 010-627
21、54468 10当 ，时230t .263)1( ttttS当点 P 到达 A 点时， ，4t当 时，23t)1(tS。142369tt（3）有最大值，最大值应在 中，230t ,12)(231)8(2 ttttS当 时， S 的最大值为 12。 （4） 。1t9、（2006 临安）如图，OAB 是边长为 的等边三角形，其中 O 是坐标原点，顶点 B 在 轴正方向上，23 y将OAB 折叠，使点 A 落在边 OB 上，记为 A，折痕为 EF.（1）当 AE/ 轴时，求点 A和 E 的坐标；x（2）当 AE/ 轴，且抛物线 经过点 A和 E 时，求抛物线与 轴的交点的坐标；216yxbc x（3） 当点 A在 OB 上运动，但不与点 O、B 重合时，能否使AEF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A的坐标；若不能，请你说明理由.解析（1）由已知可得A ， OE=60o , A， E=AE由 A E/ 轴 ,得 OA， E 是 直 角 三 角 形 ，x设 A， 的 坐 标 为 （ 0， b）AE=A， E= ,OE=2b3b所 以 b=1， A， 、 E 的 坐 标 分 别 是 （ 0， 1） 与 （ ， 1） 3（ 2） 因 为 A， 、 E 在 抛 物 线 上 ， 所 以
