1、中考热点专题讲练-方程与不等式（二）山东 李其明 专讲一：一元二次方程1整体动向：主要考查二元一次方程的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主，难度不大，另外关于列二元一次方程解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大2重点、难点、疑点（1）一元二次方程的概念只含有一个未知数 x 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程一元二次方程的一般形式是 （a,b,c 为常数，a0）其中 ，bx,c 分别称20ac2ax为二次项，一次项和常数项，a,b 分别称为二次项系数、一次项系数，它的特征有二：一是方程的右边为 0；二是左边的二次项系数不能为 0，（2）一元二次方程的四种解法直接开
2、平方法、配方法、公式法和因式分解法（3）一元二次方程根与系数的关系3思想方法主要思想方法有：整体思想、转化思想、方程根的估算思想等4典例剖析例 1 （2006 年武汉市）解方程： 012x析解：本题重点考查一元二次方程的公式解，由求根公式易得，152x215x例 2 （2006 年威海市）已知 a、b 为一元二次方程 的两个根，那么092x的值为（ ）ba（A）-7 （B ）0 （C）7 （D）11析解：本题综合考查一元二次方程根的定义与根与系数之间的关系，由于 a、b 为一元二次方程 的两个根，所以，将 a 代入方程得： ，所以92x 290a，由根与系数之间的关系得 a+b=-2，所以原式
3、=9-2a+a-b=9-(a+b)=9-(-2)2a=11，故应选 D例 3 （2006 年海淀区）已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程：xxnn22210123310（1）请解上述一元二次方程、 ；（2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。解：（1） ，所以x1x121，所以02，所以x3x13，所以 n10n121，（2）比如：共同特点是：都有一个根为 1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。评析：本题是一元二次方程的阅读理解型的考题，它通过阅读（解方程的过程）来归纳、提炼出一般规律，是一开放型试题专练一：1 （2006 年台州市）方程 x24x
4、+3=0 的两根之积为（ ）（A）4 （B）4 （C）3 （D）32 （2006 年温州市）方程，x 2-9=0 的解是( )Ax l=x2=3 B. xl=x2=9 Cx l=3,x2=-3 D. xl=9,x2=-93 （2006 年常德市）已知一元二次方程有一个根是 2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可） 4 （2006 年荆洲市）已知关于 x 的二次方程 有实数根，则 k 的01)1(k取值范围是 。5 （20006 年荆洲市）已知 y 关于 x 的函数： 中满足)(2)(xxyk3。 （1）求证：此函数图象与 x 轴总有交点；（2）当关于 x 的方程有增根时，求上述
5、函数图象与 x 轴的交点坐标。23z6 （2006 年维坊市） （已知 是方程 的一个解，则01ab， 210ab的值是 2ab7 （2006 年福州市）关 x 的一元二次方程(x-2)(x -3)=m 有两个不相等的实数根 x1、x 2，则m 的取值范围是 ；若 x1、x 2 满足等式 x1x2-x1-x2+1=0，求 m 的值.8 （2006 年南昌市）已知关于 x 的一元二次方程 0k(I)求证方程有两个不相等的实数根：(2)设的方程有两根分别为 日满足 求 k 的值12,1212xx专讲二：方程根的估算1整体动向：我们在解一元二次方程时，有时去求它的精确，但有时也没有必要求它的精确解，
6、只需要近似地估算就可以了2重点、难点、疑点关于一元二次方程的近似解，应先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解， “夹逼”思想是近似近似的重要思想， “新课标”要求发展学生的估算意识和能力，应引起我们的重视3思想方法：估算思想、转化思想4典例剖析例 1有一张长方形的桌子，它的长为 6 尺，宽为 3 尺，有一台布的面积是桌面积的2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求垂下的长度（精确到 0.1 尺）如图 1，长方形 ABCD 表示桌面，长方形 EFGH 表示台布解：设台布下垂 x 尺，则台布的长为（6+2x）尺，宽为（3+2x）尺，依题意，得（6+2
7、x） （3+2x）=36，整理得 ，从方程 可以看出所列290方程是一个一元二次方程，我们运用估算的方法进行：（1）从方程估算 x 的取值范围若 x1，则（6+2x ） （3+2x ）85=40 36，不符合方程，所以 x1，但 x 不可是负数，故 x 的取值范围：0x 1，（2）进一步逼近 x 的值因为 0.1 至 0.9 有几个值，近似比较麻烦，我们先取三个值，列表近似如下：x 0.1 0.5 0.929-8.08 -4 0.72从上表可以看出 x 的取值范围：0.5x0.9（3）由题中的精确度确定 x 的值，把 x 从 0.5 取到 0.9，故精确到 0.1 时，x0.8，即台布下垂 0
8、.8 尺例 2 （2006 年常德市）根据下列表格中二次函数 的自变量 与函数值2yabc的对应值，判断方程 （ 为常数）的一个解 的范围是y20axbc， x（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20BACDE FGH图 12yaxbc0.30.10.20.4 6.1767.8x .89.9解：由例 1 的估算方法可以知道： 的值接近 0 时，x 的值，应选 C2abc例 3 “一块矩形铁片，面积为 1 平方米，长比宽多 3 米，求铁片的长”，小明在做这道题时，是这样思考的：设铁片的长为 x 米，列出方程为 x（x-3 ）=1，整理得 ，2310x小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少
9、，下面是他的探索过程，第一步：x 1 2 3 423-3 -3所以： x 第二步： x 3.1 3.2 3.3 3.4231-0.69 -0.36所以： x （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，你能估计出矩形铁片的整数部分为 ，十分位为 解：（1）由问题的背景可知：x1，所以 x 的值应从 1 开始估算，通过计算当 x=1，2时， 的值为-3，当 x=3，4 时， 的值分别为 3，4；所以 x 的范围应3233x4，然后在 3 和 4 之间再取值估算， 的值分别为-0.69，-0.36 ，-0.01，0.36，所以 x 的范围应3.3x3.4，（2）由上可以估计出
10、矩形铁片的整数部分为 3，十分位为 3专练二：1 （2006 年武汉市）估算方程： 的近似解是 012x2 （2006 年广东省）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由3.(2006 年浙江省)根据下列表格的对应值：判断方程 (a0，a，b，c 为常数) 一个解 x 的范围是( )02bxaA、3x3.23 B、3.23x3.24C、3.24x3.25 D、3.25 x
11、3.264自编一个一元二次方程，使二次项系数为-2，常数项为 2，并用估算的方法求其解专讲三：方程（组）与不等式（组）的综合应用1整体动向：根据新课标的要求，这部分内容考试所占的比重较大，不但有填空、选择、解答题，近年来考查这类应用的题目越来越多，而且一大批具有较强的时代气息，设计自然，紧密联系日常生活实际问题的应用题不断涌现，对于情境设计、设问方式等方面有新突破2重点、难点、疑点（1）列方程解决实际问题的关键是找“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助于图表等（2）应用方程组解决实际问题的关键再于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程并组成方程组，同时注意检验解的合理性（3）列不等式（组）解
12、应用题的特征：一般所求问题中含有“至少”、 “最多”、 “不高于”、“不低于”等词语，要正确理解这些词语的含义，它解题的一般步骤与列方程（组）类似3思想方法主要思想方法有：转化、类比、方程、函数、整体、数形结合等思想方法4典例剖析例 1 （2006 年济南市）某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅经过测试：同时开放 1个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供2280 名学生就餐（1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由解：（1）设 1 个大餐厅可
13、供 名学生就餐，1 个小餐厅可供 名学生就餐，根据题意，xy得 解这个方程组，得6802.xy， 9603.y，答：1 个大餐厅可供 960 名学生就餐，1 个小餐厅可供 360 名学生就餐 （2）因为 ，95352所以如果同时开放 7 个餐厅，能够供全校的 5300 名学生就餐例 2 （2006 年黑龙江省鸡西市）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价 12万元，售价 145 万元；每件乙种商品进价 8 万元，售价 lO 万元，且它们的进价和售价始终不变现准备购进甲、乙两种商品共 20 件，所用资金不低于 190 万元，不高于 200 万元(1)该公司有哪几种进货方案?(2)该公司采用哪
14、种进货方案可获得最大利润?最大利润是多少?(3)若用(2)中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案x 3.23 3.24 3.25 3.26c-0.06 -0.02 0.03 0.09解：(1)设购进甲种商品茗件，乙种商品(20-x) 件19012x+8(20-x)200 ， 解得 7.5x10 x 为非负整数， x 取 8，9，lO 有三种进货方案：购甲种商品 8 件，乙种商品 12 件，购甲种商品 9 件，乙种商品 ll件，购甲种商品 lO 件，乙种商品 10 件(2)购甲种商品 10 件，乙种商品 10 件时，可获得最大利润，最大利润是 45 万元(3)购甲种商品 l 件
15、，乙种商品 4 件时，可获得最大利例 3 （2006 年广东省实验区）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5个苹果，则还剩 12 个苹果；若每位小朋友分 8 个苹果，则有个小朋友分不到 8 个苹果求这一箱苹果的个数与小朋友的人数解：设有 x 人, 则苹果有( )个 ，由题意, 得 512x5128()0x解得: ， X 为正整数，X=5 或 6 ，当 X=5 时， 人2043 37当 X=6 时， 人514x专练二：1 （2006 年烟台市）2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积是 13，
16、小正方形的面积是 1，直角三角形的较长直角边为 a，较短直角边为 b，则 a3b 4 的值为( ) A35 B43 C89 D972 （2006 年年山东省青岛市） “五一”黄金周期间，某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座两种客车，42 座客车的租金每辆为320 元，60 座客车的租金每辆为 460 元（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车 8 辆（可以坐不满） ，而且要比单独租用一种车辆节省租金请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案3 （湖北省十堰市 2006 年课改实验区）市“康智”牛奶乳业有限公司经过市场调研，决
17、定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量 件，这20件的总产值 （万元）满足： 已知有关数据如下表所示，那么该公司20p102p明年应怎样安排新增产品的产量？产品 每件产品的产值甲 万元4.5乙 万元74 （江苏省淮安市 2006 年中考题）小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了 12 分 ”妈妈说：“特里得分的两倍与纳什得分的差大于 10；纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多 ”爸爸又说：“如果特里得分超过 20 分，则小牛队赢；否则太阳队赢 ”请你帮小明分析一下究竟是哪个队赢了，本场比赛特里、纳
18、什各得了多少分?5 （2 006 年 益 阳 市 ） 八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：李小波：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么？李小波：我只有 100 元，请帮我安排买 10 支钢笔和 15 本笔记本.售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，退你 5 元，请清点好，再见.根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？参考答案：专练一：1C；2C；3 ； 4k1；5 略；65；7m ；2；20x148(1)证明 = ， 原方程有两个不相等的实数根241()kk(2)解：由根与系数的关系，得 1212,xx1212
19、x1k解得 k=1专练二：10.618；2 （1）4，16；（2）不能剪成两段使得面积和为 12cm2；3C；4答案不唯一（略）专练三：1C；2解：（1）385429.2单独租用 42 座客车需 10 辆，租金为 320103200 元385606.4，单独租用 60 座客车需 7 辆，租金为 46073220 元（2）设租用 42 座客车 x 辆，则 60 座客车（8x ）辆，由题意得：）（ ，）（ 32086305x解之得： x x 取整数， x 4，571当 x4 时，租金为 3204460（84）3120 元；当 x5 时，租金为 3205460（85）2980 元答：租用 42 座客
20、车 5 辆，60 座客车 3 辆时，租金最少 说明：若学生列第二个不等式时将“” 号写成“”号，也对3解：设该公司安排生产新增甲产品 件，那么生产新增乙产品 件，由题意，x20x得 ， 104.57201xx解这个不等式组，得 ，43依题意，得 ， ，当 时， ；当 时， ；当 时， 1x20912x0813x207所以该公司明年可安排生产新增甲产品 件，乙产品 件；或生产新增甲产品 件，91乙产品 件；或生产新增甲产品 件，乙产品 件 874设本场比赛特里得了 x 分，则纳什得分为 x+12由题意,得 解得 22x24. 因为 x 是整数，所以 x=23 答：小牛队x3)12(,0赢了，特里得了 23 分，纳什得了 35 分.5.解：设钢笔每支为 x 元，笔记本每本 y 元，据题意得 5102yx解方程组得， ，答：钢笔每支 5 元，笔记本每本 3 元.35y
