1、浅谈3-SAT问题,陈昕昀,SAT问题的定义,k-SAT,3-SAT,完备性算法非完备性算法一些拓展,完备性算法,根本思想:回溯法优化: (1)优先确定短的子句中包含的变量的值 (2)优先确定在较多子句中出现的变量的值,问题模型的转化,问题模型的转化,将X中所有变量的一个赋值方案记为 a=a1,a2,an令则原问题转化为判断上述函数最小值 能否达到0,非完备性算法,爬山法模拟退火遗传算法 ,粒子群优化算法,J.Kennedy,R. C. Eberhart(1995)第i个粒子的状态用三元组(ai,vi,pi)表示 ai:当前解 vi:粒子运动速度 pi:该粒子达到过的最优解,应用于3-SAT问
2、题,记ai=(xi1, xi2, xin) vi=(vi1,vi2, vin)(ai,vi,pi)的更新方式如下: 当sig(vij(t+1)r3时,xij(t+1)=0,反之为1 其中t为迭代次数,sig(x)=1/(1+e-x) (0,1),为惯性因子;c1,c2为事先确定的正常数 pg表示整个粒子群所达到过的最优解 r1,r2,r3为相互独立的(0,1)之间的随机数,单纯用这种方法求解容易使f(pg)停留在某个很小的正整数而无法得到0这个解有可能在最优解的附近记当前所得f(pg)=c;若最优解存在的话,至多需要改变 3c个变量的值将其余变量的值固定,对这几个变量使用局部随机搜索若仍无法达
3、到最优解,则认为当前解为局部极小值,更新其余解,应用于3-SAT问题,伪代码,maxTimes=200, vmax=2;size=100,c1=c2=2.0,w=0.8,i=1,currentTimes=0;initialize population;while ivmax)vij=vmax; get r3; if sig(vij)=maxTimes then while 1 do c=f(pg); c2=local_search(pg); if c2=0 then return pg; if c2=c then update pg else i=i+1,currentTimes=0,brea
4、k; end while end thenend while return (pg,f(pg);,一些拓展,转化为独立集问题对Xi中每个元素建立一个节点对应于相应变量 的取值,并两两之间相互连边假如Xi与Xj中同时存在xk和 xk,将对应的两个 点连边3-SAT问题有解当且仅当该图中存在点数为m 的独立集,一些拓展,转化为独立集问题举个例子:,一些拓展,一个8/7-近似算法假设在一个3-SAT问题中每个语句恰好包含3个 子句,如果我们只要求满足大部分语句的话,存在 一个确定性算法能够满足7/8的语句首先,考虑在一随机指派下满足语句个数的期望 值,记为E(X),每个语句记为Xi则P(Xi=1)=
5、7/8,P(Xi=0)=1/8,E(Xi)=7/8(1im)故 E(X)=7m/8因此,基于随机指派的算法的期望近似比m/(7m/8)=8/7,一些拓展,一个8/7-近似算法首先考虑变量x1由于E(X)=E(X|x1=1)P(x1=1)+E(X|x1=0)P(x1=0) =0.5E(X|x1=1) +0.5E(X|x1=0)故必存在对于x1的某个赋值a1(a10,1)使得 E(X|x1=a1)7m/8同理,可依次找到a2, a3 ,an0,1使得 E(X| x1=a1, xn=an)7m/8,则该方案即为所求该确定性算法的近似比m/(7m/8)=8/7,时间复 杂度为O(nm),结 语,References,Carla P. Gomes, Henry Kautz, Ashish Sabharwal, Bart Selman,“Satisfiability solvers”He Yichao,Wang Yanqi,Kou Yingzhan, “A New Method for Solving 3-SAT Problems”Riccardo Poli, James Kennedy, Tim Blackwell, “Particle swarm optimization”,Thanks for Listening！,
