1、 http:/ 快乐学习，尽在中小学教育1例说“分类讨论”及其应用尹建堂所谓分类讨论，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解，最后整合得答案，即有“分”有“合”，先“分”后“合”的一种解题策略。它既是一种数学思想，也是一种逻辑方法，故称分类讨论的思想方法。应用分类讨论解题既要弄清引发分类的原因，又要掌握科学分类的原则，即不重复，不遗漏。本文拟就引发分类的常见原因、求解方法例说如下。一、由数学概念引发的分类讨论数学中的有些概念是分类定义的，如绝对值、分段函数等；有些有一定的限制，如直线斜率 中， 等。解题时就要从所给定义的概念来进行分类讨论。ktan 2例 1
2、. 解方程 。41xx|分析：去掉绝对值符号是关键，由此引发分类讨论，显然应从 的正负来分类。12x解：（1）当 ，即 时，原方程化为20x，即 ，41x()142解得 24x而 0，无解；1x又由 知 ，舍去。24xx（2）当 ，即 时，原方程化为 ，10x 421xhttp:/ 快乐学习，尽在中小学教育2即 ，()2149x解得 72x可见 ，无解；10x而由 ，得27xxlog23综上知，原方程的解为 。l2例 2. 已知 ，解不等式 。fx()10， ， x()2fx()5分析：分段函数本身就是一种分类讨论，需对函数的每一段情况分别进行研究。依题意本题要以 的正负来分类求解。2解：当
3、时，原不等式可化为x0解是5， 23x当 时，原不等式可化为x2，解得 。()综上知，原不等式的解集为 。(， 32二、由运算要求引发的分类讨论有的数学运算有严格的限制，解题时必须按要求进行。如除法运算中除式不能为零；在实数范围内开偶次方被开方数必为非负数；解方程、不等式时，两边分别乘同一个数是否为零、是正数还是负数等都需要按不同的运算要求分类讨论。例 3. 解不等式 。xaalog()9201， 且 分析：因未知数出现在指数位置时常取对数（这里显然以 a 为底），但不等号的方向如何确定？需要分类讨论。http:/ 快乐学习，尽在中小学教育3解：因 ，则原不等式等价于a20。 （*）xa9lo
4、g（1）当 时，（*）的两边取以 a 为底的对数，得，229402(l)l(log)laa axxxx解出 loglaa14或所以 或 。0x（2）当 时，则有1a(log)(l)40x解得 2la所以 。x4所以原不等式的解集为：；axax104时 ， 或| 。4时 ， |三、由定理、公式的限制条件引发的分类讨论有些定理、公式在不同条件下有着不同的结论，故在应用时须进行分类讨论。如等比数列前 n 项和公式应分 q1，q1 来讨论；二次函数的条件最值需要对相应的抛物线开口方向、极值点 与约束条件 的位置关系分类讨论。x0t2，例 4. 首项为 1，公比为 q（ ）的等比数列前 n 项和为 ，设
5、0Snn1，2，求 。TSn， limnThttp:/ 快乐学习，尽在中小学教育4解：等比数列a n的公比为 ，首项 ，则q()0a1（1）当 q1 时， Sann1所以 limlilimnnT1（2）当 q1 时， ，Saqnn1()所以 。Tqnnnn111：为确定其极限，再对 q 作二级讨论：若 ，则 ；0limnT10若 ，则q1lililim()nnqqqnn1101综上知， lim()nq01评注：本题也可减少分类层次，按 q1， 来分类讨论。01q，例 5. 已知函数 ，设 ，求fxaxRa()()， gxafx()|()|2的最小值。gx()分析：先将原函数化为 ，然后去掉绝对
6、值符号分成两段；g()|()|21再对每段的一元二次函数就 a 进行二级分类讨论，求出各段上的最小值；结合图象再求出整个函数的最小值。http:/ 快乐学习，尽在中小学教育5解： gxax()|()|21（1） 时，有且 。gxaxa()()22134如果 ，即 时，由函数 在区间 上的图象可agx()()a1， 及 ，知， ；gxa()()()min12如果 时，由函数在区间 上的图a21， 即 )()a10， 及 ，象可知， 。gxa()()min34（2）当 时，1。xx()()225如果 时，aa13， 即；gx()()min254如果 时aa13， 即gx()()()min12又当
7、时， ，a32()a543022当 时，()()13122综上知，当 时， ；agxamin54当 ；123时 ， ()()()in12http:/ 快乐学习，尽在中小学教育6当 时 ， ；a12() gxa()min1234当 时， 无最小值。四、由函数性质引发的分类讨论对于涉及函数定义域、值域及性质的问题，要根据函数性质来分类讨论。例 6. 已知函数 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。fxax()321分析：本题是以导数为工具，研究函数单调性的问题，所以求导数是必不可少的步骤。求出 恒小于零时 a 的范围，因由已知的解析式知 ，故需对 a 的取值范围分类讨论。fx() 解：求函数 的
8、导数，得f()fxax()3612当 时， 是减函数。fR()0f()。36103612032axxaa且 所以当 时，由 ，知 是减函数。f()fxR()所求范围 只是所求取值范围的一部分，是它的充分条件。还需对 a 的取值范(， 3围进行分类，再对每一类研究 是否是 R 上的减函数。fx()因为由已知解析式可知 a 的取值范围是全体实数，所以再划分为3 与 两类()3，来讨论。（1）当 时， 。afxxx() ()1389323由函数 的单调性及图象的平移变换，可知当 a3 时， 是减函数；y3 fxR()http:/ 快乐学习，尽在中小学教育7（2）当 时，在 R 上总存在一个区间，其上
9、有 ，所以当 时，函数a3fx()0a3不是减函数。fx()综上知，所求 a 的取值范围是（ 。， 3评注：本题的分类与整合完全是由教材中学习的函数单调性与导数的关系定理是非充要的所引发的，先求出所求取值范围的一个充分条件，然后再分类研究。应当注意的是，本题是对 a 的取值范围的分类，而不是对 的正、负、零的分类，弄清楚分类对象是至关重要fx()的。五、由图形位置不同引发的讨论有些涉及图形的问题，根据已知条件不能唯一确定图形的位置时，在求解过程中，要根据可能出现的不同位置进行讨论。例 7. 已知两异面直线 a、b 所成的角为 ，它们的公垂线段 AA1 的长度为 d，在 a、b 上分别取 E、F，设 A1Em，AFn，求 EF 的长。分析：由于 F 在 b 上的位置不同，故应分两种情况讨论求解。解：如图 1 所示，过 A 作 ca，作 EGc 于 G，连 FG，则 EGGF。图 1所以 。EFG22因 F 在 b 上的位置不同，FAG 可能等于 ，也可能等于 ，故有（1）当FAG 时，在FAG 中，由余弦定理，得mn22cos所以 EFdmn22（2）当FAG 时，类似地，得http:/ 快乐学习，尽在中小学教育8。EFdmn22cos综上， n22
