1、12012 届数学二轮复习 专题六专题六：数学方法之特殊证法【考情分析】近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。在高考中所占的分值大约在 30 分左右。这类考题的特点是：（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强） 、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问
2、题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法） ；（3）解析几何中的解答题经常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；预测 2012 年高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变；【知识交汇】1定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法
3、。2反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾” 。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定” 。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定” 。应用反证
4、法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法” ；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法” 。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式” 、 “至少”或“至多” 、
5、“唯一” 、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，22012 届数学二轮复习 专题六改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。3数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n1(或 n )时成立，这是递推的基础；第二0步是假设在 nk 时命题成立，再证明 nk1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不
6、可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 nn 且 nN）结论都正确” 。由这两0步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是 nk1 时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。4不等式的证明方法（1）比较法是证明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。它包括“作差法”与“作商法” ，比差法的理论依据是： 0ba比商法的理
7、论依据是 a，b R ，那么：1ba判断 a，b 的大小，当 a，b R 时，可以通过判断 ab 与 0 的大小来完成。当 a，b R 时，可以通过判断 与 1 的大小来完成。比较法这种方法其本质就在于单独讨论“a，b”不等式难以证明时，就“ab， ”整体讨论，使问题迁移“环境” ，给问题带来新的结构。对 ab， 变形后与 0，1 的比较提供可能，这种变形后的式子结构“ab， ”能够和“0，1”比较大小是比较法的精髓。作差法中，对差“ab”的变形方法通常有通分、配方（非负数） 、因式分解、二次函数的判别式等。作商法的一般步骤是，求商 变形 判断与 1 的大小。方法的选择：若不等式两边含有相同的
8、项，或者作差以后能进行因式分解；能用配方法，能写成分式判断其符号，可使用作差法。32012 届数学二轮复习 专题六若不等式两边是指数形式，能使分子、分母变形得到相同结果的不等式，用作商法比较容易，也就是说，凡适合于求“商”运算，并能比较出商与 1 的大小的不等式，一般都适合于用作商法证明。（2）综合法综合法就是由已知出发，根据不等式性质，基本不等式等，逐步推导得到所要证明的不等式的一种方法，也就是用因果关系书写“从已知出发”借助不等式性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证的全过程，其特点可描述为“执因索果” ，即从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，综合法证明题逻辑性很强，
9、它要求每步推理都要有依据。（3）分析法证明不等式，可以从待证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化成为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能断定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，概括地说就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知” 。分析法证明“若 A 则 B”的基本模式是欲证 B 为真只需证 B1 为真只需证 B2 为真只需证 A 为真，今已知 A 为真，故 B 必真其逻辑关系是 12A（4）放缩法在证明不等式 AB 时，可以构造出数学式 C，使 AC，且 CB，则 A
10、B 得证。其中数学式 C 常常通过将 A 缩小或将 B 放大而构成，它的依据是不等式的传递性，这种证明方法叫做放缩法，用放缩法证明不等式，在高中数学中占有一定的比重。【思想方法】题型 1：定义法例 1 （11 天津理，20） ）已知数列 na与 b满足： 123(1)0,2nnnnaba， *nN，且 2,4a（）求 35的值；（）设*21,nncN，证明： nc是等比数列；（III）设*242,kkSa证明：4*17()6kSNa本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析42012 届数学二轮复习 专题六和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分
11、14 分.（I）解：由*3(1),2nnbN可得,n为 奇 数为 偶 数又 120,nnbaa312324435 ;5;.当 =时 ,+=由 ,可 得 a当 时 ,可 得当 时 ,可 得（II）证明：对任意*,nN21210naa,n2123n，得 2.na将代入，可得 1321()nna即*1()ncN又 3,0,na故 c因此1,nnc所 以是等比数列.（III）证明：由（II）可得 21()kka，于是，对任意 *kN且 ，有1357231,(),(1).kkaa52012 届数学二轮复习 专题六将以上各式相加，得 121()(),ka即 21()kka，此式当 k=1 时也成立.由式得
12、12()3).kk从而 246842()(),k kkSaa13.k所以，对任意*,2nN，44341112( )nkmmSSSaaa12( )3nm1( )(2)2nm2533(1)()nmn21()(2)n5113( )357(2)nn 1362(2)7.n对于 n=1，不等式显然成立.所以，对任意*,nN2112nSSaa62012 届数学二轮复习 专题六321124()()()nSSaaa2211()()()4(4(n221()()()4nnn.43n题型 2：反证法例 3 （2010 江西理数理，22）证明以下命题：（1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得 成等差数列。
13、22abc， ，（2）存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长 为正整数且 成等差数列。nnn， ， 22nnabc， ，【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证 ， ；类似勾股数进行拼凑。22acb证明：考虑到结构特征，取特值 满足等差数列，只需 取 b=5a，c=7a，对一切正整数 a 均能成立。1,57结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当 成等差数列，则 ，22nnabc， ， 22nnbacb分解得： ()()na选取关于 n 的一个多项式， 做两种途径的分解2412 24
14、1()24(1)对比目标式，构造 ，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关2)1nbnc系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数 m，n，若 m， 相似：则三边对应成比例 ， n22211mmnnn由比例的性质得： ，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 1点评：本题证明推出的结果是与题设矛盾。72012 届数学二轮复习 专题六例 4 （11 陕西理，21）设函数 定义在 上， ，导函数 ，()fx(0,)(1)0f1()fx()()gxfx（1）求 的单调区间和最小值；（2）讨论 与 的大小关系；()x1g（3）是否存在 ，使得 对任意 成立？若存在，求出 的取值范围；若不001
15、|()|xgx00x存在，请说明理由【分析】 （1）先求出原函数 ，再求得 ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间） ，并求出()f()最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）存在性问题通常采用假设存在，然后进行求解；注意利用前两问的结论【解】 （1） ， （ 为常数） ，又 ，所以 ，即 ，1()fx()lnfxc(1)0fln10c ； ，()lnflg ，令 ，即 ，解得 ，2gx()0x210xx当 时， ， 是减函数，故区间在 是函数 的减区间；(0,1)(,1)()gx当 时， ， 是增函数，故区间在 是函数 的增区间
16、；x()gx()所以 是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以 的最小值是 ()x(1)（2） ，设 ，1lngx11()2lnhgxx则 ，2()hx当 时， ，即 ，1(01()gx当 时， ， ，,)x0h()因此函数 在 内单调递减，(h,当 时， =0， ；01x)(1x1()gx82012 届数学二轮复习 专题六当 时， =0， 1x()1hx1()gx（3）满足条件的 不存在证明如下：0证法一 假设存在 ，使 对任意 成立，x0|()|xx0即对任意 有 02lnlng但对上述的 ，取 时，有 ，这与左边的不等式矛盾，0x()1xe10()g因此不存在 ，使 对任意
17、成立0|x证法二 假设存在 ，使 对任意 成立，0x|()|x由（1）知， 的最小值是 ，()g1g又 ，而 时， 的值域为 ，1()lnlxxlnx(0,)当 时， 的值域为 ，(),)从而可以取一个值 ，使 ，即 ,1x10(gx10()gx ，这与假设矛盾101|()|gx不存在 ，使 对任意 成立00|()|gxx0题型 3：数学归纳法例 5 （11 湖南理，22）已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。f3x（）求函数 h ( )= ( )-g ( )的零点个数，并说明理由；xfx（）设数列 满足 ， ，证明：存在常数 M,使得对于任*naN10)a1()(nnfag意的 ，都有
18、 .*nNM解析：（I）由 知， ，而 ，且3()hxx,)()0h，则 为 的一个零点，且 在 内有零点，因此 至(1)0,260h(hx12（ ， ） ()hx少有两个零点92012 届数学二轮复习 专题六解法 1： ，记 ，则 。122()3hxx122()3x321()64x当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内至多只有一个0,()00,)(0,)零点。又因为 ，则 在 内有零点，所以 在 内有且只有一个3(1),()x3,1)x,零点。记此零点为 ，则当 时， ；当 时， ；1x10,1()01(,1()0x所以，当 时， 单调递减，而 ，则 在 内无零点；1(0,)()h()
19、h()x1,当 时， 单调递增，则 在 内至多只有一个零点；xx1,从而 在 内至多只有一个零点。综上所述， 有且只有两个零点。(),) ()hx解法 2： ，记 ，则 。122()hxx122()x321x当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内至多只有一个(0,)00,)()0,)零点。因此 在 内也至多只有一个零点，hx,综上所述， 有且只有两个零点。()（II）记 的正零点为 ，即 。x0x30x（1）当 时，由 ，即 .而 ，因此 ，由此猜0a1a13 32100ax20ax测： 。下面用数学归纳法证明：nx当 时， 显然成立；10x假设当 时，有 成立，则当 时，由()k0ka
20、x1nk知， ，因此，当 时， 成立。3 310kkax10k 10kax故对任意的 ， 成立。*nNn（2）当 时，由（1）知， 在 上单调递增。则 ，即 。0x()hx0,)0()hx3a102012 届数学二轮复习 专题六从而 ，即 ，由此猜测： 。下面用数学归纳法证明：3 321aa2ana当 时， 显然成立；n1假设当 时，有 成立，则当 时，由()kk 1k知， ，因此，当 时， 成立。3 31kkaa1kan1ka故对任意的 ， 成立。*nNn综上所述，存在常数 ，使得对于任意的 ，都有 .0max,M*NnM例 6 （2004 年辽宁卷）已知函数 ，设 ， ， ，证明23)(xf210a)(af*N。1na证明：（1）当 时，由题设 ，又 ，1n210a1n所以 成立。0当 时， 。2)(12af而 ，3)(xf6132所以 ，不等式也成立。612a（2）假设 时，不等式 成立，而 ， 的)2(kn10ka31k61)3(2)(2xf对称轴是 ，则 f(x)在 上是增函数。3x3，由 10ka得 )()ff即 21)1(3kak注意到结论右边的目标式，凑式变形，有 21)(124)(2321 kkkkk可见 时，不等式也成立。n
