1、第四讲 一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧用等号连结两个代数式的式子叫等式如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式条件等式也称为方程使方程成立的未知数的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是 1 的方程叫作一元一次
2、方程任何一个一元一次方程总可以化为 ax=b(a0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式 ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解一元一次方程 ax=b 的解由 a，b 的取值来确定：(2)若 a=0，且 b=0，方程变为 0x=0，则方程有无数多个解；(3)若 a=0，且 b0，方程变为 0x=b，则方程无解例 1 解方程解法 1 从里到外逐级去括号去小括号得去中括号得去大括号得解法 2 按照分配律由外及里去括号去大括号得化简为去中括号得去小括号得例 2 已知下面两个方程
3、3(x+2)=5x，4x-3(a-x)=6x-7(a-x) 有相同的解，试求 a 的值分析 本题解题思路是从方程中求出 x 的值，代入方程，求出 a的值解 由方程可求得 3x-5x=-6，所以 x=3由已知，x=3 也是方程的解，根据方程解的定义，把 x=3 代入方程时，应有43-3(a-3)=63-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例 3 已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解为 a+2，求方程 22(x+3)-3(x-a)=3a 的解解 由方程 2(x+1)=3(x-1)解得 x=5由题设知 a+2=5，所以 a=3于是有22(x+3)-3(x-3)=33，-2x=-
4、21，例 4 解关于 x 的方程(mx-n)(m+n)=0分析 这个方程中未知数是 x，m，n 是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论 m，n 取不同值时，方程解的情况解 把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)当 m+n0，且 m=0 时，方程无解；当 m+n=0 时，方程的解为一切实数说明 含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论例 5 解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2分析 本题将方程中的括号去掉后产生 x2项，但整理化简后，可以消去 x2，也
5、就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程解 将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a 2-b2)x=(a-b)2(1)当 a2-b20 时，即 ab 时，方程有唯一解(2)当 a2-b2=0 时，即 a=b 或 a=-b 时，若 a-b0，即 ab，即 a=-b时，方程无解；若 a-b=0，即 a=b，方程有无数多个解例 6 已知(m 2-1)x2-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m 的值解 因为(m 2-1)x2-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，所以m2-1=0，即 m=
6、1(1)当 m=1 时，方程变为-2x+8=0，因此 x=4，代数式的值为199(1+4)(4-21)+1=1991；(2)当 m=-1 时，原方程无解所以所求代数式的值为 1991例 7 已知关于 x 的方程 a(2x-1)=3x-2 无解，试求 a 的值解 将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a- 2由已知该方程无解，所以例 8 k 为何正数时，方程 k2x-k2=2kx-5k 的解是正数？来确定： (1)若 b=0 时，方程的解是零；反之，若方程 ax=b 的解是零，则b=0 成立(2)若 ab0 时，则方程的解是正数；反之，若方程 ax=b 的解是正数，则 ab0
7、成立(3)若 ab0 时，则方程的解是负数；反之，若方程 ax=b 的解是负数，则 ab0 成立解 按未知数 x 整理方程得(k2-2k)x=k2-5k要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)0看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)因为 k20，所以只要 k5 或 k2 时上式大于零，所以当 k2 或k5 时，原方程的解是正数，所以 k5 或 0k2 即为所求例 9 若 abc=1，解方程解 因为 abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明 像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化例 10 若 a，b，c
8、 是正数，解方程解法 1 原方程两边乘以 abc，得到方程ab(x-a- b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc移项、合并同类项得abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0因为 a0，b0，c0，所以 ab+bc+ac0，所以x-(a+b+c)=0，即 x=a+b+c 为原方程的解解法 2 将原方程右边的 3 移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理设 m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0所以 x=a+b+c 为原方程的解说明 注意观察，巧妙变形，是产
9、生简单优美解法所不可缺少的基本功之一例 11 设 n 为自然数，x表示不超过 x 的最大整数，解方程：分析 要解此方程，必须先去掉 ，由于 n 是自然数，所以 n 与(n+1)，nx都是整数，所以 x 必是整数解 根据分析，x 必为整数，即 x=x，所以原方程化为合并同类项得故有所以 x=n(n+1)为原方程的解例 12 已知关于 x 的方程且 a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数 a 的最小值解 由原方程可解得a 最小，所以 x 应取 x=160所以所以满足题设的自然数 a 的最小值为 2练习四1解下列方程：* 2解下列关于 x 的方程：(1)a 2(x-2)-3a=x+1；4当 k 取何值时，关于 x 的方程 3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于 1 的解
