1、第八讲 非负数所谓非负数，是指零和正实数非负数的性质在解题中颇有用处常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根1实数的偶次幂是非负数若 a 是任意实数，则 a2n0(n 为正整数)，特别地，当 n=1 时，有a202实数的绝对值是非负数若 a 是实数，则性质 绝对值最小的实数是零3一个正实数的算术根是非负数4非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若 a1，a 2，a n为非负数，则a 1a 2a n0(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a 2，a n为非负数，且 a1a 2a n=0，则必有a
2、1a 2a n0在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数(5)最小非负数为零，没有最大的非负数(6)一元二次方程 ax2bxc=0(a0)有实数根的充要条件是判别式=b 2-4ac 为非负数应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决解得 a=3，b=-2代入代数式得解 因为(20x-3) 2为非负数，所以-(20x-3)20 -(20x-3)20 由，可得：-(20x-3) 2=0所以原式=20020=40说明 本题解法中应用了“若 a0 且 a0
3、，则 a=0”，这是个很有用的性质例 3 已知 x，y 为实数，且解 因为 x，y 为实数，要使 y 的表达式有意义，必有解 因为 a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2) 2+(b-1)2=0(a-2) 2=0，且 (b- 1)2=0所以 a=2，b=1所以例 5 已知 x，y 为实数，求u=5x 2-6xy+2y2+2x-2y+3 的最小值和取得最小值时的 x，y 的值解 u=5x 2-6xy+2y2+2x-2y+3=x 2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1) 2+(2x-y)2+2因为 x，y 为实数，所
4、以(x-y+1) 20，(2x- y)20，所以 u2所以当时，u 有最小值 2，此时 x=1，y=2例 6 确定方程(a 2+1)x2-2ax+(a2+4)=0 的实数根的个数解 将原方程化为a 2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1) 2+x2+a2+3=0对于任意实数 x，均有(ax-1) 20，x 20，a 20，30，所以，(ax-1) 2+x2+a2+3 恒大于0，故(a 2+1)x2-2ax+(a2+4)=0 无实根例 7 求方程 的实数根分析 本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程因此，要将已知方程变形，看能否出现新的
5、形式，以利于解题解之得经检验，均为原方程的解说明 应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件例 8 已知方程组求实数 x1，x 2，x n的值解 显然，x 1=x2=xn=0 是方程组的解由已知方程组可知，在 x1，x 2，x n 中，只要有一个值为零，则必有 x1=x2=xn=0所以当 x10，x 20，x n0 时，将原方程组化为将上面 n 个方程相加得又因为 xi为实数，所以经检验，原方程组的解为例 9 求满足方程a-b+ab=1 的非负整数 a，b 的值解 由于 a，b 为非负整数，所以解得例 10 当 a，b 为何值
6、时，方程x 2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0 有实数根？解 因为方程有实数根，所以0，即=4(1+a) 2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a 2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a 2-16ab-16b2+8a-40，所以2a 2-4ab-4b2+2a-10，-a 2+2a-1-a2-4ab-4b20 ，-(a -1)2-(a+2b)20因为(a-1)20，(a+2b) 20，所以例 11 已知实数 a，b，c，r，p 满足pr1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程 ax2+2bx+c=0 必有实数根证 由已知得 2b=pc+ra，所以=(2b)
7、2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p 2c2+2pcra+r2a2-4ac=p 2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra) 2+4ac(pr-1)由已知 pr-10，又(pc-ra) 20，所以当ac0 时，0；当 ac0 时，也有=(2b) 2-4ac0综上，总有0，故原方程必有实数根例 12 对任意实数 x，比较 3x2+2x-1 与 x2+5x-3 的大小解 用比差法(3x 2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x 2-3x+2即(3x 2+2x-1)-(x2+5x-3)0，所以 3x 2+2x-1x 2+5x-3说明 比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，
8、除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决例 13 已知 a，b，c 为实数，设证明：A，B，C 中至少有一个值大于零证 由题设有A+B+C=(a 2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+- 3=(a-1) 2+(b-1)2+(c-1)2+(- 3)因为(a-1) 20，(b- 1)20，(c-1) 20，- 30，所以 A+B+C0若 A0，B0，C0，则 A+B+C0 与 A+B+C0 不符，所以A，B，C 中至少有一个大于零例 14 已知 a0，b0，求证：分析与证明 对要求证的不等式两边分别因式分解有由
9、不等式的性质知道，只须证明因为 a0，b0，所以又因为所以原不等式成立例 15 四边形四条边长分别为 a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状解 由已知可得a 4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a 4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a 2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因为 a，b，c，d 都是实数，所以(a 2-b2)20，(c 2-d2)20，(ab-cd) 20，所以由于 a，b，c，d 都为正数，所以，解，有a=b=c=d故此四边形为菱形练 习 八1求 x，y 的值：4若实数 x，y，z 满足条件5已知 a，b，c，x，y，z 都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6若方程 k(x2-4)+ax-1=0 对一切实数 k 都有实数根，求 a 的取值范围
