1、 400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 1 -第三讲 一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元二次方程根的判 别式、根与系数的关系进行阐述一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程 ，用配方法将其变形为：20 ()axbca24bacx(1) 当 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根 ：240bac24bacx(2) 当 时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：240bac 1,
2、2bxa(3) 当 时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把2c叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为：24bac20 ()axbca【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1) (2) (3) 2310x2491y25(3)60x解：(1) ， 原方程有两个不相等的实数根2()0(2) 原方程可化为： 2y， 原方程有两个相等的实数根(1)49(3) 原方程可化为： 25610x， 原方程没有实数根()4说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式【例 2】已知关于 的一元二次方程 ，根据下列条件，分别求出 的x
3、230xkk范围：400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 2 -(1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根； (4) 方程无实数根解： 2()4312k(1) ； (2) ；101403k(3) ； (4) 23k【例 3】已知实数 、 满足 ，试求 、 的值xy21xyxy解：可以把所给方程看作为关于 的方程，整理得：22()0由于 是实数，所以上述方程有实数根，因此：x，22()4(1)30yyy代入原方程得： xx综上知： 1,0xy二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程 的两个根为：2 (0)a
4、bca2244,cbacxx所以： ，2212ba222212 244()4)cbacbaccx a 定理：如果一元二次方程 的两个根为 ，那么：20 ()ax12,x1212,bcxa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理” 上述定理成立的前提是 0【例 4】若 是方程 的两个根，试求下列各式的值：12,x27x(1) ； (2) ； (3) ； (4) 121212(5)x12|x分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 3
5、 -算这里，可以利用韦达定理来解答解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212,07xx(1) 221112()()()48xx(2) 212107(3) 212(5)5()075(2)1972xxx(4) 121 12|()440)8说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：， ，221112()xxx122x221112()()4xx， ，212112|()42121()x等等韦达定理体现了整体思想332()xx【例 5】已知关于 的方程 ，根据下列条件，分别求出2204kx的值k(1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 满足 12,12|x分析：(1) 由韦达定理
6、即可求之；(2) 有两种可能，一是 ，二是 ，012x所以要分类讨论解：(1) 方程两实根的积为 5 22121()4()03,42kkkx所以，当 时，方程两实根的积为 5k(2) 由 得知：12|当 时， ，所以方程有两相等实数根，故 ；0x12x 302k当 时， ，由于112011k，故 不合题意，舍去32k400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 4 -综上可得， 时，方程的两实根 满足 32k12,x12|x说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0【例 6】已知 是一元二次
7、方程 的两个实数根12,x240kx(1) 是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；k12123()()k若不存在，请您说明理由(2) 求使 的值为整数的实数 的整数值12xk解：(1) 假设存在实数 ，使 成立k12123()()xx 一元二次方程 的两个实数根40k ，20()(1)6k k又 是一元二次方程 的两个实数根12,x240kx 124k 2 2121211211()()()5()9xxxxx，但 9394kk0不存在实数 ，使 成立12123()()xx(2) 121212441x k 要使其值是整数，只需 能被 4 整除，故 ，注意到 ，k,20k要使 的值为整数的实
8、数 的整数值为 12x,35说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2) 本题综合性较强，要学会对 为整数的分析方法1k400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 5 -A 组1一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )2(1)10kxkA B C Dk,k且2k2,1k且2若 是方程 的两个根，则 的值为( )12,x2630x12xA B C D923已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于 的x方程 的根，则 等于( )22(
9、1)30xmxmA B C D53且53且4若 是一元二次方程 的根，则判别式 和完全平方t2 (0)axbca24bac式 的关系是( )2()MbA B C D大小关系不能确M定5若实数 ，且 满足 ，则代数式 的a,22850,850ab1ba值为( )A B C D20且20且6如果方程 的两根相等，则 之间的关系是 2()()()0bcxab,abc_ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 的两个根，则这个直2870x角三角形的斜边长是 _ 8若方程 的两根之差为 1，则 的值是 _ 2(1)30xkk9设 是方程 的两实根， 是关于 的方程12,pxq2,xx练 习400-
10、810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 6 -的两实根，则 = _ ， = _ 20xqppq10已知实数 满足 ，则 = _ ， = _ ， = _ ,abc26,9bcabc11对于二次三项式 ，小明得出如下结论：无论 取什么实数，其值都不可2103xx能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由12若 ，关于 的方程 有两个相等的的正实数根，求0n21()04mnx的值m13已知关于 的一元二次方程 x2(1)2xx(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 ，且满足 ，求 的值12,12xm14已知关于 的方程
11、的两根是一个矩形两边的长x()04k(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？k(2) 当矩形的对角线长是 时，求 的值5B 组1已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 x2(1)(3)10kxkx12,x(1) 求 的取值范围；(2) 是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不k存在，请您说明理由2已知关于 的方程 的两个实数根的平方和等于 11求证：关于 的方x230xm x程 有实数根2(3)64k3若 是关于 的方程 的两个实数根，且 都大于 112,xx22(1)0kx12,x(1) 求实数 的取值范围；(2) 若 ，求 的值12x400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 7 -第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案A 组1 B 2 A 3A 4A 5A6 ,acbc且7 3 8 9 或 91,3pq10 11正确 124,0c13 2(1)65 ()2m14 3 ()kB 组1 (2) 不存在()12k且2 (1)当 时，方程为 ，有实根； (2) 当 时， 也有实m3k10x3k0根3(1) ； (2) 4且7
