1、 400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 1 -第六讲 简单的二元二次方程组在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程 组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组高中新 课标必修 2 中学习圆锥 曲线时，需要用到二元二次方程组的解法因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫做二元二次方程由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程 组一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次
2、方程组成的方程组一般都可以用代入法求解其 蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解【例 1】解方程组 20 (1)32xy分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得 ，代入方程(2)消2yx去 y解：由(1)得： (3)2yx将(3)代入(2) 得： ，解得：2()3012x或把 代入(3)得： ；把 代入(3)得： 1x2yxy原方程组的解是： 112y或说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：由二元一次方程变形为用 表示 的方程，或用 表示 的方程(3)；xyx把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；解消元后得到的一
3、元二次方程；把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 值；写出答案(2) 消 ，还是消 ，应由二元一次方程的系数来决定若系数均为整数，那xy么最好消去系数绝对值较小的，如方程 ，可以消去 ，210xyx变形 得 ，再代入消元21(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 2 -【例 2】解方程组 1()28 xy分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把 、 看成
4、xy是方程 的两根，则更容易求解210z解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把 、 看成是方程 的xy2180z两根，解方程得： 4z或 =7 原方程组的解是： 1174xy或说明：(1) 对于这种对称性的方程组 ，利用一元二次方程的根与系数的关xyab系构造方程时，未知数要换成异于 、 的字母，如 z(2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解 ，则必有解 47xy74xy二、由两个二元二次方程组成的方程组1可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成【例 3】解方程组225
5、() (1)432xyx分析：注意到方程 ，可分解成 ，即得2()()5)0xy或 ，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程0xy50xy为二元一次方程解：由(1)得：2()()5()0()5)0xyxyxyxy 或050 原方程组可化为两个方程组： 22224343xyxy或用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 31246,13xxxyyy400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 3 -说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个
6、方程是二元一次方程【例 4】解方程组21 ()42xy分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程对其因式分解，就可以转化为例 3 的类型解：(1) (2) 得：3223()0xy即 20xxy yx或 原方程组可化为两个二元一次方程组： 2230,44xyxy用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 123,1y说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组【例 5】解方程组26 (1)52xy分析：(1) +(2) 得： ，(1) -(2) 得
7、： ，分2()3 ()22()16 (4)xy别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组解：(1) +(2) 得：， (1) -(2) 得：2 236()66xyxyxy或 2114或解此四个方程组，得原方程组的解是：312455,1xxyy说明：对称型方程组，如 、 都可以通过变形转化为2axb2yax的形式，通过构造一元二次方程求解xymn2可消二次项型的方程组400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 4 -【例 6】解方程组 3(1)8 2xy分析：注意到两个方程都有 项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个
8、二元二次方程组成的方程组解：(1) 得：3(2)13 ()xyx代入(1)得： 212) x或分别代入(3)得： 124y或 原方程组的解是： 21xy或说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 5 -A 组1解下列方程组：(1) (2) 26xy 28xy(3) (4) 22135xy2031xy2解下列方程组：(1) (2) 2x
9、y 6xy3解下列方程组：(1) (2) 2(3)01yx(34)(3)025xyxy(3) (4) 2()(8y()1)04解下列方程组：(1) (2) 230xy68xyB 组1解下列方程组：(1) (2) 230xy 2231430xyxy2解下列方程组：(1) (2) 2xy21xy3解下列方程组：练 习400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 6 -(1) (2) 22384xy 241xy4解下列方程组： (1) (2) 25xy20xy第六讲 简单的二元二次方程组答案A 组1 2 121218013043(),(),(),(), 3 4xxxyyyy 2 1212(),(), xxyy3 2 31 1212373 20 31,(),(),544x xxxxy yyyy 2341 4201,(),02xx xyyy 4(1) (2) 123466,22xxxyyy43xyB 组1 11227554(),(),4 3 xxyy400-810-2680 好学者智，善思者康-学 习 改 变 命 运- 陈玉兵 - 7 -2121273(),(), xxyy3 12346321(),xxyy 312420(),xxyy4 ，3124(),1xy12(),3 xy
