1、1. 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，AB 7，CD 1，ADBC 5点 M，N 分别在边 AD，BC 上运动，并保持 MNAB，ME AB，NFAB，垂足分别为 E，F （1）求梯形 ABCD 的面积； （2）求四边形 MEFN 面积的最大值 （3）试判断四边形 MEFN 能否为正方形，若能，求出正方形 MEFN 的面积；若不能，请说明理由解：（1）分别过 D，C 两点作 DGAB 于点 G，CHAB 于点 H AB CD， DGCH，DGCH 四边形 DGHC 为矩形，GHCD1 DGCH ，ADBC ，AGD B HC90， AGDBHC（HL ） AG BH 2173 2 分 在
2、 RtAGD 中，AG 3，AD5， DG4 17462ABCDS形 （2） MNAB，MEAB，NFAB， MENF，MENF 四边形 MEFN 为矩形 AB CD，ADBC， AB MENF，MEANFB90， MEA NFB（AAS ） AEBF 设 AEx，则 EF72x AA，MEADG A90， MEA DGA ME ME x34 69738)2(7342xxEFSMEFN形 当 x 47时，ME 4，四边形 MEFN 面积的最大值为 649 （3）能 由（2）可知，设 AEx ，则 EF72x，ME x3 若四边形 MEFN 为正方形，则 MEEF 即 3472x 解，得 102
3、 EF 214705x4 四边形 MEFN 能为正方形，其面积为 251964MEFNS形 2. 已知：如图，在 RtABC 中，C=90 0，AC=4cm，BC=3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接PQ若设运动的时间为 t（s ） （0t2） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQ BC？（2）设 AQP 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（ 3）是否存在某一时刻 t，使线段PQ 恰好把 RtABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时
4、 t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接 PC，并把 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形 PQPC 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由解：（1）在 RtABC 中， 52ACB，由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，若 PQBC，则 APQ ABC， QP， 4tt， 710 （2）过点 P 作 PHAC 于 HAPH ABC， BCHA， 35t， tP53， tttPHAQy 35)3(2121 2 （3）若 PQ 把ABC 周长平分，则 AP+AQ=BP+BC+CQ 4)5(ttt， 解得： 1t若 PQ 把 A
5、BC 面积平分，则 ABCPQS21， 即 253t3t=3 t=1 代入上面方程不成立， 不存在这一时刻 t，使线段 PQ 把 RtACB 的周长和面积同时平分 （4）过点 P 作 PMAC 于 ，PN BC 于 N，若四边形 PQP C 是菱形，那么 PQPCPMAC 于 M，QM=CMPN BC 于 N， 易知PBNABC ABPC， 54t， 54t， tCMQ，CDA BE FNMG HCDA BE FNMG H图BA QPCHP BA QPC图MN 4254tt，解得： 910t当 910t时，四边形 PQP C 是菱形 此时 375tPM， 9854tCM，在 RtPMC 中，
6、95081642MPC， 菱形 PQP C 边长为 03. 如图，在 RtABC 中，A 90，AB6 ，AC8，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 P 从点D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQBC 于 Q，过点 Q 作 QRBA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C重合时，点 P 停止运动设 BQx，QRy （1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；（2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） ；（3）是否存在点 P，使PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由解：（1） RtA， 6B， 8AC， 10B 点
7、 为 AB中点， 132DAB90DHB， HD ，AC， 31205（2） QR ， 9RCA C， RQCAB ，B， 106yx，即 y关于 x的函数关系式为： 365yx（3）存在，分三种情况：当 PR时，过点 P作 MQR于 ，则 RM1290， 290C， 84cos105， 45QP，136425x， 85x当 PQR时， 3126，6x当 时，则 为 PQ中垂线上的点，于是点 R为 EC的中点，1224CREA tanQRBAC，3658x， 15x综上所述，当 x为 185或 6 或 2时， PQR 为等腰三角形4. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AB=4 ，CD=9，C=6
8、0，动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求 AD 的长；（2 ）设 CP=x，问当 x 为何值时PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形？若存在，请找出点 M，并求出 BM 的长；不存在，请说明理由.（1）解法一：如图 25-1过 A 作 AE CD，垂足为 E .依题意，DE= 2549. 2 分在 RtADE 中， AD= 5260cosD. 5 分解法二：如图 25-2过点 A
9、 作 AEBC 交 CD 于点 E，则 CE=AB=4 . 2 分AED =C=60.又D=C=60，AED 是等边三角形 . AD= DE=94=5 . 5 分（2）解：如图 25-1CP =x，h 为 PD 边上的高, 依题意，PD Q 的面积 S 可表示为：AB CD ERPH QM21AB CD ERPH QAB CD ERPH Q图 25-1图 25-2S= 21PDh = (9 x)xsin60= 43(9xx 2) = 43(x 29)2 1638. 由题意，知 0x5 . 当 x= 29时（满足 0x5） ，S 最大值 = 1638. （3）证法一：如图 25-3假设存在满足条
10、件的点 M，则 PD 必须等于 DQ . 11 分于是 9x=x，x = 2.此时，点 P、Q 的位置如图 25-3 所示，连 QP .PDQ 恰为等边三角形 .过点 Q 作 QMDC ，交 BC 于 M，点 M 即为所求.连结 MP，以下证明四边形 PDQM 是菱形 .易证MCP QDP，D=3 . MP=PDMPQD , 四边形 PDQM 是平行四边形 .又 MP=PD , 四边形 PDQM 是菱形 . 13 分所以存在满足条件的点 M，且 BM=BCMC=5 29= 1. 14 分注 本题仅回答存在，给 1 分.证法二：如图 25-4假设存在满足条件的点 M，则 PD 必须等于 DQ .
11、 11 分于是 9x=x，x = 2. 此时，点 P、Q 的位置如图 25-4 所示，PDQ 恰为等边三角形 .过点 D 作 DOP Q 于点 O，延长 DO 交 BC 于点 M，连结 PM、QM，则 DM 垂直平分PQ， MP=MQ .易知1=C .PQBC .又DOPQ， MCMDMP= 21CD=PD即 MP=PD=DQ=QM四边形 PDQM 是菱形 13 分所以存在满足条件的点 M，且 BM=BCMC=5 29= 1 14 分注 本题仅回答存在，给 1 分.5. 如图 1，在 RtABC 中， C 90，BC8 厘米，点 D 在 AC 上，CD3 厘米点 P、Q 分别由 A、C 两点同
12、时出发，点 P 沿 AC 方向向点 C 匀速移动，速度为每秒 k 厘米，行完 AC 全程用时 8 秒；点 Q 沿 CB 方向向点 B 匀速移动，速度为每秒 1 厘米设运动的时间为 x 秒（0X8） ，DCQ 的面积为 y1 平方厘米，PCQ 的面积为 y2 平方厘米求 y1 与 x 的函数关系，并在图2 中画出 y1 的图象；如图 2，y 2 的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12） ，求点 P的速度及 AC 的长；在图 2 中，点 G 是 x 轴正半轴上一点（0OG6，过 G 作 EF 垂直于 x轴，分别交 y1、y 2 于点 E、F说出线段 EF 的长在图 1 中所表示的实际意义；
13、当 0x时，求线段 EF 长的最大值解： CDQSDC，CD3，CQx， xy231图象如图所示方法一： PSPCQ21，CP 8k xk，CQx， kxky48212抛物线顶点坐标是（4，12） ， 142解得 3k 则点 P 的速度每秒 23厘米，AC12 厘米方法二：观察图象知，当 x=4 时，PCQ 面积为 12此时 PCACAP8k4k4k，CQ4图 25-3图 25-4EG2 4 6 8 10 12108642yO xF由 CPQSPC21，得 124k解得 23k则点 P 的速度每秒 3厘米，AC12 厘米方法三：设 y2 的图象所在抛物线的解析式是 cbxay2图象过（0，0）
14、 ， （4，12） ， （8，0） ， .0864121cba，解得 .0643cba， ， xy64322 CPQSPC2，CP 8k xk，CQx， kxy41 比较得 3.则点 P 的速度每秒 2厘米，AC12 厘米观察图象，知线段的长 EFy 2y 1，表示 PCQ 与DCQ 的面积差（或PDQ 面积） 由得 x643.（方法二， xxy643238122 ）EFy 2y 1，EF xxx2943643，二次项系数小于，在 0范围，当 时， 7EF最大6、如图 20，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为（4，3 ） 平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O
15、出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m 与矩形 OABC 的两边分别交于点 M、N，直线 m 运动的时间为 t（秒）(1) 点 A 的坐标是 _，点 C 的坐标是_； (2) 当 t= 秒或 秒时，MN= 21AC；(3) 设 OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；(4) 探求(3) 中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由解：(1)（4 ， 0） ， （0，3） ； 2 分(2) 2，6； 4 分(3) 当 0t4 时，OM=t 由OMN OAC，得 OCNAM， ON= t43，S= 28t 6 分当 4t8 时，如图，
16、 OD=t， AD= t-4 方法一：由DAM AOC，可得 AM= )4(3t， BM=6- t43 7 分由BMN BAC，可得 BN= BM=8-t， CN=t-4 8 分S=矩形 OABC 的面积-Rt OAM 的面积- RtMBN 的面积- Rt NCO 的面积=12- )4(23t- 1（8-t） （6- t43）- )4(2t= 8 10 分方法二：易知四边形 ADNC 是平行四边形， CN= AD=t-4，BN=8-t 7 分由BMN BAC，可得 BM= BN43=6- t， AM = )4(3t 8 分以下同方法一(4) 有最大值方法一：当 0t4 时， 抛物线 S= 283t的开口向上，在对称轴 t=0 的右边， S 随 t 的增大而增大， 当 t=4 时，S 可取到最大值 2483=6； 11 分当 4t8 时， 抛物线 S= t32的开口向下，它的顶点是（4，6） ， S6 综上，当 t=4 时，S 有最大值 6 12 分方法二： S=230488ttt， ， 当 0t8 时，画出 S 与 t 的函数关系图像，如图所示 11 分显然，当 t=4 时，S 有最大值 6
