1、1北京市西城区 2010 2011 学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2011.1第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集 ，集合 ， ，那么集合UR10Ax30Bx()UCAB（A） 3x（B） 1（C） 1（D） 2. 已知点 ，点 ，向量 ，若 ，则实数 的值为(,)(2,)By=(1,2)a/Aay（A）5 （B）6 （C）7 （D）83.已知 中， ， ，则角 等于C1,ab45（A） 10（B） 90（C） 60（D） 304在极坐标系中，过点 并且与极轴垂直的
2、直线方程是(,)（A） cos（B） sin（C） cos1（D） sin15. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间 ,42内，则输入的实数 的取值范围是x（A） (,2（B） 1（C） ,（D） 2)6.设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则下列式子中数值不能确定的是nanS0852a（A） 35（B） 35（C） n1（D） nS17如图，四边形 中，CD， 1B， .将四边形 沿2A对角线 折成四面体 ，使平面B开始输出结束是否输入 x2,()xf()fABCD BCDA2平面 ，则下列结论正确的是ABDC（A） （B） 90AC（C） 与平面 所成的角为30（D）四面体 的体积为B
3、D138对于函数 ， ，1()45fx21()log()xfx，()cos2csfx判断如下两个命题的真假：命题甲： 在区间 上是增函数；()fx(1,)命题乙： 在区间 上恰有两个零点 ，且 .012,x12能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（A） （B） （C） （D） 第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 为虚数单位，则 _. i 2(1i)10.在 的展开式中， 的系数为_.5(2)xx11. 若实数 满足条件 则 的最大值为_.,y0,21,yxy12.如图所示，过圆 外一点 做一条直线与圆 交于 两点，CPCAB， 与
4、圆 相切于 点.已知圆 的半径为 ，2BATT2,则 _. 3013双曲线 的渐近线方程为_； 2:1xy若双曲线 的右顶点为 ，过 的直线 与双曲线 的两条渐近线交于 两点，CAlC,PQ且，则直线 的斜率为_.2PAQl14.在平面直角坐标系中，定义 为两点 , 之1212(,)dPQxy1()xy2()间的“折线距离”. 则坐标原点 与直线 上一点的“折线距离”的最小值是_；O250xy圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是_.21xy三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步BAC TP3骤.15.（本小题满分 13 分）已知函
5、数 .2()3sinifxx（）若点 在角 的终边上，求 的值； 1,P()f（）若 ，求 的值域.63()f16.（本小题满分 13 分）如图，在三棱柱 中，侧面 ， 均为正方形，1ABC1AB1C,点 是棱 的中点.=90BACD（）求证： 平面 ；11（）求证： 平面 ；/（）求二面角 的余弦值.1AC17.（本小题满分 13 分）一个袋中装有 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 .6 1,2345,6（）若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个球编号之和为 6 的概率；（）若从袋中每次随机抽取 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 次抽到 号球的2概率；（
6、）若一次从袋中随机抽取 个球，记球的最大编号为 ，求随机变量 的分布列.3X18.（本小题满分 13 分）ABCC11B1A1D4已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，离心率为 .12byax0a2(3,0)Fe（）若 ，求椭圆的方程；3e（）设直线 与椭圆相交于 ， 两点， 分别为线段 的中点. ykxAB,MN2,AFB若坐标原点 在以 为直径的圆上，且 ，求 的取值范围.OMN23ek19.（本小题满分 14 分）已知函数 .21()()2ln()fxaxaR()若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值；yf3a()求 的单调区间；()fx()设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，2g1(0,2
7、x2(0,x12()fxg求 的取值范围.a20.（本小题满分 14 分）已知数列 ， 满足 ，其中 .nabnna11,23（）若 ，求数列 的通项公式；1,（）若 ，且 .(2)nn12,b（）记 ，求证：数列 为等差数列；16cnc（）若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项a应满足的条件.1a北京市西城区 2010 2011 学年度第一学期期末5高三数学参考答案及评分标准 （理科） 2011.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D C B D B D二、填空题：本大题共 6 小题，每小题
8、 5 分，共 30 分. 9. 10. 11. i80412. 13. ， 14. ，3xy352注：13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.） 15.（本小题满分 13 分）解：（）因为点 在角 的终边上， (1,3)P所以 ， ， 2 分sin2cos所以 4 分2 2()3iin3sicosinf . 5 分212()()（） 62()3sinifxx3sinco1x分， 82si()16分因为 ，所以 ， 10 分,3x652x所以 ， 11 分1sin(2)16所以 的值域是 .
9、 13 分)fx,616.（本小题满分 13 分）（）证明：因为侧面 ， 均为正方形， 1AB1C所以 ,1,所以 平面 ，三棱柱 是直三棱柱. 1 分1AB因为 平面 ，所以 ， 2 分1D1D又因为 ， 为 中点，ABC1所以 . 3 分11因为 ,所以 平面 . 4 分11（）证明：连结 ，交 于点 ，连结 ，ACOD因为 为正方形，所以 为 中点，1 1AC又 为 中点，所以 为 中位线，DBB所以 ， 6 分1/O因为 平面 ， 平面 ， 1A11所以 平面 . 8 分1/C()解： 因为侧面 ， 均为正方形， ，1B1 90BAC所以 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系 ., x
10、yz设 ，则 .A11(0,)(,)(0,)(,)2AD， 911(,2DC分设平面 的法向量为 ，则有1=()x,yzn， ， ，10ACnxyz取 ，得 . 10 分x(,1)又因为 平面 ，所以平面 的法向量为 ，11BA1CA(1,0)B分， 1213cos,An分因为二面角 是钝角，1DCB1ABCC11A1DxyzO7所以，二面角 的余弦值为 . 13 分1DAC317.（本小题满分 13 分）解：（）设先后两次从袋中取出球的编号为 ，则两次取球的编号的一切可能结果,mn有 种， ),(nm632 分其中和为 的结果有 ，共 种，(1,5),(24),(3)5则所求概率为 . 4
11、分36（）每次从袋中随机抽取 个球,抽到编号为 的球的概率 .615263Cp6 分所以， 次抽取中，恰有 次抽到 6 号球的概率为32. 8 分2231()()39Cp（）随机变量 所有可能的取值为 . 9 分X,45，36()20P，36(4)C，2436(5)01PX. 12 分2536()C所以，随机变量 的分布列为:X3456P12031213 分18、 （本小题满分 13 分）解：（）由题意得 ，得 . 2 分32ca38结合 ，解得 ， . 3 分22abc21a23b所以，椭圆的方程为 . 4 分yx（）由 得 . 21,xyabk22()0akxb设 .12(,)(,)Axy
12、B所以 ， 6 分212120,abxk依题意， ，OMN易知，四边形 为平行四边形，2F所以 ， 7 分2AB因为 ， ，1(3,)xy22(3,)xy所以 . 8 分2 112)(90Fkx 即 ， 9 分22(9)0ak将其整理为 . 10 分422 421881aa因为 ，所以 ， . 11 分3e32所以 ，即 . 13 分218k2(,(,419.（本小题满分 14 分）解： . 2 分2()(1)fxax(0)（） ，解得 . 3 分3f3a（） . 5 分(1)2)xf(0)x9当 时， ， ， 0ax10a在区间 上， ；在区间 上 ，(,2)()f(2,)(0fx故 的单调
13、递增区间是 ，单调递减区间是 . 6 分f , ,)当 时， ， 102a在区间 和 上， ；在区间 上 ，(,),)()0fx1(2,)a(0fx故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . 7 分fx,21,a,)当 时， ， 故 的单调递增区间是 . 8 分12a()xf()fx(0,当 时， ， 02a在区间 和 上， ；在区间 上 ，1(,),)()0fx1(,2)a(0fx故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . 9 分fx1,a2,)（）由已知，在 上有 . 10 分(0,2mxax()()fg由已知， ，由（）可知，max)g当 时， 在 上单调递增，12(f,故 ，m
14、ax()2(1)ln22lnf aa所以， ，解得 ，故 . 11 分ln01当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，12a()fx,a1,2a故 .max1()2lnff由 可知 ， ， ，12lnlel2alna所以， ， ， 13 分0amax()0f综上所述， . 14 分l120.（本小题满分 14 分）10解：（）当 时，有2n2 分11321()()()naaa 121nb. 3 分1又因为 也满足上式，所以数列 的通项为 .4 分1 n2na（） （）因为对任意的 有 ， 5n*N516432nnbb分所以 1651661634nn nca，272()所以数列 为等差数列.
15、7 分n（）设 ， （其中 为常数且 ） ，所以)0(6aci i 6,5432,1i1 6164657(0)nniinininininibbb 所以数列 均为以 7 为公差的等差数列. 9in分设 ，67()66i ikiiikaaf k （其中 ， 为 中的一个常数） ，n0,5432,1当 时，对任意的 有 ； 107i ikn分当 时，6ia17716()(1)6(6iik iaf akkiki()i i11 分若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为单调减数列；76iakNkf1 6ika若 ，则对任意的 有 ，所以数列 为单调增数列；ikf1i12 分综上：设集合 ，74632362B741,36当 时，数列 中必有某数重复出现无数次.a1na
